函数极限的定义的多种表达
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函数极限的定义
数学科学学院 2010级（1）班
指导教师 韩刚
摘要 极限是数分中的重要内容，用定义证明极限类型题都要用到它。本文就给出二十四个函数极限的定义。
关键词 极限
1函数在一点的极限的定义
1.1函数在0x 点的极限的定义
设函数f(x)在0x 点的附近（但可能除掉点本身）有定义，又设A 是一个定数。如果对任意给定的ε>0，一定存在δ>0，使得当0<0x x -<δ时，总有A x f -)(<ε，我们就称A 是函数在点0x 的极限，记为
A x f x x =→0
)(lim ,
或者记为 f(x)→A(x 0x →).
这时也称函数f(x)在0x 点极限存在，其极限值是A.
1.2函数在点0x 右侧的极限的定义
设函数f(x)在（0x ，η+0x ）内有定义，η是一个确定的正数，又设A 是一个定数。如果对任意给定的ε>0,总存在δ>0，当0 0)(lim +→x x x f =A 或f(x 0+0)=A 或 f(x)→A (x 0x →+0) 这时也称函数f(x)在点0x 右极限存在。 1.3函数在0x 点左侧的极限的定义 设函数f(x)在（00,x x η-）内有定义，η是一个确定的正数，又设A 是一个定数。如果对任意给定的ε>0,总存在δ>0，当0<δ<-x x 0时，有A x f -)(<ε,我们就称A 是函数f(x)在点的左极限，记为 0)(lim -→x x x f =A 或 f(00-x )=A 或 f(x))0(0-→→x x A 这时也称函数f(x)在0x 点左极限存在. 2函数在无限远处的极限 2.1函数在无限远处极限的定义 若对任意给定的ε>0，存在X>0，当X x >时，总有ε<-A x f )(，我们说A 是f(x)在无限远处的极限，或者说A 是当x 的极限时)(x f ∞→,记为 这时也称函数f(x)在无限远处极限存在 2.2函数在正无限远处的极限的定义 若对任意给定的0>ε，存在X>0,当x>X 时，总有ε<-A x f )(，就称A 为f(x)在无限远处的极限，或者称A 是当+∞→x 时f(x)的极限，记为 或 f(x))(+∞→→x A 这时也称函数f(x)在正无限远处的极限存在。 2.3函数在负无限远处的极限的定义 若对任意给定的0>ε，存在X>0,当x<-X 时，总有ε<-A x f )(，就称A 为f(x)在负无限远处的极限，或者称A 是当+∞→x 时f(x)的极限，记为 或 f(x))(-∞→→x A 这时也称函数f(x)在负无限远处极限存在。 3函数在一点处函数值趋于无穷大 3.1函数在0x 点处函数值趋于无穷大的定义 如果对于任何G>0，存在δ>0，当0 )(lim x x x f →=∞或f(x))(0x x →∞→ 3.2函数在0x 点右侧函数值趋于无穷大的定义 如果对于任何G>0,存在0>δ，当0 3.3函数在0x 点左侧函数值趋于无穷大的定义 如果对于任何G>0,存在G x f x x ><-<>)(0,00时，有当δδ,就说函数f(x)在0x 点左侧趋于无穷大（或发散到无穷大），记为 4函数在一点处函数值趋于正无穷大 4.1函数在0x 点处函数值趋于正无穷大的定义 如果对于任何G>0,存在G x f x x ><-<>)(0,00时，有当δδ，就说函数f(x) 在0x 点处趋于正无穷大（或发散到正无穷大），记为 4.2函数在0x 点右侧函数值趋于正无穷大的定义 如果对于任何G>0,存在0>δ，当0 4.3函数在0x 点左侧函数值趋于正无大穷的定义 如果对于任何G>0,存在,)(0,00G x f x x ><-<>时，有当δδ就说函数f(x)在0x 右侧趋于正无穷大（或发散到正无穷大），记为 5函数在一点处函数值趋于负无穷大 5.1函数在0x 点处函数值趋于负无穷大的定义 如果对于任何G>0,存在G x f x x -<<-<>)(0,00时，有当δδ，就说函数f(x)在0x 点处趋于负无穷大（或发散到负无穷大），记为 5.2函数在0x 点右侧函数值趋于负无穷大的定义 如果对于任何G>0,存在,)(0,00G x f x x -<<-<>时，有当δδ就说函数f(x)在0x 右侧趋于正负穷大（或发散到负无穷大），记为 5.3函数在0x 点左侧函数值趋于负无穷大的定义 如果对于任何G>0,存在,)(0,00G x f x x -<<-<>时，有当δδ就说函数f(x)在0x 右侧趋于负无穷大（或发散到负无穷大），记为 6函数在无限远处函数值趋于无穷大 6.1函数在无限远处函数值趋于无穷大的定义 如果对于任何G>0,存在X>0,当G x f X x >>)(时，有，就说函数在无限远处趋于无穷大（或发散到无穷大），记为 6.2函数在正无限远处函数值趋于无穷大的定义 如果对于任何G>0,存在X>0,当G x f X x >>)(时，有，就说函数在正无限远处趋于无穷大（或发散到无穷大），记为 6.3函数在负无限远处函数值趋于无穷大的定义 如果对于任何G>0,存在X>0,当G x f X x >-<)(时，有，就说函数在负无限远处趋于无穷大（或发散到无穷大），记为 7函数在无限远处函数值趋于正无穷大 7.1函数在无限远处函数值趋于正无穷大的定义 如果对于任何G>0,存在X>0,当G x f X x >>)(时，有，就说函数在无限远处趋于正无穷大（或发散到正无穷大），记为 7.2函数在正无限远处函数值趋于正无穷大的定义 如果对于任何G>0,存在X>0,当G x f X x >>)(时，有，就说函数在正无限远处趋于正无穷大（或发散到正无穷大），记为 7.3函数在负无限远处函数值趋于正无穷大的定义 如果对于任何G>0,存在X>0,当G x f X x >-<)(时，有，就说函数在负无限远处趋于正无穷大（或发散到正无穷大），记为 8函数在无限远处函数值趋于负无穷大 8.1函数在无限远处函数值趋于负无穷大的定义 如果对于任何G>0,存在X>0,当G x f X x -<>)(时，有，就说函数在无限远处趋于负无穷大（或发散到负无穷大），记为 8.2函数在正无限远处函数值趋于负无穷大的定义