导数的概念.ppt

△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内
v 4.9t 13.1
当△t = – 0.01时, v 13.051
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 间内
v 4.9t 13.1
当△t = 0.01时, v 13.149
当△t = – 0.001时, v 13.0951 当△t =0.001时, v 13.1049 当△t = –0.0001时, v 13.09951 当△t =0.0001时, v 13.10049
又如何求 瞬时速度呢?
阅读课本P4 5,理解导数的概念
新课讲解：
跳水运动员从10m高跳台腾空到入水的过程中，不同 时刻的速度是不同的。假设t 秒后运动员相对于水面的高 度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10,计算运动员在2秒到2+⊿t秒内的 平均速度。
v h h(2 t) h(2) 13.1 4.9t
定值 13.1".
我们称确定值 13.1是 h2 t h2当t趋近于0时的极限.
t
h h(2 t) h(2) 4.9t 13.1
t
t
当t 0 有 4.9t 13.1 13.1
思考 : 为什么要从t 0和t 0两方面来说明？
h
h(2 t) h(2)
lim lim
13.1
t t 0
t 0
t
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
lim f (x0 Δx) f (x0 ) lim y
x 0
x
x0 x
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f (x0 )
f lim ' (a)
f (a 4h) f (a) 等等
4h0
4h
例1 典例分析
lim f (x0 ) 2,求 k 0
f (x0 k) f（x0）的值 2k
令k x, k 0x 0
lim lim 则原式可变形为
f (x0 x) f (x) 1
1.1.2 导数的概念
复习回顾
函数y f ( x)从x1到x2的平均变化率为
代数定义 几何含义
y f ( x2 ) f ( x1 )
x
x2 x1
y f ( x2 ) f ( x1 )
f ( x2 ) f ( x1 )
x2 x1
O x1
x2
x
函数在给定点附近的平均变化率
∴Δ Δ
y＝2（Δ x
x）2＋16Δ Δx
x＝2Δ
或 y |xx0, 即
f
(x0 )

lim
x0
f (x0 Δx) f (x0 ) x
.
1. f (x0)与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同。
2. f (x0)与x的具体取值无关。 3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:
y f ( x1 x) f ( x1 )
x
x
y f ( x1 x)
f ( x1 )
f ( x1 x) f ( x1 )
x
O x1
x1 x
x
阅读课本P4 5,理解导数的概念
在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时 间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
f (x0 x) f (x)
x0
2x
2 x0
x
f 1 2
'
( x0
)

1 2

2

1
例2. 求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数.
解:
Δ y＝2(3＋Δ x)2＋4(3＋Δ x)－(2×32＋4×3)
＝12Δ x＋2(Δ x)2＋4Δ x
＝2(Δ x)2＋16Δ x,
t
t
那么如何求运动员在第2秒的瞬时速度呢?
1．瞬时速度
在高台跳水运动中, 运动员在不同时刻的速度 是不同的. 我们把物体在某一时刻的速度称为
瞬时速度(ins tan eous velociy).运动员的平均速
度不一定能反映他 她在某时刻的瞬时速度.
那么,如何求运动员的瞬时速度呢? 比如 ,t 2 时的瞬时速度是多少? 我们先考察t 2附近的情况. 在t 2之前或之后, 任意取一个时刻2 t, t是时间的改变量,可以是 正值,也可以是负值,但不为0.当t 0时,2 t在2
之前;当t 0时,2 t在2之后.计算区间2 t,2 和区间2,2 t内平均速度v,可以得到如下表格.
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋
势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
h(t) 4.9t2 6.5t 10
当Δt趋近于0时,平均速 度有什么变化趋势?
△t = – 0.00001, v 13.099951 △t = 0.00001, v 13.100049
△t = – 0.000001, v 13.0999951△t =0.000001, v 13.1000049
……
……
我们发现,当t趋近于0 时,即无论t从小于2 的一边, 还是从大于2一边趋近于2时,平均速度都趋近于一 个确定的值 13.1.
1.求函数的改变量 y f (x0 x)y f (x0 x) f (x0) ;
3.
求极限f
(
x0
)

lim
x0
yx. x
x
一差、 二比、 三极限
用定义求函数的导数有以下形式
f
(
x0
)

lim
xx0
f (x) f (x0) . x x0
从物理的角度看,时间间隔| t | 无限变小时,平均
速度v就无限趋近于t 2时的瞬时速度.因此, 运动
员在t 2时的瞬时速度是13.1m / s.
为了表述方便,我们用lim h2 t h2 13.1
t 0
t
表示"当t 2, t 趋近于0时,平均速度v 趋近于确