硬币的滚动问题

问题：如图，将总长为 4 r的线段AB在中点C处折成90°， 这时这枚半径为r的硬币从点A到点B需转 圈； rO A
2 r
2 r
B
O3
拓展延伸
问题：如图，将总长为 4 r的线段AB在中点C处折成60°， 这时这枚半径为r的硬币从点A到点B需转 圈；
O O1 120° 60C °
r A
2 r
60°
A
60cm
B
O2
O3
C
D
O
A
60° 10 F EB
O
将一枚半径为r的硬币沿着另一枚半 径为2r的硬币的边缘滚动一周，这时滚动 3 圈 的硬币滚动了
O r
2r
O1
2r O r O1
学以致用
将4枚半径为1cm的硬币放在桌上，固定其中三枚， 而另一枚则沿着它们的边缘从⊙O滚动到⊙O′，这时硬 币滚动的路程为 ，转了 圈.
O4
O5
1
O O1
2
O2
3
O3
O′
A
2 r
60C °
2 r
B
探究二 硬币在多边形上滚动
问题：将等边三角形改为正方形，则这枚硬币沿正方形的
外侧滚动一周需转
r
O
5
圈.
O1
A
2 r
B
O2
2 r
D
2 r 2 r
C
探究二 硬币在多边形上滚动
问题：如图，将等边三角形改为任意三角形，且该三
角形的周长为a，则这枚硬币沿⊿ABC的外侧滚动一周
r
r
第9题图
实践操作
？
？
解决问题
圆滚动时，圆滚动过的长度等于圆心经过 的路径长度. 结论：
O
r r
当硬币在曲线上滚动时，
硬币转动的圈数
O1
圆心经过的路径长 = 圆周长
2 2r 2 硬币转动的圈数= 2 r
多边形的周长为2 r
O
r
O
r
O
r
O
r
O
r
O
……
r r
边数n趋向于无穷大时
学以致用
A1 r An A5 A4
a
2 r
1
结论：当硬币在多边形的外侧
A2 上滚动时，硬币转动的圈数 A3 =
多边形的周长 1 圆周长
探究四 圆在曲线上滚动
2009年广东省佛山市中考数学 将两枚同样大小的硬币放在桌上，固 定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动 一周，这时滚动的硬币滚动了( ) A ．1 圈 B．1.5圈 C ．2 圈 D．2.5圈
需转 圈.
a 2 r
1
A 4
1
r
O
2B
5
6 C3
探究三 硬币在多边形上滚动
问题：如图，将任意三角形改为任意四边形，且该四
边形的周长为a，则这枚硬币沿四边形的外侧滚动一
周需转
a
圈.
2 r
1
1 5
2
6 4 8 7 3
探究三 硬币在多边形上滚动
问题：如图，如果是一任意一个周长为a多边 形呢，硬币需转几圈？
r
O
A
4 r a
B
结论：当硬币在直线上滚动时， 硬币滚动的圈数= 圆经过的路径长 圆周长 圆心经过的路径长 圆周长
拓展延伸
问题：如图，将总长为 4 r的线段AB在中点C处折成90°， 这时这枚半径为r的硬币从点A到点B需转 圈； O r A
2 r
C
90°
2 r
B
拓展延伸
O1 90° O2 C
课堂小结
本节课你学到 了哪些知识？有什 么收获？
课后思考
一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形轨道上滚动一 个半径为10cm的圆盘，如图所示：AB与CD是水平的， BC与水平面的夹角为60°，其中AB=60cm，CD=40cm， BC=40cm，圆盘从A点滚动到D点，圆心所经过的路线 的长度为多少？ C 40cm D
l
l
180
（4）140°圆心角所对的 弧长是多少？
140R 7R l 180 9
A n ° O
B
提出问题
2009年广东省佛山市中考数学题 将两枚同样大小的硬币放在桌上，固 定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动 一周，这时滚动的硬币滚动了( ) A ．1 圈 B．1.5圈 C ．2 圈 D．2.5圈
2 r
B
拓展延伸
思考：若AB长为a，点C为AB上任一点，如图所示， 这时这枚半径为r的硬币从点A到点B需转
r O
圈；
O1
A
C
180 2 r 360 a
B
探究二 硬币在多边形上滚动
问题：如图， 连接AB，这时这枚半径为r的硬币沿
⊿ABC的外侧滚动一周需转
r
O
4 圈；
O1 120°
小硬币 大学问 硬币的滚动问题
车轮为什么是圆的？
硬wk.baidu.com为什么是圆的？
复习: （1）半径为R的圆,周长是多少？ C=2π R （2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？ 2R R （3）1°圆心角所对弧长是多少？l
360
180
若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的弧长 为 ，则 nR
r
r
第9题图
探究一 硬币在直线上滚动
问题：如图，将一枚半径为r的硬币在直线上滚动一
圈，则这枚硬币滚动的距离为
O
O1
2 r
；
r
A
A1
l
圆滚动时，圆心经过的路径的长度等于 圆滚动过的长度.
探究一 硬币在直线上滚动
问题：如图，若线段AB=
4 r ，则这枚半径为r的硬
O1
币从点A无滑动地滚动到点B需转 2 圈；