七章不可压缩流体动力学基础

综上可见，平移运动只改变四边形的位置而 不改变其形状、大小和方向。而后三种运动形式会使
四边形的形状、大小或方向发生变化。
三 .旋转角速度
将过A点的任意两条正交微元流体线在xy平面运动
的旋转角速度的平均值定义为A点流体旋转角速度在垂直
该平面方向的分量，用 Z 表示。AB线的旋转角速度为
AB
lim
度为 。将各流速分量按泰勒级数展开，并略去高阶微量
，可得到该时刻通过控制体六个表面中心点的流体质点的
运动速度。例如：通过控制体前表面中心点M的质点在x
方向的分速度为
ux
1 2
ux x
dx
通过控制体后表面中心点N的质点在x方向的分速度为
ux
1 2
ux x
dx
因所取控制体无限小，故认为在其各表面上的流速均匀分
§7.3 不可压缩流体
连续性微分方程
连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的具体表达式。 一、三维流动连续性方程
假定流体连续地 充满整个流场，从中
任取出以 ox，y，z
点为中心的微小六面 体空间作为控制体如 右图。控制体的边长 为dx，dy，dz，分别 平行于直角坐标轴x，
y，z。设控制体中心点处流速的三个分量为 ux，u,液y，体uz 密
Y 1 ( xy pyy zy ) dvx x y z dt
对于x、z轴同理有
X
1
( pxx x
yx y
zx ) z
dvx dt
Z
1
(
xz
x
yx y
pzz ) z
dvz dt
（3）
方程（3）就是以应力表示的粘性流体运动微分方程，通 常X、Y、Z作为已知量，不可压缩流体 已知，方程应 包含六个应力及三个速度分量，共9个未知数。而方程 （3）加上连续性方程也只有4个方程，无法求解，必须 找出新的补充关系式。
正交方向的线变形速度的代数和（u w ）即为流体
微团的体积膨胀速率。
x y z
对于不可压缩流体
u w 0
x y z
这表明不可压缩流体的其体积膨胀速率等于零。
流体微团基本运动形式有平移运动、旋转运动和变 形运动，而变形运动又包括线变形和角变形两种。某点 速度可表示为
ux uxx0 zdy ydz xxdx xydy xzdz
其外法线方向矢量为 ，切线方向为 ，N点的表面应力
分为法向应力pn和切向n 应力τ， pn和τ随微元面积ΔA在空 间的位置而变化。在直角坐标系中将pn和τ沿x，y，z三
个坐标轴分解成9个应力分量，即
。
pxx xy xz
yx p yy yz （注意：应力符号中的下标，下标第一个字母 表zx示作 x用y 面p的zz法 线方
p yy y
dy)dxdz xy dydz
( xy
xy
x
dx)dydz
（1）
zydxdy
( zy
zy
z
dz)dxdy
Ydxdydz
( xy p yy zy )dxdydz Ydxdydz
x y z
流体微团质量与y轴加速度的乘积为
Ydxdydz dv y
（2）
dt
由牛顿第二定律（1）=（2），化简得
位度微元置距。，离由微表团1将可d以见t 公流有。体速参微度见团图上a各在。点d均t 含时与间A内点平相移同一的速个
2) 转动：正四边形象刚体一样旋转。参见图b。
3) 角变形：过A点的两条正交流体线之间的角度变化， 与此相应的是正四边形形状的变化。参见图c。
4) 线变形：过A点的两条正交流体线伸长或压缩，与此 相应的是面积增大或缩小。参见图d。
二、一维不可压缩流体定常总流连续性方程 如图，从总流中任取一段，进、出口断面的面积分别为
A1、A2，在从总流中任取一个元流，其进、出口断面的面 积和流速分别为dA1、v1；dA2、v2。根据质量守恒原理 ，单位时间内从dA1流进的流体质量等于从dA2流出的流 体质量，即 1v1dA1 2v2dA2 c
对于不可压缩均质流体， 1 。2 上c式变为
v1dA1 v2dA2 dq c
总流是流场中所有元流的总 和，所以由上式可写出总流
连续性方程 v1A1 v2 A2
§7.4 以应力表示的黏性流体运
动微分方程式
粘性流体的法向应力和切向应力都必须同时考虑。
