研究生组合数学复习要点PPT课件
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关系
2
三、递推关系
1. 常系数线性递推关系的解法（特征根法） 2. 用待定系数法求常系数线性非齐次递推关系的
特解(前两种类型) 3.列递推关系解应用题 4. 一般递推关系的线性化 5. Fibonacci数列及其模型 6. 第二类Stirling数的组合意义 7. Catalan数列及其解法
3
四、容斥原理
8
3、n个完全一样的球，放到r个有标志的盒子，
n
r，要求无一空盒，试证其方案数为
n -1
r
-
1
.
证 先将每个盒子放一个球，问题变为将剩余
的n r个相同的球放到r个不同的盒子里，其放球
方案数为
(n
r) + nr
r-1
n n
1 r
n r
1
1
.
9
4、用m(m 2)种颜色去涂1 n(n 2)棋盘, 每 个方格涂一种颜色, 使得相邻方格颜色相异的涂 色方案有多少?
7
2、n个男n个女排成一男女相间的队伍，试问有 多少种不同的方案.若围成一圆桌坐下，又有多少种 不同的方案？
解 （1）男士有n!种排法, 女士也有n!种排 法, 男女相间又分男在前或女在前两种,所以共有 2 (n!)2 种.
(2) 先安排男士，有(n 1)!种, 然后在这n位 男士所形成的n个间隔中安排n位女士,有n!种, 所 以共有(n 1)!(n!)种.
(m 1)n1 (1)n2 m(m 1)
(m 1) 1 (m 1)[(m 1)n1 (1)n2 ] (m 1)n (1)n (m 1)
另一解法参见教材P87例3.5.7
12
5、安排n(n 2)女人和m个男人围圆桌而坐 (n m个座位已编号), 使得任何两个女人之间至少 有k(m nk)个男人，求不同的安排座位方法数.
6
练习题
1、一位学者要在一周内安排50个小时的工作时 间，而且每天至少工作5小时，问共有多少种安排 方案？
解 问题相当于不定方程
x1 x2 xi 5, i
x7 1, 2,
50 ,7
即
x1 x2 xi 0, i
x7 1, 2,
15 ,7
解得 C(7 15 1, 15) C(21, 6)
解 用 hn 表示所求方法数.易知 h2 m(m 1). 用m种颜色去涂 1 n (n m) 棋盘,每格涂一种颜色, 使得相邻格子异色的涂色方法数有 m(m 1)n1 种, 其中使得首末两格同色的涂色方法有 hn1 种, 所以
hn m(m 1)n1 hn1 (n 2)
从而
11
hn m(m 1)n1 hn1 m(m 1)n1 m(m 1)n2 (1)2 hn2
nk 1
1
m
!(n
1) !
15
6、某学者每周工作6天,共42小时,每天工作 的小时数是整数,且每天工作时间不少于6小时也 不多于8小时,如果编排一周的工作时间表,问有多 少种不同的方案？
解 设有an种不同的编排方法,则{an}相应的母
函数为 G( x) ( x6 x7 x8 )6
G( x) x36 (1 x x2 )6
1. 容斥原理的基本形式(容斥原理、逐步淘汰原理) 2. 容斥原理的应用(比如解决多重集排列组合问题) 3. 有限制条件的排列(比如错排问题、相邻禁位排
列问题、保位问题)
4
五、抽屉原理
1. 抽屉原理的几种基本形式 2. 抽屉原理的简单应用
5
六、波利亚(Pólya)定理
1.置换在研究等价类计数中的作用 2.将置换表为轮换之积 3.Burnside引理计数公式 4. Pólya定理计数公式 5.Pólya定理的应用
解 (1) 先任意选定一个女人入座，有 n m
种方法； (2) 再安排其他女人入座，使得任何两个女人
之间至少有k个空座位：
用a1 , a2 , , an表示n个女人的一种坐法，并设 ai与ai1 (i 1, 2, , n 1)之间有xi个空座位，an与a1 之间有xn个空座位，则
13
x1 xi
组合数学复习要点
一、排列组合
1. 排列和组合的基本性质 2. 排列组合的计数公式，多重集的排列数和组合
数的求法 3.
