数学物理方程讲义全.

LC1u1 C2u2 C1L u1 +C2L u2
对于一般的线性边界条件 (u u ) (P,t)
n S
也可以写成算子的形式
L0u
(u


u ) n
s

可以证明L0也是线性算子
数学物理方程
第一章 绪论
叠加原理1 设ui满足线性方程（或者线性定解条件）
(2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；依 所给边界条件的类型分为：第一类边值问题（Dirichlet问 题）；第二类边值问题（Neumann问题）；第三类边值问 题（Robbin问题）
(3) 混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。
数学物理方程
第一章 绪论
四、定解问题的适定性 1、偏微分方程的解
1、一般研究程序： 1）将物理问题依有关定律建立相应的数学模型 2）对数学模型应用数学方法求解 3）将解答通过数学论证和实践检验鉴定其正确性
2、本课程内容：以三种典型方程的定解问题的求解方法 为主要研究内容，重点掌握
1）有关基本概念 2）典型物理问题方程的建立 3）常用的几种解法及典型例题求解
数学物理方程

2a12zx zy

a22
z
2 y
0
的解
设 z(x, y) c 是上述方程的解
则由复合函数求导得： dy zx dx zy
从而上式变为常微分方程
a11
(
dy dx
)2

2a12
dy dx

a22

0
—原方程的特征方程
数学物理方程
第一章 绪论
由一元二次方程的求解,可将特征方程分成两个方程：
古典解：如果将某个函数 u 代入偏微分方程中，能使方程成 为恒等式，则这个函数就是该偏微分方程的解。
通解：解中含有相互独立的和偏微分方程阶数相同的任意常 数的解。
特解：满足方程及定解条件的解，也称为定解问题的解。
光滑解：可无穷次可微的解。
解析解：可展开成收敛幂级数形式的解。 形式解：未经过验证的解为形式解。
述。包括微分方程和积分方程，主要是偏微分方程。
二、重要性
数学物理方程反映了自然科学和工程技术的各门分支中 物理量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关 系，是数学联系实际的一个重要桥梁,已经成为自然科学、 工程技术甚至经济管理科学等领域的研究基础。
数学物理方程
第一章 绪论
三、研究方法及本课程内容
由于 A122 A11A22 （a122 a11a22 )(xy yx )2
所以，判别式 (x, y) 的符号在作变量代换时不变，即所 作变量代换不改变方程类型
例如：波动方程
2u t 2

a2
2u x2

0
02 1 (a2 ) a2 0
双曲型方程
位势方程 热传导方程
数学物理方程
第一章 绪论
3、方程的线性与非线性：
线性方程——如果一个偏微分方程的未知函数及其各阶偏导数都是线性
的（一次幂），如m个自变量的二阶线性偏微分方程可写成如下形式
i,
m j 1
aij
(
x)
2u xix
j

m i
bi
(
x)
u xi
c(x)u
f (x)
非线性方程——含有未知函数及其偏导数的非线性项，非线性项有三种形式：
数学物理方程
第一章 绪论
§3、二阶线性偏微分方程的分类
二阶线性偏微分方程的一般形式
m
2u
i, j1 aij (x) xix j

m i
u bi (x) xi
c(x)u
f (x)
特别对有两个自变量（x，y）函数的二阶线性偏微 分方程可写为：
a11
2u x2
2a12
期中系数
A11

a11
2 x

2a12x y

a22
2 y
A12 a11xx a12 (xy yx ) a22 yy
A22

a11
2 x

2a12 x y

a22
2 y
可见若有 ， 使上两式为零，则原方程可以简化。
而 ， 恰是方程
a11zx2
数学物理方程
第一章 绪论
数学物理方程
-----用数学方程来描述一定的物理现象。 ☆ 课程的内容
三个方程：
波动方程、热传导、拉普拉斯方程
四种方法： 行波法、分离变量法、格林函数法、积分变换法
数学物理方程
第一章
绪伦
第一章 绪论
第一节 概述
一、 数学物理方程定义 含有未知函数的偏导数的方程，是物理现象的数学描
1）未知函数本身为非线性的项，如 u2 ,sin u, eu
2）未知函数偏导数的系数含有未知函数或其低阶导数项，
如 uux ,ux2uyy , (sin ux )uyy 3）未知函数最高阶导数为非线性的项，如 ux sin(uxyy ), x2ux2x ,euux2
拟线性方程—未知函数的所有最高阶偏导数都是线性的 半线性的拟线性方程—最高阶导数的系数仅仅是自变量的函数
数学物理方程
第一章 绪论
三、定解条件和定解问题
1、定解条件
为完全确定一个物理状态所给出的初始状态和边界状 态，即外加的特定条件
(1) 初始条件：给出未知函数或其对时间的偏导数的起始状态
(2) 边界条件：给出未知函数在所求区域的边界上的值或导数 值或两者的线性组合。 S——给定区域v 的边界
如：
u |s f (P,t)
2u xy
a22
2u y 2
b1
u x
b2
u y
cu