在粘性流体表面上任取一点N，过N作微元面积ΔA，
§7.5 应力和变形速度的关系
由牛顿内摩擦定律知，切应力与速度梯度关系为
dv
（4）
dn
在层流中取正方形流体微元面积abcd，流层间存在相对
速度，在运动中必然变形，经时间dt后变成a’b’c’d’，ab
边，线牛顿的内转摩角擦为定d，律d也 t可gd以 写ddvnd成t ，那 么 角ddt 变形速度为
1 2
u y
x
yz
zy
1 2
z
w
y
xz
zx
1 2
u z
w x
五.线变形速度
一般将单位时间单位长度流体线的伸长量定义为线 变形速度。不难证明，流体微团沿三个正交方向的线变
形速度分别为 u 、 和 w 。
x y
z
微团各边长度的变化将导致其体积的变化。可以
证明，沿三个
2
v z z
方程（6）称为广义牛顿内摩擦定律。
p xx
p
2
v x x
因此
p yy
p 2
v y y
(7)
pzz
p 2
v z z
由不可压缩流体的连续性方程 ，将方程（7）中三个式子 相加后平均得到，正好验证了前面的论述。
uy uxy0 xdz zdx yydy yzdz yxdx
uz uxz0 ydx xdy zzdz zxdx zydy
其中，流体微团 旋转角速度分量为 的线变形速度为
xx
ux x
yy
u y y
zz
uz z
x
1 2
( u z y
u y z
)
y
1 2
( u x z
§7.1 流体微团运动的分析
一.流体微团的概念
在连续性介质模型中，流体质点是宏观上充 分小，可视为只有质量而无体积的“点”，流体微团 则是由大量流体质点所组成的具有一定体积的微小流 体团。
二.流体微团运动分析
现以二元流动情形为例进行分析。 假设流体在平面运动。于时刻t，在流场中任意选取 一 个 方 形 平 面 流 体 微 团 ABCD ， 轴 向 边 长 分 别 为 dx 、
dy，设顶点A坐标为（x,y），流速分量为u ,v。
利用泰勒级数展开且仅保留一阶小量，可得微团各顶点 的速度分量，
正四边形微团在经历了时间后将变成斜平 行四边形
1.正四边形微团ABCD在经历了 dt 时间后将变成斜平行
四边形 A’B’C’D’(略，请参考书中证明过程）。 2.微团运动过程分解
1) 平移：正四边形流体微团作为一个整体平移到新的
向，第二个字母表示应力作用线的指向。）
在这9个分量中，
，
，
，因此只
有6个独立分量。 xy yx xz zx yz zy
在粘性流体的任意点A附近，取一棱边平行
于坐标轴的平行六面体微团，其边长分别为dx、
dy、dz，表面应力在y轴上分量如图。
y轴上合力为：
p yy dxdz ( p yy
d dt
dv dn
流体微团绕z轴的剪切角速度为
d
（vx y
v y x
）
2 xy
流体微团各表面上的切应力为
xy
yx
( vx y
v y x
)
2 xy
yz
zy
( v y z
v z y
)
2 yz
xz
zx
( v x z
v z x
)
2 xz
（5）
法向应力的大小与其作用面的方位有关，实际问题中，
d s dxi dy j dzk
根据定义，这两个矢量方向一致，
矢量积为0，即 ds 0
得到
dx dy dz
(1)
x y z
这就是涡线的微分方程。
2. 涡管 定义: 某一瞬时，在漩涡场中任取 一封闭曲线c(不是涡线)，通过曲线 上每一点作涡线，这些涡线形成封 闭的管形曲面。 如果曲线c构成的是微小截面，那 么该涡管称为微元涡管。 横断涡管并与其中所有涡线垂直的 断面称为涡管断面，在微小断面 上，各点的旋转角速度相同。 3.涡束 涡管内充满着作旋转运动的流体称为涡束，微元涡管中 的涡束称为微元涡束。
量差为
和uy dxdydz y
uz dxdydz
z
由连续介质假设，并根据质量守恒原理知：单位时间内流
出与流入控制体的质量差的总和应等于六面体在单位时间
内所减少的质量。所以
u
x
x
u y y
uz
z
dxdydz
t
dxdydz
t
dx
dydz
整理得
ux uy uz 0
t x
y
第七章 不可压缩流体 动力学基础
