高考数学范围、最值问题

第2课时 范围、最值问题

【例1】 (2018·贵阳监测)已知椭圆C ：y a 2＋x b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为6

3，且椭圆C 上的点到一个焦点的距离的最小值为3－ 2.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)已知过点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若在x 轴上存在一点E ，使∠AEB ＝90°，求直线l 的斜率k 的取值范围．

[解] (1)设椭圆的半焦距长为c ， 则由题设有⎩⎨

⎧

c a ＝6

3，

a －c ＝3－

2，

解得a ＝3，c ＝2，∴b 2＝1， 故椭圆C 的方程为y 23＋x 2

＝1.

(2)由已知可得，以AB 为直径的圆与x 轴有公共点． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点为M (x 0，y 0)，

将直线l ：y ＝kx ＋2代入y 23＋x 2

＝1，得(3＋k 2)x 2＋4kx ＋1＝0， Δ＝12k 2

－12，x 1＋x 2＝－4k

3＋k 2，x 1x 2＝1

3＋k

2

. ∴x 0＝x 1＋x 22＝－2k 3＋k 2，y 0＝kx 0＋2＝6

3＋k 2

， |AB |＝

1＋k 2|x 1－x 2|＝

1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝

1＋k 2

12k 2－123＋k

2

＝

23

k 4－1

3＋k

2

，

由题意可得⎩⎪⎨⎪

⎧

Δ＝12k 2

－12＞0，63＋k 2≤1

2|AB |，解得k 4≥13，

即k ≥413或k ≤－4

13.

故直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－413]∪[4

13，＋∞)．

(2019·临沂摸底考试)已知点F 为椭圆E ：x a 2＋y b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，且两

焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x 4＋y

2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M .

(1)求椭圆E 的方程；

(2)设直线x 4＋y

2＝1与y 轴交于P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同两点A ，B ，若λ|PM |2＝|P A |·|PB |，求实数λ的取值范围．

[解] (1)由题意得a ＝2c ，b ＝3c ，则椭圆E 为x 24c 2＋y 2

3c 2＝1. 由⎩⎪⎨

⎪⎧

x 24＋y 23＝c 2，x 4＋y 2＝1

得x 2－2x ＋4－3c 2＝0.

∵直线x 4＋y

2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M ， ∴Δ＝4－4(4－3c 2)＝0⇒c 2＝1， ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 2

3＝1. (2)由(1)得M ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫1，32，

∵直线x 4＋y 2＝1与y 轴交于P (0,2)，∴|PM |2＝5

4， 当直线l 与x 轴垂直时，|P A |·|PB |＝(2＋3)(2－3)＝1， ∴由λ|PM |2＝|P A |·|PB |⇒λ＝45，

当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝kx ＋2，3x 2＋4y 2－12＝0⇒(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0，

依题意得x 1x 2＝43＋4k 2，且Δ＝48(4k 2－1)＞0，∴k 2＞14， ∴|P A |·|PB |＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2)·43＋4k 2＝1＋13＋4k 2＝54λ， ∴λ＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋4k 2，∵k 2＞14，∴45＜λ＜1， 综上所述，λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫45，1.

►考法1 【例2】 在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．

22

[双曲线x 2－y 2

＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线的距离d ＝

|1－0|

12＋(－1)2＝2

2.由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，得

c ≤22，故c 的最大值为22.]

►考法2 建立函数关系利用基本不等式或二次函数求最值

【例3】 已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3

2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为23

3，O 为坐标原点．

(1)求E 的方程；

(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． [解] (1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝23

3，得c ＝ 3. 又c a ＝3

2，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2

＝1.

(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 将y ＝kx －2代入x 24＋y 2

＝1，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.

当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2

－34k 2＋1

.

从而|PQ |＝

k 2＋1|x 1－x 2|＝

4

k 2＋1·4k 2－34k 2

＋1.

又点O 到直线PQ 的距离d ＝

2

k 2

＋1

. 所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝1

2d ·|PQ |＝44k 2－34k 2

＋1. 设

4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4

t ＋

4t

.

因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±7

2时等号成立，且满足Δ>0. 所以，当△OPQ 的面积最大时， l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－7

2x －2.