求随机相位余弦波t=Acosct 的自相关函数和功率谱密度
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随机过程 (t) 的n维概率密度函数：
Fn ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,t n )
f n ( x1，x2， ，x n；t1，t2， ，t n ) Fn ( x1，x2， ，x n；t1，t2， ，t n ) x1x2 x n
n
8
3.1.2 随机过程的数字特征 均值（数学期望）： 在任意给定时刻t1的取值 (t1)是一个随机变量，其 均值
E (t1 ) x1 f1 ( x1 , t1 )dx1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
式中 f (x1, t1) － (t1)的概率密度函数 由于t1是任取的，所以可以把 t1 直接写为t， x1改 为x，这样上式就变为
E (t )
xf1 ( x, t )dx
9
(t)的均值 E (t ) xf1 ( x, t )dx
是时间的确定函数，常记作a ( t )，它表示随 机过程的n个样本函数曲线的摆动中心 :
(t )
a (t )
1 (t ) 2 (t ) n (t )
0
t
10
方差
方差常记为 2( t )。
D[ (t )] E [ (t ) a(t )]2
这里也把任意时刻t1直接写成了t 。因为
12
协方差函数
E [ (t1 ) a (t1 )][ (t2 ) a ( t2 ) ]
B(t1 , t2 )
[ x1 a (t1 )][ x2 a (t2 )] f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2
式中 a ( t1 ) a ( t2 ) － 在t1和t2时刻得到的 (t)的均 值 f2 (x1, x2; t1, t2) － (t)的二维概率密度函数。
的集合。 角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。
3
角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。 在任一给定时刻t1上，每一个样本函数i (t)都是一个 确定的数值i (t1)，但是每个i (t1)都是不可预知的。 在一个固定时刻t1上，不同样本的取值{i (t1), i = 1,
2, …, n}是一个随机变量，记为 (t1)。
数据通信原理
第3章 随机过程
主要内容
3.1 随机过程的基本概念 3.2 平稳随机过程 3.3 高斯随机过程 3.4 平稳随机过程通过线性系统 3.5、、、
2
3.1 随机过程的基本概念 什么是随机过程？ 随机过程是一类随时间作随机变化的过程， 它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同 角度看： 角度1：对应不同随机试验结果的时间过程
13
相关函数和协方差函数之间的关系
B(t1 , t 2 ) R(t1 , t 2 ) a(t1 ) a(t 2 )
若a(t1) = a(t2)，则B(t1, t2) = R(t1, t2)
14
互相关函数
R (t1 , t 2 ) E[ (t1 )(t 2 )]
式中(t)和(t)分别表示两个随机过程。 因此，R(t1, t2)又称为自相关函数。
f n ( x1 , x 2 ,, x n ；t1 , t 2 ,, t n ) f n ( x1 , x2 ,, xn；t1 , t 2 ,, t n )
则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过 程，简称严平稳随机过程。
17
严平稳随机过程的性质： 该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间 的推移而改变，即它的一维分布函数与时间t无关：
若上式中的偏导存在的话，随机过程 (t)的二维概 率密度函数：
F2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) x1 x2
2
7
随机过程 (t) 的n维分布函数：
P (t1 ) x1 , (t 2 ) x2 ,, (t n ) xn
因此，我们又可以把随机过程看作是在时间进程中处 于不同时刻的随机变量的集合。
4
随机过程的描述与数字特征
3.1.1 随机过程的分布函数 3.1.2随机过程的数字特征
5
3.1.1随机过程的分布函数 设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值 (t1)是一个随机变量，则： 随机过程 (t)的一维分布函数：
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主要内容
3.1 随机过程的基本概念 3.2 平稳随机过程 3.3 高斯随机过程 3.4 平稳随机过程通过线性系统 3.5、、、
16
3.2.1 平稳随机过程的定义 定义：若一个随机过程(t)的任意有限维分布函数 与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n 和所有实数，有
均方值
所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机 过程在时刻 t 对于均值a ( t )的偏离程度。
11
相关函数
R(t1 , t 2 ) E[ (t1 ) (t 2 )]
x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 )dx1dx2
式中， (t1)和 (t2)分别是在t1和t2时刻观测得到 的随机变量。可以看出，R(t1, t2)是两个变量t1和t2的 确定函数。
F1 ( x1 , t1 ) P[ (t1 ) x1 ]
若上式中的偏导存在的话，随机过程 (t)的一维 概率密度函数：
F1 ( x1 , t1 ) f1 ( x1 , t1 ) x1
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随机过程 (t) 的二维分布函数：
F2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 , ) P (t1 ) x1 , (t 2 ) x2
Dξ t E ξ 2 t 2a t ξ t a 2 t E[ξ 2 (t )] a 2 (t )
E[ξ 2 (t )] 2a t E ξ t a 2 (t )
均值平方
x 2 f1 ( x, t )dx [a(t )]2
Fn ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,t n )
f n ( x1，x2， ，x n；t1，t2， ，t n ) Fn ( x1，x2， ，x n；t1，t2， ，t n ) x1x2 x n
n
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3.1.2 随机过程的数字特征 均值（数学期望）： 在任意给定时刻t1的取值 (t1)是一个随机变量，其 均值
E (t1 ) x1 f1 ( x1 , t1 )dx1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
