九下实验校数学第三十六讲

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第三十六讲 圆与锐角三角函数（ 一）

１． 如 图 ， 半 径 为 ３ 的 ⊙Ａ 经 过 原 点 Ｏ 和 点 Ｃ （ ０， ２） ， Ｂ 是 ｙ 轴 左 侧 ⊙Ａ 圆 弧 上 一 点 ， 则 ｔａｎ∠ＯＢＣ 为

． ２． 如 图 ， 以 锐 角 三 角 形 ＡＢＣ 的 一 边 ＡＢ 为 直 径 作 ⊙Ｏ， ⊙Ｏ 与 ＢＣ 边 的 交 点 恰 好 为 ＢＣ 的 中 点 Ｄ， 过 点 Ｄ 作 ＤＥ⊥ＡＣ 于 点 Ｅ． 若 ＡＢ ＝ ４ＤＥ， 求 ｔａｎＣ 的 值 ．

３． 如 图 ， 在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中 ， ∠Ｃ ＝ ９０°， ⊙Ｏ 与 △ＡＢＣ 的 三 边 分 别 相 切 于 点 Ｄ， Ｅ， Ｆ， 连 接 ＢＤ， 若 ｔａｎ∠ＤＢＣ ＝ １ ， 求 ｔａｎ∠ＡＢＤ 的 值 ．

４． 如 图 ， 在 四 边 形 ＡＢＣＤ 中 ， 对 角 线 ＢＤ， ＡＣ 相 交 于 点 Ｅ， 且 ＡＥ ＝ ＣＥ， ＢＣ ＝ ＡＣ ＝ ＤＣ， 求 ｔａｎ∠ＡＢＤ· ｔａｎ∠ＡＤＢ的 值 ．

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ＥＦ

实 验 校 满 分 能 力 提 升 九 下 数 学 主 编 徐 鸣 徐 采 钰

５． 如 图 ， 在 △ＡＢＣ 中 ， ∠Ｃ ＝ ９０°， ＡＥ 平 分 ∠ＢＡＣ 交 ＢＣ 于 点 Ｅ， Ｏ 是 ＡＢ 上 一 点 ， 经 过 Ａ， Ｅ 两 点 的 ⊙Ｏ 交

ＡＢ 于 点 Ｄ， 连 接 ＤＥ， 作 ∠ＤＥＡ 的 平 分 线 ＥＦ 交 ⊙Ｏ 于 点 Ｆ， 连 接 ＡＦ． 若 ｓｉｎ∠ＥＦＡ ＝ ４ ， ＡＦ ＝ ５ 槡２， 求 线 段 ＡＣ 的 长 ．

６． 如 图 ， ⊙Ｏ 是 △ＡＢＣ 的 外 接 圆 ， ＡＢ 是 ⊙Ｏ 的 直 径 ， Ｉ 为 △ＡＢＣ 的 内 心 ， ＡＩ 的 延 长 线 交 ＢＣ 于 点 Ｄ， 若 ＯＩ⊥ＡＤ， 求 ｓｉｎ∠ＣＡＤ 的 值 ．

７． 如 图 ， 四 边 形 ＡＢＣＤ 内 接 于 ⊙Ｏ， ＡＢ ＝ ＡＣ， ＡＣ⊥ＢＤ 于 点 Ｅ， 点 Ｆ 在 ＢＤ 的 延 长 线 上 ， ＤＦ ＝ ＤＣ， 连 接 ＡＦ， ＣＦ．

（ １） 求 证 ： ∠ＢＡＣ ＝ ２∠ＣＡＤ；

（ ２） 若 ＡＦ ＝ １０， ＢＣ ＝ ４ 槡５， 求 ｔａｎ∠ＢＡＤ 的 值 ．

８． 如 图 ， ⊙Ｏ 经 过 等 边 三 角 形 ＡＢＣ 的 顶 点 Ａ， Ｃ（ 圆 心 Ｏ 在 △ＡＢＣ 内 ） ， 分 别 与 ＡＢ， ＣＢ 的 延 长 线 交 于 点 Ｄ， Ｅ， 连 接 ＤＥ， 作 ＢＦ⊥ＥＣ 交 ＡＥ 于 点 Ｆ．

（ １） 当 ＡＦ∶ ＥＦ ＝ ３∶ ２， ＡＣ ＝ ６ 时 ， 求 ＡＥ 的 长 ；

（ ２） 设 ＡＦ ＝ ｘ， ｔａｎ∠ＤＡＥ ＝ ｙ， 求 ｙ 关 于 ｘ 的 函 数 关 系 式 ．

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９．如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，Ｃ为⊙Ｏ上一点，Ｐ是半径ＯＢ上一动点（不与点Ｏ，Ｂ重合），过点Ｐ作ＰＥ⊥ＡＢ，分别交弦ＢＣ，ＢＣ于Ｄ，Ｅ两点，Ｅ是ＢＣ的中点，ｔａｎ∠ＡＢＣ＝

３

，且ＡＢ＝２０，求ＤＥ的长．

１０．如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，Ｃ是⊙Ｏ上一点，Ｄ是

２∠Ｃ，ＡＣ与ＢＤ交于点Ｈ，与ＯＥ交于点Ｆ．

（１）求证：ＡＥ是⊙Ｏ的切线；

（２）若ＤＨ＝１０，ｔａｎＣ＝

３

，求直径ＡＢ的长．

ＡＣ的中点，Ｅ为ＯＤ延长线上一点，且∠ＣＡＥ＝

１１．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝６，ＢＣ＝８，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ交ＢＣ于点Ｄ，ＥＤ⊥ＡＤ交ＡＢ于点Ｅ，△ＡＤＥ的外接圆⊙Ｏ交ＡＣ于点Ｆ，连接ＥＦ．

（１）求证：ＢＣ是⊙Ｏ的切线；

（２）求⊙Ｏ的半径ｒ；

（３）求ｔａｎ∠３．

１０实

验校满分能力提升九下数学主编徐鸣徐采钰

１２．如图，ＰＡ是⊙Ｏ的切线，切点为Ａ，ＡＣ是⊙Ｏ的直径，连接ＯＰ交⊙Ｏ于点Ｅ．过点Ａ作ＡＢ⊥ＰＯ于点Ｄ，交⊙Ｏ于点Ｂ，连接ＢＣ，ＰＢ．

（１）求证：点Ｅ为△ＰＡＢ的内心；

（２）若ｃｏｓ∠ＰＡＢ＝槡１０

，ＢＣ＝１，求ＰＯ的长．

１３．如图１，ＡＢ为⊙Ｏ的直径，ＡＤ和ＢＣ是它的两条切线，Ｅ为⊙Ｏ的半圆弧上一动点（不与点Ａ，Ｂ重合），过点Ｅ的直线分别交射线ＡＤ，ＢＣ于Ｄ，Ｃ两点，且ＣＢ＝ＣＥ．

（１）求证：ＣＤ为⊙Ｏ的切线；

（２）如图２，连接ＡＣ，ＢＥ交于点Ｆ，若ｔａｎ∠ＢＡＣ＝３

，求

ＡＦ

的值．４ＣＦ