14抛物线的参数方程(教师版)

14. 抛物线的参数方程

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学习目标：1. 了解椭圆的参数方程的推导过程及参数的意义； 2. 掌握椭圆的参数方程，并能解决一些简单的问题. 学习重点：椭圆参数方程的应用，

学习难点：椭圆参数方程中参数的意义. 学习过程：

一、课前准备：

阅读教材3334P P -的内容，理解抛物线的参数方程的推导过程，并复习以下问题： 1.将下列参数方程化为普通方程：

（1）2

23

x t y t t =-⎧⎨

=+-⎩（t 为参数），答：2

53x x y --=； （2）224x m y m

⎧=⎨=⎩（m 为参数），答：2

8x y =.

2.将下列普通方程化为参数方程：

（1）2

2x y =，其中1x t t

=-（t 为参数），答：221224

x t t y t t ⎧=-⎪⎨⎪=+-⎩

；

（2）2

34y x =，其中x t =（0t ≥为参数）

，答：x t

y =⎧⎪⎨=⎪⎩

. 二、新课导学： （一）新知：

抛物线的参数方程的推导过程：

如图：设(,)M x y 为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM 为终边的角记为α，当α在(,)22

ππ

-

内变化时，

点M 在抛物线上运动，并且对于α的每一个值，在抛物线上都有唯一的M 点与对应.因此，可以取α为参数探求抛物线的参数方程.

根据三角函数的定义得，tan y

x

α=，即tan y x α=，联立2

2y px =，得

22tan 2tan p x p y α

α⎧=⎪⎪⎨

⎪=⎪⎩

（α为参数），这为抛物线的不含顶点的参数方程，但方程的形式不够简洁， 设1

tan t α=，(,0)(0,)t ∈-∞+∞，则222x pt y pt

⎧=⎨=⎩（t 为参数 ），

当0t =时，由参数方程得，正好为顶点(0,0)O ，因此当(,)t ∈-∞+∞时，上式为 22y px =的参数方程.

注意：参数t 的几何意义为：表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.

动动手：（1）选择适当的参数t ，建立抛物线2

2x py =的参数方程.

【解析】如图，(0,

)(,)2

2

ππαπ∈，根据三角函数的定

义

得，tan y t x

α==，即y xt =，联立2

2x py =，得

2

22x pt

y pt

=⎧⎨=⎩（t 为参数）. （2）可选择M 到准线的距离t 为参数，2

2y px =的参

数方程是怎样的

【解析】如图，||MA t =，则2

p

x t =-

，代入抛物线方程，得y

=

2p x t y ⎧=-⎪⎨

⎪=⎩

（t 为参数）. （二）典型例题：

【例1】A 、B 是抛物线2

2y x =上异于顶点的两动点，

且OA OB ⊥，OM AB ⊥并与AB 相交于M ，求点M 的轨迹方程.

【解析】方法一 ：设(,)M x y ，211(2,2)A t t ，2

22(2,2)B t t 1212(,0)t t t t ≠⋅≠且. 由OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，

221212(2)20t t t t +=，121t t =-………①

又OM AB ⊥，所以0OM AB ⋅=，

2221212()2()0x t t t t -+-=.

所以12()0x t t y ++=，12(0)y

t t x x

+=-≠……………②

又211(2,2)AM x t y t =--，2

22(2,2)MB t x t y =--且A ，M ，B 共线.

∴22

1212(2)(2)(2)(2)x t t y y t t x --=--，即1212()20y t t t t x +--=……③

由①，②代入③，得到 2

2

20(0)x y x x +-=≠，这就是所求M 点的轨迹方程.

方法二：设2111(,)(0)2y A y y ≠，2

2

22(,)(0)2

y B y y ≠，

因为OA OB ⊥，所以

22

12

12022

y y y y ⋅+=，124y y =-， 直线AB 的方程为：211122

()2

y y y x y y -=-+，即122(2)y x y y =

-+， 所以直线AB 过定点(2,0)C p

又OM AB ⊥，所以点M 的轨迹是以OC 为直径的圆，则M 的轨迹方程为 222()(0)x p y p y -+=≠.

动动手：已知O 是坐标原点，A 、B 是抛物线2

22x pt y pt

⎧=⎨=⎩（t 为参数）上异于顶点的两动点，

且OA OB ⊥，求AB M 中点的轨迹方程．

【解析】设)2,2(121pt pt A ，)2,2(22

2pt pt B ，由OA OB ⊥，得121-=t t ，

又中点),(y x M 由⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+=+=+=+=)

(222)(222212122212

221t t p pt pt y t t p pt pt x ，结合121-=t t ， 得点M 的方程为:)2(2

p x p y -=.

三、总结提升：

1.弄清抛物线参数方程中参数的几何意义，特别是参数t 对应的角的取值范围，会将抛物线的参数方程与普通方程互化.

2.抛物线2

2(0)y px p =>上任意一点可以设为2

(2,2)M pt pt . 3.在求轨迹方程时，可以考虑用参数的方式设出动点的坐标. 四、反馈练习：

1. 若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线2

4()4x t t y t

⎧=⎨=⎩为参数上，则PF 等于（ C ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5 2. 抛物线2

2x m

y m

=⎧⎨=-⎩（m 为参数）的焦点坐标是 （ B ） A ．(1,0)- B ．(0,1)- C ．(0,2)- D ．(2,0)- 3. 已知曲线2

2()2x pt t p y pt

⎧=⎨=⎩为参数为正常数,上的两点,M N 对应的参数分别为12t t 和，

120t t +=且，那么MN = （ C ）

A ．1p t

B ．12p t

C ．14p t

D ．18p t

4. 若曲线2

22x pt y pt

⎧=⎨=⎩（t 为参数）上异于原点的不同的两点1M 、2M 所对应的参数分别是1t 、

2t ，求12M M 所在直线的斜率.

【解析】由于1M 、2M 所对应的参数分别是1t 、2t ，，所以可设两点1M 、2M 坐标分别为

22111222(2,2),(2,2)M pt pt M pt pt ，

所以，112222

1212

221

22M M pt pt k pt pt t t -=

=-+. 5. A 、B 是抛物线2

2y x =上异于顶点的两动点，且OA OB ⊥，点A 、B 在什么位置时，AOB ∆的面积最小最小值是多少

【解析】设211(2,2)A t t ，2

22(2,2)B t t 1212(,0)t t t t ≠⋅≠且，

则1||2|OA t =

，2||2||OB t =， 因为OA OB ⊥，所以121t t =-，

所以122|AOB S t t ∆=

=

=4≥， 当且仅当12t t =-时，即A 、B 关于x 轴对称时AOB ∆面积最小，最小面积为4.

五、学后反思：