考研高数三角函数复习题

考研三角函数复习

1、任意角的三角函数（划红线内容重点学习，其余部分建议学习）

(1)任意角的三角函数的定义：角α的终边上任意一点p的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切、余切分别是

(2)三角函数值的符号

正弦值与余割值对于第一、二象限的角是正的，而对于第三、四象限的角是负的．余弦值与正割值对于第一、四象限的角是正的，而对于第二、三象限的角是负的．

正切值与余切值对于第一、三象限的角是正的，而对于第二、四象限角是负的，也可以按正的在各象限的函数来记，即“一全、二正弦，三切、四余弦”(正割、余割分别与余弦、正弦符号相同)

2．同角三角函数的基本关系式

(1)倒数关系：sinαcsc=1cosαsecα=tanαcotα=1

(3)平方关系：sin2α+cos2α=11+tan2α=sec2α1+cot2α=csc2α

3．诱导公式

(1) k·2π+α(k∈Z)，-α，π±a，2π-α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α角看成锐角时原函数值的符号，即

sin(k·2π+α)＝sinα，cos(k·2π+α)=cosα ，tan (k·2π+α)=tan α，cot (k·2π+α)=cot α(k∈Z) sin(-α)=-sinα，cos(-α)＝cosα ，tan(-α)=-tan α，cot(-α)=-tan α

sin(π+α)=-sinα， cos(π+α)=-cosα ，tan(π+α)=tan α， cot(π+α)=cot α sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα ，tan(π-α)=-tan α，cot(π-α)=-cot α sin(2π-α)=-sinα，cos(2π-α)=cosα，tan(2π-α)=-tan α，cot(2π-α)=-cot α

sin(

2π-a) = cosa ，cos(2π-a) = sina ，sin(2π+a) = cosa ，cos(2

π

+a) = -sina (2) 90°±α， 270°±α的三角函数值等于α的余名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，例

如sin(90°+α)=cosα， tan (270°+α)=-cot α

综上，诱导公式可概括为k·90°±α(k∈Z)的三角函数值，等于α的同名(k 为偶数时)或余名(k 为奇数时)的函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简称之为“奇余偶不变，符号看象限”． 4．三角函数的图象和性质

(1)三角函数线

以原点为圆心，以单位长为半径的圆叫做单位圆，如图2—3，设角α的终边与单位圆的交点为p ，过p 作PM 垂直于x 轴，垂足为M ，A(1，0)、B(0，1)，过A 、B 点作单位的切线AT 、BS 分别与角α的终边或其反向延长线交于T 、S 则有向线及MP 、OM 、AT 、BS 、OT 、OS 分别叫作角α的正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线．

(2)三角函数的图象

正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx(如图2—4)

正切函数y=tanx 余切函数y=cotx (如图2—5)

(3)三角函数的周期

①周期函数

对于函数y=f(x)，如果存在着一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．

②最小正周期：对于一个周期函数来说、如果在所有的周期中存在着一个最小正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期．教科书上所指三角函数的周期均为最小正周期．

(4)三角函数的性质

5、积化和差

sinasinb = -

2

1[cos(a+b)-cos(a-b)]

cosacosb =

2

1[cos(a+b)+cos(a-b)]

sinacosb =

2

1[sin(a+b)+sin(a-b)]

cosasinb =

2

1[sin(a+b)-sin(a-b)] 6、和差化积

sina+sinb=2sin

2b

a+cos

2b

a-，sina-sinb=2cos

2b

a+sin

2b

a-

cosa+cosb = 2cos

2b

a+cos

2b

a-，cosa-cosb = -2sin

2b

a+sin

2b

a-

tana+tanb=

b

a b a cos cos )

sin(

（1）积化和差与和差化积各有四个公式，它们实质是一类公式的正用或逆用，即积化和差公式的逆用就是和差化积公式。这些公式既是重点，又是难点，只有掌握准确，才能熟练应用。

（2）积化和差公式是运用两角和、两角差的三角函数公式推导出来的，推导中用了“解方程组”的思想。 和差化积公式是从三角函数的积化和差的公式逆推出来的。推导中用了“换元”的思想。

我们要熟悉推导过程，掌握推导方法，这既有助于对公式的充分理解，又有助于运用公式解决问题。 （3）要注意寻找公式特征，掌握它们的异同点：即角、函数名称、函数间的运算、系数等方面的异同点。①只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能运用公式化成和的形式。②如果是一正弦与一余弦的和或差，可先用诱导公式化成积的形式。例如：

（4）对三角函数的和差化积，常因所采取的途径不同，而导致结果在形式上的差异，但结果实际上是一致的（如上例）。

“和差化积”不能只注意到化成“三角函数的积”，而忽略了答案的最简形式。例如，解如下习题： 把sin 2α-sin 2β化成积的形式。 解 sin 2α-sin 2β