本章将讲述流体的三元流动，讲 解有关流体运动的基本概念和基本 原理，以及描述不可压缩流体流动 的基本方程和定解条件。
§7.1 流体微团运动的分析 §7.2 有旋流动 §7.3 不可压缩流体连续性微分方程 §7.4 以应力表示的黏性流体运动微分方程式
§7.5 应力和变形速度的关系 §7.6 纳维－斯托克斯方程 §7.7 理想流体运动微分方程及其积分 §7.8 流体流动的初始条件和边界条件
法认向为应各力个用方平向均的值法p向作应为力某等点于的这压个力平均p 值13 (加pxx上 p一yy 个pzz附) ，加可
压应力，即 ， pxx
p
p
' xx
p yy
p
p
' yy
， pzz
p
p
' zz
附加压应力用牛顿内摩擦定律推导得到:
p
' xx
2
v x x
(6)
p
' yy
2
v y y
p
' zz
uz x
)
z
1 2
( u y x
ux y
)
角变形速度分量为
xy
yx
1 2
u y x
ux y
xz
zx
1 2
ux z
uz x
yz
zy
1 2
uz y
u y z
§7.2 有旋运动
流体质点的旋转角速度 0 的运动称 为有旋运动。
一 涡线、涡管和涡束
1. 涡线 定义: 某一瞬时有旋场中的一条曲线，曲线上任意一点的 切线方向与该点流体微团的旋转角速度一致。 由定义推导出其微分方程，设某一点上流体微团的瞬时 角速度为 x i y j z k 取过该点涡线上的微元矢量为
二 涡通量和速度环量
1. 涡通量
定义: 在微元涡管中，二倍角速度与涡管断面面积dA的
乘积称为微元涡管的涡通量(旋涡强度)dJ
dJ 2dA
(2)
对任一微元面积dA而言，有
dJ 2 d A 2ndA
对有限面积，则通过这一面积的涡通量应为
J 2AndA
(3)
2.速度环量
定义: 某一瞬时在流场中取任意闭曲线 l，在线上取一微 元线段 dl ，速度v 在dl 切线上的分量沿闭曲线 l 的线积分， 即为沿该闭合曲线的速度环量。
z
此式即为连续性微分方程的一般形式。适用于定常流及非
定常流。
对于定常流： ，0 上式成为
t
ux uy uz 0
x百度文库
y
z
对于均质不可压缩流体 c，则不论定常流或非定常流均
有
ux uy uz 0
x y z
对二维流动连续性微分方程为 ux uy 0
x y
上面四个方程对于理想流体和实际流体均适用。
布。所以单位时间内沿x轴方向流入控制体的质量为
u
x
1 2
ux
x
dxdydz
流出控制体的质量为
ux
1 2
ux
x
dxdydz
于是，单位时间内在x方向流出与流入控制体的质量差为
ux
1 2
ux
x
dxdydz
u
x
1 2
ux
x
dxdydz
ux
x
dxdydz
同理可得在单位时间内沿y，z方向流出与流入控制体的质
t0 t
lim
t 0
x t
而 xt
x
故
AB
lim
t 0
x
x t
t x
x
同理可得AD线旋转角速度为
AD
u y
所以
z
1 2
AB
AD
1
2
x
u y
推广到三维空间即可得到x和y方向的旋转角速度分量
和 x y
x
1
2
w y
z
;
y
1 2
u z
w x
从而得整个x 流i体微团y 的j 旋转z角k速度 为 根据12是wy 否 为z零i，流12 体 力uz 学将wx 流 j动 划12 分x为有旋uy 流k动
l
vdl
l
v cosdl
l
(4)
表示速度矢量与该点切线方向的夹角。
将(4)写成标量积的形式，为
l
vdl
l
l (vxdx vy dy vz dz)
(5)
速度环量是标量，有正负号，规定沿
曲线逆时针绕行的方向为正方向，
沿曲线顺时针绕行的方向为负方向。
速度环量是旋涡强度的量度，通常用来描述漩涡场。
和无旋流动。
如果在流场中的每一点处，流体微团的旋转角速度 均为
零，即
x y z 0
则称这样的流场处处无旋，相应的流动为无旋流动。反之 为有旋流动。
四.角变形速率
流体微团的任意相互垂直的两条线段之间的夹角随
时间的变化速度称为直角变形速率。
三维空间可得到三个正交方向的角变形速率分量为
xy
yx