微分几何 2.6 曲面上的测地线

过已知点并切于定方向。
6.3 曲面上的半测地坐网 一、定义：曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线，另一族是 这族测地线的正交轨线，则这个坐标网称为半测地坐标网。 极坐标网是它的特例。 二、命题4：给出曲面上的一条曲线，则总存在一个半测地坐标 网，它的非测地坐标曲线族中包含给定的一条曲线。 证明：由定理1，过曲面上给定的曲线（C）上的每一点，沿着 1 C （C），在切平面上对应于垂直于（C）的方向，存在唯一条测 (c* ) ，然后再作这一族曲面的正交轨线，则这族测地线和 地线 * 它的正交轨线组成了曲面上的一个半测地坐标网，并且 (c ) 的 正交轨线族中包含了（C）。 三、在前一节习题6（5）中提到，对于曲面上的半测地坐标网， 有 Ι = ds 2 = du 2 + Gdv 2 ，我们现在证明这个结论。
k g = ± k sin θ , θ = ∠( β , n ) ⇒ θ =0 或 π
即 β = ± n ，所以主法线重合于法线。 反之，若主法线重合于法线，则 β = ± n ，得 θ =0 或 π
k g = ± k sin 0 = 0,
所以曲线是测地线。
(k ≠ 0)
推论：如果两曲面沿一曲线相切，并且此曲线是其中一个曲 面的测地线，则它也是另一个曲面的测地线。 证明：因为这两个曲面沿曲线相切，所以曲面沿曲线的法线 重合，又此曲线的主法线只有一条，所以此曲线的主法 线同时与两个曲面沿此曲线的法线重合，由命题知推论成立。 例：球面上的大园一定是测地线，因为大园的主法线 重合于 法线。
d 2u k du i du j k du i du j = ∑( 2 + ∑ Γij )rk + ∑ Lij n ds ds ds k i , j ds ds i, j du i d 2u k du i du j k du i du j k g = (∑ ri , ∑ ( 2 + ∑ Γij )rk + ∑ Lij n, n ) ds ds ds ds i k i , j ds ds i, j
其中 k g u , k g v 分别为 u 线和 v 线的测地曲率。事实上，对于u 线和 v 线来说，分别有 ，代入测地曲率的计算公式 1 ∂ ln E 1 ∂ ln G 有
k gu = −
2 G
∂v
,
k gv =
2 E
∂u
.
6、2 曲面上的测地线 一、定义：曲面上的一条曲线，如果它的每一点处的测地曲率 为 0，则称为测地线。 二、性质1）如果曲面上有直线，则必为测地线。 2）命题3：曲面上非直线的曲线是测地线的充要条件是，除 了曲率为 0 的点外，曲线的主法线重合于曲面的法线。 证明：设曲线（c）为测地线（不是直线），则 k ≠ 0, k g = 0, 但
g
⋅⋅
称为曲线在 P 点的测地曲率。
二、性质
2 2 命题1：k 2 = k g + k n
证明： k = kβ ⋅ ε = kβ ⋅ (n × α ) = k ( β , n , α ) = k (α , β , n ) g
= k (α × β ) ⋅ n = kγ ⋅ n ∴ k g = k cos(900 ± θ ) = ± k sin θ
du d 2 v dv d 2u Ev du 3 Gu du 2 dv kg = g [ − − ( ) + ( ) 2 2 ds ds ds ds 2G ds G ds ds Gv du dv 2 Eu du 2 dv Ev du dv 2 Gu dv 3 + ( ) − ( ) − ( ) + ( ) ] 2G ds ds 2 E ds ds E ds ds 2 E ds
2 2 k n + k g = k 2 cos 2 θ + k 2 sin 2 θ = k 2
于是
注意： n , β , γ , ε 都在 P 点的法面上。