1
二、母函数
1. 母函数与数列的关系 2. 母函数与排列数、组合数的关系 3. 用普通型母函数解决多重集的组合问题 4. 用指数型母函数解决多重集的排列问题 5. 用母函数解递推关系式 6. 不定方程的整数解的个数与多重集的组合数之
解 第一个方格可涂m种颜色之一，有m种 涂色方法；为使相邻方格颜色相异，只须使其 余n 1个方格的颜色异于它左边相邻的那个方 格的颜色, 于是其余的每个方格都有m 1种涂 法.故所求的涂色方案有m(m 1)n1 种.
10
若题目改成：用m(m 2)种颜色去涂1 n(n 2) 棋盘, 每个方格涂一种颜色，使得相邻方格颜色 相异，首末两格也异色的涂色方案有多少?
x36 (1 x3 )6 (1 x)6
x36 (1 6 x3 15 x6
)
k0
6 k
(
x
)k
16
( x36 6 x39 15 x42
)
k0
5
5
k
x
k
所以x42的系数
5 6 5 3 5 0
Leabharlann Baidu
a42
5
6
5
15
5
11
5
6
8 5
m(m 1)n1 m(m 1)n2 (1)n3 m(m 1)2 (1)n2 h2
m(m 1)n1 m(m 1)n2 (1)n3 m(m 1)2 (1)n2 m(m 1)
m(m 1)[(m 1)n2 (m 1)n3 (1)n3 (m 1) (1)n2 ]
15
462 336 15
141
17
7、将充分多的苹果、香蕉、橘子和梨进行装袋， 要求每袋中苹果数是偶数，香蕉数是5的倍数，橘子 最多4个，而梨的个数为0或1。如果每袋装n个水果， 求装袋的种类数。
x2 k(i
xn 1, 2,
m , n)
此不定方程的解的个数为
n
(m m
nk ) nk
1
n
m nk n1
1
于是完成此步骤的方法有
(n
1)
!
n
m n
nk 1
1
种.
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(3) 最后安排m个男人入座，有m!种方法. 由乘法原理，所求的安排座位方法数为
(n
m)
n
m n
2
三、递推关系
1. 常系数线性递推关系的解法（特征根法） 2. 用待定系数法求常系数线性非齐次递推关系的
特解(前两种类型) 3.列递推关系解应用题 4. 一般递推关系的线性化 5. Fibonacci数列及其模型 6. 第二类Stirling数的组合意义 7. Catalan数列及其解法
3
四、容斥原理
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3、n个完全一样的球，放到r个有标志的盒子，
n
r，要求无一空盒，试证其方案数为
n -1
r
-
1
.
证 先将每个盒子放一个球，问题变为将剩余
的n r个相同的球放到r个不同的盒子里，其放球
方案数为
(n
r) + nr
r-1
n n
1 r
n r
1
1
.
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4、用m(m 2)种颜色去涂1 n(n 2)棋盘, 每 个方格涂一种颜色, 使得相邻方格颜色相异的涂 色方案有多少?
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2、n个男n个女排成一男女相间的队伍，试问有 多少种不同的方案.若围成一圆桌坐下，又有多少种 不同的方案？
解 （1）男士有n!种排法, 女士也有n!种排 法, 男女相间又分男在前或女在前两种,所以共有 2 (n!)2 种.
(2) 先安排男士，有(n 1)!种, 然后在这n位 男士所形成的n个间隔中安排n位女士,有n!种, 所 以共有(n 1)!(n!)种.
(m 1)n1 (1)n2 m(m 1)
(m 1) 1 (m 1)[(m 1)n1 (1)n2 ] (m 1)n (1)n (m 1)
另一解法参见教材P87例3.5.7
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5、安排n(n 2)女人和m个男人围圆桌而坐 (n m个座位已编号), 使得任何两个女人之间至少 有k(m nk)个男人，求不同的安排座位方法数.
