数学建模—初等数学建模篇

因为公平分配席位的原则是使得相对不公平度尽可能
地小，所以如果
rB (n1 1, n2 ) rA(n1, n2 1).............(5) 则这1席应分给A方，反之则分给B方。根据（3）、（4） 两式，（5）式等价于
p2 n（2 n2
2
1）
p12 n1(n1 1)
............(6)
数学建模
初等数学建模篇
引言
• 如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、 确定性模型描述就能达到建模目的时，我们基本上可 以用初等数学的方法来构造和求解模型。通过如下介 绍的若干实例读者能够看到，用很简单的数学方法已 经可以解决一些饶有兴味的实际问题。需要强调的是， 衡量一个模型的优势全在于它的应用效果，而不是采 用了多么高深的数学方法，进一步说，如果对于某个 实际问题 我们用初等的方法和所谓高等的方法建立了 两个模型，它们的应用效果相差无几，那么受到人们 欢迎并采用的，一定是前者而非后者
rA(n1, n2 )
p1 / n1 p2 / n2 .............(1) p2 / n2
为对A的相对不公平值。若p2 / n2 p1 / n1，则定义
rB (n1, n2 )
p2 / n2 p1 / n1 .............(2) p1 / n1
为对B的相对不公平值。制定席位分配方案的原则是使
建立数量指标
讨论A、B两方公平分配席位的情况。设两方人数分别 是p1和p2 ,占有席位分别是n1和n2，则两方每个席位代表 的人数分别为p1 / n1和p2 / n2，显然仅当p1 / n1 p2 / n2时， 席位的分配才是公平的。但是因为人数和席位都是整
数，所以通常p1 / n1 p2 / n2，这时席位分配不公平，并 且pi / ni (i 1, 2)数值较大的一方吃亏，或者说对每个席 位代表的人数多这一方不公平。
rA , rB尽可能小。
确定分配方案
假设A、B两方已分别占有n1和n2席，利用相对不公平 值rA和rB讨论，当总席位增加1席时，应该分配给A还 是B。
不失一般性，可设p1 / n1 p2 / n2，即对A不公平， 当再分配1个席位时，关于pi / ni (i 1, 2)的不等式可能 有以下3种情况：
1. 公平的席位分配
• 某学校有3个系共200名学生，其中甲系100名，乙系60 名，丙系40名。若学生代表会议设20个席位，公平而 又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配，显 然甲乙丙三系分别应占有10、6、4个席位。
• 现在丙系有6名学生转入甲乙两系，各系人数如下表所 示。仍按比例分配席位时出现了小数，在将取得整数
还可证明，上述第1种情况的p1 /(n1 1) p2 / n2也与
（6）式等价。于是我们的结论是，当（6）式成立时
增加的1席应分给A方，反之则分给B方。
若记Q i
pi 2
/ n（i ni +1）(i
1, 2),则增加的1席应分给
Q值较大的一方。
上述方法可以推广到有m方分配席位的情况。
第i方人数为pi，已占ni个席位，i 1, 2,..., m.当总席 位增加1席时，计算
的19席分配完毕后，三系同意剩下的1席参照所谓惯例 分给比例中小数最大的丙系，于是三系分别占有10、6、 4席（如表所示）。
•系 别
学生 人数
学生人数 比例（%）
20个席位的分配
比例分配 参照惯例
的席位
的结果
甲
103
51.5
10.3
10
乙
63
31.5
6.3
6
丙
34
3.4
3.4
4
• 因为有20个席位的代表会议在表决提案时可能出现10： 10的局面，会议决定下一届增加1席。他们按照上述方
Q i
pi2 , i ni (ni 1)
1, 2,...., m。.............(7)
应将这一席分给Q值最大的一方。这种席位分配方
法称Q值法。
下面用Q值法重新讨论本节开始提出的甲乙丙三系分配 21个席位的问题。
先按照比例计算结果将整数部分的19席分配完毕， 有n1 10, n2 6, n3 3,然后再用Q值方法分配第20席和第 21席。
上述双方人数增加为p1 1020, p2 1000，而席位不变时， p1 / n1 p2 / n2 102 100 2，即绝对不公平程度不变。 但是常识告诉我们，后面这种情况的不公平程度比起前
面来已经大为改善了。
为了改进上述绝对标准，自然想到用相对标准。仍记p1、 p2为A、B两方的固定人数，n1、n2为两方分配的席位（可 变），若p1 / n1 p2 / n2,则定义
1............(3)
3.若p1 / n1 p2 （/ n2 +1），即当B方增加1席时将对A不公
平 参照（1）式可计算出对A的相对不公平度为
rA(n1, n2
1)
p1(n2 1) p2n1
1............(4)
（不可能出现p1 / n1 p2 （/ n2 +1）的情况，为什么？）
第20席的分配：
Q1
=
1032 10 11
1.若p1（/ n1 1） p2 / n2，这说明即使A方增加1席，仍然 对 A不公平，所以这一席显然应分配给A方。
2.若p1（/ n1 1） p2 / n2,则说明当A方增加1席时变为对B 不公平，参照（2）式可计算出对B的相对不公平度为
rB (n1 1, n2 )
p2 (n1 1) p1n2
不妨设p1 / n1 p2 / n2,不公平程度可用数值p1 / n1 p2 / n2 来衡量。如设p1 120, p2 100, n1 n2 10,则有 p1 / n1 p2 / n2 12 10 2，它衡量的是不公平的绝对程 度，常常无法区分两种程度明显不同的不公平情况。如
法重新分配席位，计算结果见下表，显然这个结果对 丙系太不公平了，因为总席位增加1席，而丙系却由4 席减为3席。
系 别Fra Baidu bibliotek学生人数
21个席位的分配
比例分配的 参照惯例的
席位
结果
甲
103
10.815
11
乙
63
6.615
7
丙
34
3.570
3
要解决这个问题必须舍弃所谓惯例，找到衡量公平 分配席位的 指标，并由此建立新的分配方法。