式中 f (x1, t1) － (t1)的概率密度函数 由于t1是任取的，所以可以把 t1 直接写为t， x1改 为x，这样上式就变为
E (t )
xf1 ( x, t )dx
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(t)的均值 E (t ) xf1 ( x, t )dx
是时间的确定函数，常记作a ( t )，它表示随 机过程的n个样本函数曲线的摆动中心 :
(t )
a (t )
1 (t ) 2 (t ) n (t )
0
t
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方差
方差常记为 2( t )。
D[ (t )] E [ (t ) a(t )]2
这里也把任意时刻t1直接写成了t 。因为
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协方差函数
E [ (t1 ) a (t1 )][ (t2 ) a ( t2 ) ]
B(t1 , t2 )
[ x1 a (t1 )][ x2 a (t2 )] f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2
式中 a ( t1 ) a ( t2 ) － 在t1和t2时刻得到的 (t)的均 值 f2 (x1, x2; t1, t2) － (t)的二维概率密度函数。
的集合。 角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。
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角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。 在任一给定时刻t1上，每一个样本函数i (t)都是一个 确定的数值i (t1)，但是每个i (t1)都是不可预知的。 在一个固定时刻t1上，不同样本的取值{i (t1), i = 1,
2, …, n}是一个随机变量，记为 (t1)。
数据通信原理
第3章 随机过程
主要内容
3.1 随机过程的基本概念 3.2 平稳随机过程 3.3 高斯随机过程 3.4 平稳随机过程通过线性系统 3.5、、、
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3.1 随机过程的基本概念 什么是随机过程？ 随机过程是一类随时间作随机变化的过程， 它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同 角度看： 角度1：对应不同随机试验结果的时间过程
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相关函数和协方差函数之间的关系
B(t1 , t 2 ) R(t1 , t 2 ) a(t1 ) a(t 2 )
若a(t1) = a(t2)，则B(t1, t2) = R(t1, t2)
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互相关函数
R (t1 , t 2 ) E[ (t1 )(t 2 )]
式中(t)和(t)分别表示两个随机过程。 因此，R(t1, t2)又称为自相关函数。
f n ( x1 , x 2 ,, x n ；t1 , t 2 ,, t n ) f n ( x1 , x2 ,, xn；t1 , t 2 ,, t n )
则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过 程，简称严平稳随机过程。
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严平稳随机过程的性质： 该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间 的推移而改变，即它的一维分布函数与时间t无关：
若上式中的偏导存在的话，随机过程 (t)的二维概 率密度函数：
F2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) x1 x2
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随机过程 (t) 的n维分布函数：
P (t1 ) x1 , (t 2 ) x2 ,, (t n ) xn
因此，我们又可以把随机过程看作是在时间进程中处 于不同时刻的随机变量的集合。
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随机过程的描述与数字特征
3.1.1 随机过程的分布函数 3.1.2随机过程的数字特征
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3.1.1随机过程的分布函数 设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值 (t1)是一个随机变量，则： 随机过程 (t)的一维分布函数：
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主要内容
3.1 随机过程的基本概念 3.2 平稳随机过程 3.3 高斯随机过程 3.4 平稳随机过程通过线性系统 3.5、、、
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3.2.1 平稳随机过程的定义 定义：若一个随机过程(t)的任意有限维分布函数 与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n 和所有实数，有
均方值
所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机 过程在时刻 t 对于均值a ( t )的偏离程度。
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相关函数
R(t1 , t 2 ) E[ (t1 ) (t 2 )]
x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 )dx1dx2
式中， (t1)和 (t2)分别是在t1和t2时刻观测得到 的随机变量。可以看出，R(t1, t2)是两个变量t1和t2的 确定函数。
F1 ( x1 , t1 ) P[ (t1 ) x1 ]
若上式中的偏导存在的话，随机过程 (t)的一维 概率密度函数：
F1 ( x1 , t1 ) f1 ( x1 , t1 ) x1
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随机过程 (t) 的二维分布函数：
F2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 , ) P (t1 ) x1 , (t 2 ) x2
Dξ t E ξ 2 t 2a t ξ t a 2 t E[ξ 2 (t )] a 2 (t )
E[ξ 2 (t )] 2a t E ξ t a 2 (t )
均值平方
x 2 f1 ( x, t )dx [a(t )]2