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练习题
1、一位学者要在一周内安排50个小时的工作时 间，而且每天至少工作5小时，问共有多少种安排 方案？
解 问题相当于不定方程
x1 x2 xi 5, i
x7 1, 2,
50 ,7
即
x1 x2 xi 0, i
x7 1, 2,
15 ,7
解得 C(7 15 1, 15) C(21, 6)
解 用 hn 表示所求方法数.易知 h2 m(m 1). 用m种颜色去涂 1 n (n m) 棋盘,每格涂一种颜色, 使得相邻格子异色的涂色方法数有 m(m 1)n1 种, 其中使得首末两格同色的涂色方法有 hn1 种, 所以
hn m(m 1)n1 hn1 (n 2)
从而
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hn m(m 1)n1 hn1 m(m 1)n1 m(m 1)n2 (1)2 hn2
nk 1
1
m
!(n
1) !
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6、某学者每周工作6天,共42小时,每天工作 的小时数是整数,且每天工作时间不少于6小时也 不多于8小时,如果编排一周的工作时间表,问有多 少种不同的方案？
解 设有an种不同的编排方法,则{an}相应的母
函数为 G( x) ( x6 x7 x8 )6
G( x) x36 (1 x x2 )6
1. 容斥原理的基本形式(容斥原理、逐步淘汰原理) 2. 容斥原理的应用(比如解决多重集排列组合问题) 3. 有限制条件的排列(比如错排问题、相邻禁位排
列问题、保位问题)
4
五、抽屉原理
1. 抽屉原理的几种基本形式 2. 抽屉原理的简单应用
5
六、波利亚(Pólya)定理
1.置换在研究等价类计数中的作用 2.将置换表为轮换之积 3.Burnside引理计数公式 4. Pólya定理计数公式 5.Pólya定理的应用
解 (1) 先任意选定一个女人入座，有 n m
种方法； (2) 再安排其他女人入座，使得任何两个女人
之间至少有k个空座位：
用a1 , a2 , , an表示n个女人的一种坐法，并设 ai与ai1 (i 1, 2, , n 1)之间有xi个空座位，an与a1 之间有xn个空座位，则
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x1 xi
组合数学复习要点
一、排列组合
1. 排列和组合的基本性质 2. 排列组合的计数公式，多重集的排列数和组合
数的求法 3.
1
二、母函数
1. 母函数与数列的关系 2. 母函数与排列数、组合数的关系 3. 用普通型母函数解决多重集的组合问题 4. 用指数型母函数解决多重集的排列问题 5. 用母函数解递推关系式 6. 不定方程的整数解的个数与多重集的组合数之
解 第一个方格可涂m种颜色之一，有m种 涂色方法；为使相邻方格颜色相异，只须使其 余n 1个方格的颜色异于它左边相邻的那个方 格的颜色, 于是其余的每个方格都有m 1种涂 法.故所求的涂色方案有m(m 1)n1 种.
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若题目改成：用m(m 2)种颜色去涂1 n(n 2) 棋盘, 每个方格涂一种颜色，使得相邻方格颜色 相异，首末两格也异色的涂色方案有多少?
x36 (1 x3 )6 (1 x)6
x36 (1 6 x3 15 x6
)
k0
6 k
(
x
)k
16
( x36 6 x39 15 x42
)
k0
5
5
k
x
k
所以x42的系数
5 6 5 3 5 0
Leabharlann Baidu
a42
5
6
5
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5
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5
6
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m(m 1)n1 m(m 1)n2 (1)n3 m(m 1)2 (1)n2 h2
m(m 1)n1 m(m 1)n2 (1)n3 m(m 1)2 (1)n2 m(m 1)
m(m 1)[(m 1)n2 (m 1)n3 (1)n3 (m 1) (1)n2 ]
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7、将充分多的苹果、香蕉、橘子和梨进行装袋， 要求每袋中苹果数是偶数，香蕉数是5的倍数，橘子 最多4个，而梨的个数为0或1。如果每袋装n个水果， 求装袋的种类数。
x2 k(i
xn 1, 2,
m , n)
此不定方程的解的个数为
n
(m m
nk ) nk
1
n
m nk n1
1
于是完成此步骤的方法有
(n
1)
!
n
m n
nk 1
1
种.
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(3) 最后安排m个男人入座，有m!种方法. 由乘法原理，所求的安排座位方法数为
(n
m)
n
m n