交大版《离散的数学结构》标准答案

离散数学辅助教材

概念分析结构思想与推理证明

离散数学习题解答 习题六 （第六章 图论）

1．从日常生活中列举出三个例子，并由这些例子自然地导出两个无向图及一个向图。

[解] ①用V 代表全国城市的集合，E 代表各城市间的铁路线的集合，则所成之图G=（V ，E ）是全国铁路交通图。是一个无向图。

②V 用代表中国象棋盘中的格子点集，E 代表任两个相邻小方格的对角线的集合，则所成之图G=（V ，E ）是中国象棋中“马”所能走的路线图。是一个无向图。

③用V 代表FORTRAN 程序的块集合，E 代表任两个程序块之间的调用关系，则所成之图G+（V ，E ）是FORTRAN 程序的调用关系图。是一个有向图。 2．画出下左图的补图。

[解] 左图的补图如右图所示。

3．证明下面两图同构。

[证] 存在双射函数ϕ:V→V′及双射函数ψ : E→E′ϕ (v1)=v1′ϕ (v1，v2)=(v1′，v2′)

ϕ (v2)=v2′ϕ (v2，v3)=(v2′，v3′)

ϕ (v3)=v3′ϕ (v3，v4)=(v3′，v4′)

ϕ (v4)=v4′ϕ (v4，v5)=(v4′，v5)

ϕ (v5)=v5′ϕ (v5，v6)=(v5′，v6′)

ϕ (v6)=v6′ϕ (v6，v1)=(v6′，v1′)

ϕ (v1，v4)=(v1′，v4′)

ϕ (v2，v5)=(v2′，v5′)

ϕ (v3，v6)=(v3′，v6′) 显然使下式成立：

ψ (v i，v j)=(v i,v j′)⇒ϕ (v i)=v i′∧ϕ (v j)=v j′(1≤i·j≤6)

于是图G与图G′同构。

4．证明（a），（b）中的两个图都是不同构的。

v4'

v3'

G′

G

G′

G

图G 中有一个长度为4的圈v 1v 2v 6v 5v 1，其各顶点的度均为3点，而在图G ′中却没有这样的圈，因为它中的四个度为3的顶点v 1'，v 5'，v 7'，v 3'不成长度的4的圈。

图G 中′有四个二度结点，v 6'，v 8'，v 4'，它们每个都和两个三度结点相邻，而G 中一个区样的结点都没有。

在（b ）中，图G '中有一2度结点v 3'，它相邻的两个项点v 2'，v 4'的度均为4，而在图G 中却没有这样的点。

5．一个图若同构于它的外图，则称此图为自补图。在满足下列条件的无向简单图中： 1) 给出一个五个结点的自补图；

2)有三个或一结点的自补图吗？为什么？

3）证明：若一个图为自补图，则它对应的完全图的边数不清必然为偶数。 [解] 1) 五个结点的自补图如左图G 所示

同构函数ϕ : V →V 及ψ : E →E 如下： ϕ (a)=a ψ(a ，b)=(a ，c) ϕ (b)=c ψ(b ，c)=(c ，e) ϕ (c)=e ψ(c ，d)=(e ，d) ϕ (d)=b ψ(d ，e)=(b ，d) ϕ (e)=d

(e ，a)=(d ，a)

2)（a ）没有三个结点的自补图。因为三个结点的完备图的边数为2)13(3-=3为

奇数，所以由下面3)的结论，不可能有自补图。

（b ）有五个结点的自补图。1）中的例子即是一个五个结点的自补图。 3）证：一个图是一个自补图，则它对应的完全图的边数必为偶数。

G

G

e

a

e

b

因为若一个图G 是自补图，则G ∪G =对应的完全图，而且E ∩E =φ，G 现G 同构，因此它们的边数相等，即|E|=|E |，因此对应的完全图的边数|E*|=|E|+|E |=2|E|，是偶数。

实际上，n 个项点（n ＞3）的自补图G ，由于其对应的完全图的边数|E*|=

2

)1n (n -，因此有2)

1(-n n =2|E|，为偶数。这里n ≥4。对于所有大于或等

于4的正整数，都可表达成n=4k ，4k+1，4k+2，4k+3的形式，这里k=1，2，…。其中只有n=4k ，4k+1，才能使2

)

1n (n -为偶数，所以自补图的项点数只能是4k 或4k+1形式，（k ∈N ）

6．证明在任何两个或两个以上人的组内，总存在两个人在组内有相同个数的朋友。

[证] 令上述组内的人的集合为图G 的项点集V ，若两人互相是朋友，则其间联以一边。所得之图G 是组内人员的朋友关系图。显然图G 是简单图，图中项点的度恰表示该人在组内朋友的个数，利用图G ，上述问题就抽象成如下的图认论问题：在简单图G 中，若|V|≥2，则在G 中恒存在着两个项点，v 1，v 2∈V ，使得它们的度相等，即deg(v 1)=deg(v 2)。其证明如下：

若存在着一个项点v ∈V ，使得deg(v)=0，则图G 中各项点的度最大不超过n-2。因此n 个项点的度在集合{0，1，2，…，n-2}里取值，而这个集合只有n-1个元素，因此，根据鸽笼原理，必有两个项点的度相同。

若不存在一个度为零的项点，则图G 中各项点的度最大不超过n-1。因此n 个项点的度在集合{1，2，…，n-1}中取值，这个集合只有n-1个元素，因此，根据鸽笼原理，必有两具项点的度相同。

7．设图G 的图示如右所示： 1) 找出从A 到F 的所有初级路；

2）找出从A 到F 的所有简单路； 3）求由A 到F 的距离。 [解] 1）从A 到F 的初级路有7条

P 1 : (A ，B ，C ，F)，P 2 (A ，B ，C ，E ，F)，P 3 : (A ，B ，E ，F) P 4 : (A ，B ，E ，C ，F)，P 5 : (A ，D ，C ，E ，F)，P 6 : (A ，D ，E ，C ，F) P 7 : (A ，D ，E ，B ，C ，F)。 2）从A 到F 的简单路有9条

除了上述1）中7条外，不有P 8 : (A ，D ，E ，C ，B ，E ，F)

E