椭圆复习提高教案

附件：教案正文

核心内容： 1. 椭圆定义：

（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点.

当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在;

当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段

（2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10<

（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.

2.椭圆的方程与几何性质:

和椭圆的关系点),(00y x P

1

),(22022000<+⇔b

y a x y x P 在椭圆内

1),(22

022000=+⇔b y a x y x P 在椭圆上 1),(22

22000>+⇔b

y a x y x P 在椭圆外

考点1 椭圆定义及标准方程 （焦点三角形，以及） 题型1:椭圆定义的运用

[例1 ] (湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反

射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A A

时，小球经过的路程是 A ．4a B ．2(a －c) C ．2(a+c)

D ．以上答案均有可能

【例2】已知动圆P 过定点)0,3(-A ，并且在定圆64)3(:2

2

=+-y x B 的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程.

【新题导练】

1.短轴长为5，离心率3

2

=

e 的椭圆两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为 （ ）

A.3

B.6

C.12

D.24

2已知圆4)3(:221=++y x C ,圆100)3(:222=+-y x C ，动圆P 与1C 外切，与2C 内切，求动圆圆心P 的轨迹方程.

题型2 求椭圆的标准方程

[例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程.

【新题导练】

3. 如果方程x 2+ky 2

=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________.

4.已知方程),0(,1sin cos 2

2πθθθ∈=+y x ,讨论方程表示的曲线的形状

5. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，

求这个椭圆方程.

考点2 椭圆的几何性质

题型1:求椭圆的离心率（或范围）

[例3 ] 在ABC △中，3,2||,300

=

==∠∆ABC S AB A ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率

e = ．

【新题导练】

6.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为（ ） A .

45 B .23 C .22 D .2

1 ,7.已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆

12

2=+n

y m x 的离心率为 题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）

[例4 ] 已知实数y x ,满足12

42

2=+y x ,求x y x -+22的最大值与最小值 【新题导练】

9.已知点B A ,是椭圆22

221x y m n

+=（0m >，0n >）上两点,且λ=,则λ=

10.如图，把椭圆22

1

2516

x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆

的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点

则1

234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=________________

考点3 椭圆的最值问题

[例5 ]椭圆19

162

2=+y x 上的点到直线l:09=-+y x 的距离的最小值为___________．

【新题导练】

11.椭圆19

162

2=+y x 的内接矩形的面积的最大值为

12. P 是椭圆122

22=+b

y a x 上一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，求||||21PF PF ⋅的最大值与最小值

考点4 椭圆的综合应用

题型：椭圆与向量、解三角形问题，弦长及中点弦问题

1向量型

[例6 ] 已知椭圆C 的中心为坐标原点O ,一个长轴端点为()0,1,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P （0，m ），与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且3=． （1）求椭圆方程； （2）求m 的取值范围．

【新题导练】

13，.在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0,的距离之和为4，设点P 的轨迹为C ,直线1y kx =+与

C 交于,A B 两点。

（Ⅰ）写出C 的方程; （Ⅱ）若OA OB ⊥

，求k 的值。

14．已知椭圆2222b

y a x +（a ＞b ＞0）的离心率36=e ，过点A （0，-b ）和B （a ，0）的直线与原点的距离为23

．

（1）求椭圆的方程．

（2）已知定点E （-1，0），若直线y ＝kx ＋2（k ≠0）与椭圆交于C 、D 两点．问：是否存在k 的值，使以CD

为直径的圆过E 点?请说明理由．

2．“中点弦型”