数学归纳法教学设计

数学归纳法教学设计

聊城市外国语学校任耀奎

一、课标要求：1．借助具体实例归纳出数学归纳法的基本原理、步骤；

2．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题．

二、教材分析：数学归纳法的理论依据是皮亚诺公理，皮亚诺公理中的第五条，“数学归纳法”是人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学（选修2-2）》中的第2章推理与证明中的第三单元，数学归纳法的学习，计划利用2个课时学习，本节课是数学归纳法的起始课，主要是理解数学归纳法，并初步利用数归解决简单的数学问题，数学归纳法属于直接证明，它可以完成通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数都成立的命题的证明．在等差数列和等比数列知识的学习过程中，我们用不完全归纳法推出了它们的通项公式，其中正确性的严格证明需要用数学归纳法进行.因此，数学归纳法的学习是学习数列知识的深化和拓展，也是归纳推理的具体应用，

应用数学归纳法(证明某些与正整数有关的命题时常常采用的方法)证明命题的步骤：

（1）（归纳奠基）证明当取第一个值时命题成立；

（2）（归纳递推）假设当时命题成立，证明当时命题也成立；

根据（1）和（2），可知命题对于从开始的所有正整数都成立．

三、学生分析：

学生已经在必修5中学习了不完全归纳法(推导等差、等比数列的通项公式)；在本章的合情推理中已经学习了归纳推理，在演绎推理中学习了“三段论”．这些内容的学习是学生理解推理思想和证明方法的重要基础．因此，教学中通过类比的方法，引导学生理解数学归纳法的本质．

四、教学目标：

1、知识与技能：①借助具体实例归纳出数学归纳法的定义和步骤；

②了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题．

2、过程与方法: ①观察多米诺骨牌试验，体验数学归纳法的发现过程;

②借助例2尝试利用数学归纳法解决数学问题

3、情感态度与价值观：

①通过对数学归纳法原理的探究，养成严谨的科学态度和勇于探索的精神； ②通过置疑与探究，体验类比的思想，逐步形成独立的人格与敢于创新的精神，

五、教学重点和难点：

重点： 数学归纳法教学的重点是借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数（取无限多个值）有关的

数学命题．

难点：学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作

用，不易根据归纳假设作出证明；

六、教学方法：讲授法 讨论法

七、学习方法： 自主、合作、 探究

八、教学资源：电脑 多媒体投影仪等

九、教学设计

1.从思考题中引入课题

（1）、已知数列 {}n a 的通项公式为2

2)55(+-=n n a n （1）求出其前四项4321,,,a a a a ，（2）你能得到什么样的猜想？ 猜想一定正确吗？

（2）、已知数列{}n a ， ...)4,3,2,1(1,111=+==+n a a a a n

n n （1）求出其前四项4321,,,a a a a ，（2）你能得到什么样的猜想？猜想一定正确吗？

分析：逐一验证是不可能的．那么，我们应该思考“怎样通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数都成立”的问题．引出课题“这就是我们今天要研究的直接证明数学问题的一种方法——数学归纳法”．

【设计意图】 应用归纳推理，发现新事实，获得新结论，这是数学归纳法的先行组织者；该思考题出现在本章第一节的合情推理中，是课标教材“螺旋式”上升的具体体现，其思维模式就是“观察——归纳——猜想——证明”．

2.体会多米诺骨牌游戏中蕴含的数学思想

利用flash 软件，动态地演示多米诺骨牌游戏

【设计意图】 通过对多米诺骨牌游戏的分析，让学生经历从具体到抽象的归纳和概括过程，从而理解数学归纳法的本质.在多米诺骨牌游戏过程中，体会所有骨牌都倒下，第1块骨牌必须倒下，这是基础，也是前提条件，同时第块骨牌倒下，必然导致第1+k 骨牌倒下，这是所有骨牌都倒下的保证，也就是多米诺骨牌游戏的连续性．

设问问题： 多米诺骨牌游戏与前面所提到的要解决的问题有相似性吗？能否类比多

米若骨牌游戏来解决你的猜想是正确的？

【设计意图】 在类比的过程中学习数学归纳法.

分析1：根据“第一块骨牌倒下”抽象出数学归纳法的第一步，即（1）（归纳奠基）证明当取第一个值(,例如=1或)时,命题成立.

分析2：根据“任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下”，抽象出数

学归纳法的第二步，即（2）（归纳递推）假设

时命题成立,证明当时命题也成立.

分析3：从完成“多米诺骨牌游戏”中，抽象出数学归纳法证明命题的结论，即由（1），

（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都成立. 【设计意图】 抽象出“多米诺骨牌游戏”的本质.

3.数学归纳法概念的形成

数学归纳法: 对于由不完全归纳法得到的某些与正整数有关的数学命题,我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：

（1）（归纳奠基）证明当取第一个值(,例如=1或)时,命题成立；

（2）（归纳递推）假设

时命题成立,证明当时命题也成立；

根据（1）和（2），可知命题对于从开始的所有正整数都成立. 4、数学归纳法的应用

例1.用数学归纳法证明“122+>n n ,对于0n n ≥的正整数n 都成立”时，第一步证明的

起始值n 应取（ ）A.2 B.3 C.5 D.6

【变式1】若1

2131211)(+++++=n n f ，则1=n 时=)(n f （ ） 1.A 31.B 3

1211.++C 以上都不对.D

【设计意图】数学归纳法第一步中的“第一个数”不一定就是“1”， 也可能是“2”或其它数，要根据题意准确选择．当取第一个值

时，左边的式子要认识到

位 例2.用数学归纳法证明：)()12312*∈=-+

++N n n n （

【变式2】 例2的如下证明对吗？

)()12(5312*∈=-++++N n n n

证明：（1）当1=n 时，左边=1，右边=112=，等式成立

（2）假设n=k 时命题成立，即

1)12(5312+=-++++k k

那么 ]1)1(2[)12(531-++-++++k k 2

)1](1)1(21[+-++=k k 2)1(+=k

即当n=k+1时等式也成立

根据（1）和（2），可知等式对*

∈N n 都成立

【变式3】 试判断下列用数学归纳法证明过程是否正确？

)(1)12(5312*∈+=-++++N n n n

证明：假设n=k 时命题成立，即

1)12(5312+=-++++k k

那么 )12()12(531++-++++k n

)12(12+++=k k 1122+++=k k

1)1(2++=k

即当n=k+1时等式也成立

可知等式对任何*

∈N n 都成立.

【想一想】

(1) 第一步，是否可省略？