测地曲率的几何意义：曲面 S上的曲线（C），它在 P 点的测地 曲率绝对值等于（C）在P点的切平面上的正投影曲线 (c * ) 的曲率。 证明：过（C）的每一点作曲面S在P点的切平面的垂线，于是得 (c* ) ，（C）和 (c* ) 都是 到一柱面，这个柱面和S在P点的交线是 柱面上的曲线。在这个柱面上用梅尼埃定理。 取 ε 为柱面上P点的法向量，由于柱面垂 (c) 直于切平面，所以柱面上任一点的法向量平 行于切平面，又P在切平面上，所以柱面在P α ε 的法向量 ε 应在切平面上，而（C）点的切 (c * ) 向量 α 也在切平面上，所以柱面在P的法截 面就是切向量 α 与法向量 ε 所确定的平面， 法截面与柱面的交线就是法截线 (c * ) ，因此柱面在 α 方向的法 曲率 k n = ± k * , k n = k * ( k *为(c* )在P点的曲率),
三、测地线的方程 设（C）为测地线，则它的主法线重合于法线，即 β = ± n , 但
n ⊥ rl , (i = 1,2) ⇒ β ⊥ rl , β ⋅ rl = 0, ∴ kβ ⋅ rl = 0 ⇒ ɺɺ ⋅ rl = 0 r
d 2u k du i du j k du i du j ɺɺ ⋅ r = ( r l ∑ +∑ Γij )rk ⋅ rl + ∑ Lij n ⋅ rl = 0 2 ds ds ds k i , j ds ds i, j ∴ d 2u k du i du j k ∑ g kl ( ds 2 + ∑ ds ds Γij ) = 0 k i, j
第六节
曲面上的测地线
平面上的直线（1）任一点的切向量平行；（2）曲率为0； （3）直线段是连接点与点之间的最短线段。 曲面上的测地线相当于平面上的直线。 6.1 曲面上曲线的测地曲率 一、测地曲率的定义
r = r (u1 , u 2 ), （c）是曲面上的一曲线：u = u α (s ) 给定曲面S：
Ev Gu dθ kg = − cos θ + sin θ ds 2 E G 2G E dθ 1 ∂ ln E 1 ∂ ln G = − cos θ + sin θ , ds 2 G ∂v 2 E ∂u
dθ kg = + k g u cos θ + k g v sin θ , ds
这个公式称为刘维尔(liouville)公式。也可写为
θ 由于 κ n = k cos θ ，其中k为（C）在P点的曲率， 为（C）的主 法向量和柱面在P点的法向量 ε 之间的角，即
κ n = k cos θ = kβ ⋅ ε = k g .
推论：曲面上的直线的测地曲率为0。 这是因为曲面上的直线在任一点的切平面上的投影还 是直线，所以曲率为0。 习题3。
在曲线上一点 P 有：
ɺɺ ⋅ n = κβ ⋅ n = κ cos θ = κ r n
令 n × α = ε ，则 n , α , ε 是两两正交的单位向量且成右手系，
n , β , γ , ε 都在 P 点的法面上。
定义：曲线（c）在 P 点的曲率向量 r = kβ 在ε 上的投影（即在 S上P点的切平面上的投影） k = ɺɺ ⋅ ε = kβ ⋅ ε r
d 2u1 du i du j du 2 1 − (( 2 + ∑ Γij )r1 , r2 , n ) ds ds ds ds i, j du1 d 2u 2 du i du j k g = [( ( 2 + ∑ Γij2 ) ds ds ds ds i, j
du 2 d 2u1 du i du j 1 −( ( 2 + ∑ Γij )](r1 , r2 , n ) ds ds ds ds i, j
du1 d 2u 2 du i du j =( r1 , ( 2 + ∑ Γij2 )r2 , n ) ds ds ds ds i, j
i j du 2 d 2u1 1 du du +( r2 , ( 2 + ∑ Γij )r1 , n ) ds ds ds ds i, j
i j du1 d 2u 2 2 du du kg = ( r1 , ( 2 + ∑ Γij )r2 , n ) ds ds ds ds i, j
又 g = det(gkl) 不为0，于是得到测地线方程为
d 2u k du i du j + ∑ Γijk =0 2 ds ds ds i, j
