高等量子力学习题1
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=++-x x x x e e d ****2φφφφπφ高等量子力学第一章习题:
1、 两个态矢量|+>和|->形成完全集。在它们所构成的Hilbert 空间中定义如下三个算符:
试证明它们满足如下对易和反对易关系: ij j i S S δ2},{2
=+ 并求出两个态矢量 |+>和|->之间的翻转变换算符及算符 的表达式
2、 二能级系统的哈密顿算符一般可表达为:
H =a|1><1| + b|2><2| + c|1><2| + d|2><1|
其中|1>和|2>分别表示二能级的状态,形成正交归一集。
问:H 的厄密性对系数a,b,c,d 有何限制?求该系统的能量本征值及相应的本征态矢量(表示为|1>和|2>的线性叠加)。
3、 已知一线性谐振子在其哈密顿表象中的本征态矢量为
其中,基态|0>满足b|0>=0,并且b 和b +与其坐标和动量算符的关系为
试求态矢量|n>转换到坐标表象表达式
4、 设某系统的哈密顿算符为: H(t)=a 1(t)J ++a 2(t) J 0+a 3(t) J -
其中a i (t),i=1 , 2 , 3为任意时间t 的函数,J + , J 0 , J -为SU(1,1)群的生成元,其满足下述对易关系: [J + , J -]=-2 J 0 , [J 0 , J ±]=±J ±
试证明该系统的时间演化算符可表示为:
U(t,0)=exp[C 1(t)J +]exp[C 2(t)J 0]exp[C 3(t)J -] , 并导出确定C i (t)的方程.。
5、 已知算符b 和b +的对易关系为[b , b +]=1,在 b + b 对角表象的本征态矢量为
且基态满足b|0>=0, 引入算符b 的本征态b|z>=z|z>
试求归一化态矢量|z>在b + b 对角表象的表示式,由基矢量组|z>构成的表象称作为相干态表象,试求态矢量|n>在相干态表象的波函数
6、 题的已知条件与题5相同,并可利用题5的结果,试证明:
(i )相干态表象的基矢量不具有正交性,并说明其原因。
(ii) 相干态表象的基矢组是完备的,完备性条件由下式给出
式中,积分元由z=x+iy d 2z=dxdy 给出,证明过程中可以利用的公式有:
)(||||2
1+><-+-><+= S )(||||23-><--+><+= S )(||||2
2-><+-+><-= i S ; >
>=+0|)(!1
|n b n n )(2b b x +=+μω
)
(2b b i p -=+
μω⎰=><1
||2z z z
d π
(iii)不存在算符b+的本征右矢量。