f
为简化方程设作代换
x x(，），y y(,), 即： (x, y), (x, y)
则由复合函数的求导有
数学物理方程
第一章 绪论
A11u 2 A12u A22u B1u B2u Cu F
数学物理方程
第一章 绪论
2、定解问题的适定性 为使定解问题的解能反映原来的物理现象，对数学上的解提
出的一些标准，称为适定性。包括存在性、唯一性和稳定性。 •解的存在性：所给定解问题有解；
•解的唯一性：所给定解问题只有一个解；
解的稳定性：当定解条件及方程中的系数或自由项有微小 变化时，相应的解也只有相应的微小变动。
aij
(x)
2u xix
j

m i
u bi (x) xi
c(x)u
f (x)
容易验证L是线性微分算子，即满足性质
1、LCu CLu （C为任意常数）
2、Lu1 u2 Lu1+Lu2 （u1、u2为任意函数）
综合得：对任意函数u1、u2和常数C1、C2有
第一类边界条件
u g(P,t)
n s
(u u ) (P,t)
n S
第二类边界条件 第三类边界条件
数学物理方程
第一章 绪论
2、定解问题
1）泛定方程：通常称偏微分方程为泛定方程 2）把泛定方程和其相应的定解条件结合在一起，就构成了 一个定解问题。 3）定解问题的提法
(1) 初始问题（柯西问题）：只有初始条件，没有边界条件的 定解问题；
1
那么u满足线性方程（或者线性定解条件）


Lu LCiui Ci fi
1
1
数学物理方程
第一章 绪论
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– 第四级 » 第五级
让我们共同进步
数学物理方程
知识回顾 Knowledge Review
第一章 绪论
Lui fi i 1, 2,L m
则它们的任意线性组合 u 也Ciu满i 足方程（或定解条件）
m
m
L u L Ciui Ci fi
1
1
叠加原理2 设ui满足线性方程（或者线性定解条件）
Lui fi i 1, 2,L ,

又设级数 u Ciui 收敛及满足其它必要条件
2）(x, y) a122 a11a22 =0 原方程为抛物型偏微分方程
u Au Bu Cu F 抛物型方程的标准型形式
数学物理方程
第一章 绪论
3）(x, y) a122 a11a22 <0 原方程为椭圆形偏微分方程 u u Au Bu Cu F 椭圆型方程的标准型形式
§2、数学物理方程的基本概念
第一章 绪论
一、方程的概念——由未知量组成的关系式（等式） 1、按未知量的形式： 代数方程——未知量是数量； 函数方程——未知量是函数； 常微分方程——方程含有函数的导数； 偏微分方程——方程含有多自变量函数的偏导数； 积分方程——方程含有未知函数的积分；
2、方程的阶数——方程中出现的未知函数的最高阶偏导数。 可分为一阶方程、二阶方程、高阶方程
2u 2u 0 x2 y 2
u a 2 2u
t
x 2
02 11 0 02 1 0 0
椭圆型方程 抛物型方程
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第一章 绪论
§4、线性叠加原理
线性方程的解具有叠加特性
对n个自变量的二阶线性偏微分方程
L u

m i, j 1
根据判别式 (x, y) a122 a11a22 的符号可将二阶线性偏微分方程化为3类
1）(x, y) a122 a11a22 >0 原方程为双曲型偏微分方程 u Au Bu Cu F 双曲型方程的第一标准型形式
u u Au Bu Cu F 双曲型方程的第二标准型形式
Baidu Nhomakorabea
dy a12 a122 a11a22 ,
dy a12 a122 a11a22
dx
a11
dx
a11
进而得特征方程的通解 z1(x, y) c1 和 z2 (x, y) c2
称为特征曲线
取 z1(x, y) 和 z2 (x, y) 则A11，A22均为零，原方程可简化