, k = 1,2
特别地，当坐标曲线正交时，由刘维尔公式也得到曲面上 测地线的微分方程为
Байду номын сангаас
1 ∂ ln E 1 ∂ ln G dθ − cos θ + sin θ = 0, ds 2 G ∂v 2 E ∂u du 1 cos θ , = ds E dv 1 = sin θ , ds G
三、测地曲率的计算公式
(rij = ∑ Γijk rk + Lij n )
⋅ ⋅⋅
k
k g = k (α , β , n ) = (α , kβ , n ) = (r , r , n )
du dv du1 du 2 du i du i ɺ r = ru + rv = r1 + r2 = ∑ ri =∑ ri ds ds ds ds ds ds i i du i du j d 2u i du i du j d 2u k ɺɺ = r ∑ rij + ∑ 2 ri = ∑ ⋅∑ rij + ∑ 2 rk ds j ds ds ds i i i , j ds ds k
, k = 1,2
满足上述方程的曲线都是测地线，给出了初始条件：s=s0 ， du k du k 1 2 )0 , ( )0 ) 即一个点 (u ( s0 ), u ( s0 )) 和一个切方向 (( ds ds 由常微分方程理论，方程组有唯一解，即存在唯一一条测地线
u k = u k ( s ) , k = 1,2 （C）：
r1 × r2 1 = ( r1 , r2 , n ) = ( r1 × r2 ) ⋅ ( r1 2 ⋅ r22 − ( r1 ⋅ r2 ) 2 ) g g = 1 ( EG − F 2 ) = g g
du1 d 2u 2 du i du j du 2 d 2u1 du i du j 1 ( 2 + ∑ Γij2 )−( ( 2 + ∑ Γij )] k g = g [( ds ds ds ds ds ds ds ds i, j i, j
下面给出一个简单一点的形式。设曲线的切方向与u-线所成的 ru rv du dv 角为 θ ，则 dr
ds ds E G du 1 dv 1 = cosθ , = sin θ , ds ds E G
=α =
cos θ +
sin θ = ru
+ rv
ds
cos θ cos θ cos θ ) ) ) d( d( d( 2 d u E dθ + E du + E dv = 2 ds dθ ds du ds dv ds sin θ dθ 1 −3 du 1 −3 dv 2 2 =− + cos θ ⋅ (− E Eu ) + cos θ ⋅ (− E Ev ) ds ds 2 2 E ds sin θ dθ Eu cos θ du Ev cos θ dv =− − − E ds 2 E E ds 2 E E ds
du1 d 2u 2 du i du j du 2 d 2u1 du i du j 1 k g = g [( ( 2 + ∑ Γij2 )−( ( 2 + ∑ Γij )] ds ds ds ds ds ds ds ds i, j i, j
这就是测地曲率的一般计算公式。 特别地，当曲面上的坐标网为正交网时，F=0，代入上式并 整理得
∴
d 2u sin θ dθ Eu cos 2 θ Ev sin θ cos θ =− − − 2 2 ds 2E E ds 2 E EG
同理
d 2 v cos θ dθ Gu sin θ cos θ Gv sin 2 θ = − − 2 ds 2G 2 G ds 2G EG
代入前面的 kg 的计算公式可得
若给出了初始条件：u ( s0 ) = u0 , v( s0 ) = v0 , θ ( s0 ) = θ 0 则有唯一解 u = u ( s ), v = v( s ), θ = θ ( s ). 例题1，2。
四、定理：过曲面上任一点，给定曲面上一个切方向，则存 在唯一一条测地线切于此方向。 证明：设测地线方程为 d 2u k du i du j + ∑ Γijk =0 2 ds ds ds i, j