正交投影

投影的严格定义是：一个从向量空间V射到它自身的线性变换P是投影，当且仅当P2= P。另外一个定义则较为直观：P是投影，当且仅当存在V的一个子空间W，使得P将所有V中的元素都映射到W中，而且P在W上是恒等变换。用数学的语言描述，就是：

，使得，并且

在现实生活中，阳光在地面上留下各种影子。这就是投影变换最直白的例子。可以理想化地假设阳光都是沿着同一个方向（比如说垂直于地面的角度）照射而来，大地是严格的平面，那么，对于任意一个物体（比如说一只正在飞行的鸟），它的位置可以用向量(x, y, z) 来表示，而这只鸟在阳光下对应着一个影子，也就是 (x, y, 0)。这样的一个变换就是一个投影变换。它将三维空间中的向量 (x, y, z) 到映射到向量 (x, y, 0) 。这是在x-y平面上的投影。这个变换可以用矩阵表示为

因为对任意一个向量 (x, y, z) ，这个矩阵的作用是：

注意到如果一个向量原来就是表示地面上的一点的话（也就是说它的z分量等于0），那么经过变换P后不会有改变。也就是说这个变换在子空间x-y平面上是恒等变换，这证明了P的确是一个投影。

另外，

所以P = P2，这也证明P的确是投影。

基本性质

变换T是沿着k方向到直线m上的投影。T的像空间是m而零空间是k。

这里假定投影所在的向量空间V是有限维的（因此不需要考虑如投影的连续性之类的问题）。假设子空间U与W分别为P的像空间与零空间（也叫做核）。那么按照定义，有如下的基本性质:

1.P在像空间U上是恒等变换：

2.整个向量空间可以分解成子空间U与W的直和：。也就是说，

空间里的每一个向量v，都可以以唯一的方式写成两个向量u与w的和：v= u+ w，并且满足、。事实上，每一个向量v都可以写成

。P(v)显然在像空间中，而另一方面

，所以v−P(v)在零空间中。

用抽象代数的术语来说，投影P是幂等的线性变换（P2= P）。因此它的极小多项式是

如果向量空间被赋予了内积，那么就可以定义正交和其它相关的概念(比如线性算子的自伴随性)了。在内积空间（赋予了内积的向量空间）中，有正交投影的概念。具体来说，正交投影是指像空间U和零空间W相互正交子空间的投影。也就是说，任意，

，它们的内积(u | v)都等于0。一个投影是正交投影，当且仅当它是自伴随的变换，这意味着正交投影的矩阵有特殊的性质。如果投影是在实向量空间中，那么它对应的矩阵是对称矩阵: P = P T。如果投影是在实向量空间中，那么它的矩阵则是埃尔米特矩阵:P = P*。实际上，如果投影P是自伴算子，那么

（P*表示P的伴随算子）

所以P是正交投影。反过来如果P是正交投影，那么

，

然而，所以

鉴于是任取的，必然有P*−P*P = 0。所以P* = P*P是一个自伴算子，因此P也是自伴算子。

[编辑]例子

正交投影的最简单的情况是到（过原点）直线上的正交投影。如果u是这条直线的单位方向向量，则投影给出为

这个算子保留u不变（），并且它作用在所有正

交于u的向量上都是0（如果(u | v) = 0，那么P u(v) = uu*v = u(u | v) = 0），证明它的确是到包含u的直线上的正交投影[2]。

这个公式可以推广至到在任意维的子空间上的正交投影。设u1, …, u k是子空间U的一组正交基，并设A为一个n×k的矩阵，它的列向量是u1, …, u k。那么投影：

[3]

也是正交的。矩阵A T是在U的正交补变为零的偏等距同构，而A是把U嵌入底层向量空间的等距同构。P A的值域因此是A的“终空间”(final space)。A T A是在U上的恒等算子也是明显的。

正交条件也可以去除。如果u1, …, u k是(不必须正交)基，而A是有这些向量作为列的矩阵，则投影是

。[4]

矩阵A T仍把U嵌入到低层向量空间中但一般不再是等距的。矩阵 (A T A)−1是恢复规范的“规范化因子”。例如，秩-1 算子uu T不是投影，如果 ||u|| ≠ 1。在除以u T u= \|u\|2之后，我们得获得了到u所生成的子空间的投影u(u T u)−1u T。

所有这些公式对于复数内积空间也成立，假如用共轭转置替代转置。

[编辑]斜投影

术语斜投影有时用来提及非正交投影。这些投影也用来在二维绘图中表示空间图形(参见斜投影)，尽管不如正交投影常用。

斜投影用它们的值域和零空间来定义。有给定值域和零空间的投影的矩阵表示的公式可如下这样找到。设向量u1, …, u k形成了投影的值域的基，并把这些向量组合到n×k 矩阵A中。值域和零空间是互补空间，所以零空间有维度n−k。它推出零空间的正交补有维度k。设v1, …, v k形成这个投影的零空间的正交补的基，并把这些向量组合到矩阵B中。则投影定义为

。

这个表达式一般化上面给出的正交投影公式。[5]

[编辑]在赋范向量空间上的投影

当底层向量空间X是(不必需有限维)赋范向量空间，需要考虑无关于有限维情况的分析问题，假定现在X是巴拿赫空间。

上面讨论的多数代数概念转移到这个上下文后幸存下来了。给定的X的直和分解成补子空间仍指定一个投影，反之亦然。如果X是直和X= U⊕V，则定义自P(u+ v) = u的算子仍是有值域U和核V的投影。明显的也P2= P。反过来说，如果P是在X上的投影，就是说P2 = P，则很容易验证 (I−P)2 = (I−P)。换句话说，(I−P) 也是投影。关系I = P + (I−P) 蕴涵了X是直和 Ran(P) ⊕ Ran(I−P)。

但是相对于有限维情况，投影一般不必须是连续的。如果X的子空间U在规范拓扑下不闭合，则到U上的投影是不连续的。换句话说，连续投影P的值域一定是闭合子空间。进一步的，连续投影(事实上，一般的连续线性算子)的核是闭合的。所以连续投影P把X分解成两个互补的闭合子空间: X= Ran(P) ⊕ Ker(P) = Ran(P) ⊕ Ran(I−P)。

反命题在有额外假定条件下也成立。假设U是X的闭合子空间。如果存在一个闭合子空间V使得X = U⊕V，则有值域U和核V的投影P是连续的。这是从闭合图定

理推出的。假定x n→x而Px n→y。需要证明Px= y。因为U是闭合的且 {Px n} ⊂U, y位于U中，就是说Py = y。还有x n−Px n = (I−P)x n→x−y。因为V是闭合的且 {(I−P)x n} ⊂V，我们有了x−y∈V，就是说P(x−y) = Px−Py = Px−y = 0，这证明了这个断言。

上述论证利用U和V都是闭合的假定。一般的说，给定一个闭合子空间U, 不需要存在一个互补的闭合子空间V，尽管对于希尔伯特空间总是可以采取正交补得到。对于巴拿赫空间，一维子空间总是有闭合的补子空间。这是哈恩-巴拿赫定理的直接推论。设U是u的线性扩张。通过哈恩-巴拿赫定理，存在一个有界线性泛函φ，使得φ(u) = 1。算子P(x) = φ(x)u满足P2= P，就是说它是个投影。φ的有界性蕴涵了P的连续性，因此 Ker(P) = Ran(I−P) 是U的闭合补子空间。