近世代数的基础知识

近世代数的基础知识

初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数（Classical algebra ），它的研究对象主要是代数方程和线性方程组）。近世代数（modern algebra ）又称为抽象代数（abstract algebra ），它的研究对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。近世代数主要包括：群论、环论和域论等几个方面的理论，其中群论是基础。下面，我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。

3．1 集合、映射、二元运算和整数

3．1．1 集合

集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或元素。“元素a 是集合A 的元”记作“A x ∈”，反之，“A a ∉”表示“x 不是集合A 的元”。

设有两个集合A 和B ，若对A 中的任意一个元素a （记作A a ∈∀）均有B a ∈，则称A 是B 的子集，记作B A ⊆。若B A ⊆且A B ⊆，即A 和B 有完全相同的元素，则称它们相等，记作B A =。若B A ⊆，但B A ≠，则称A 是B 的真子集，或称B 真包含A ，记作B A ⊂。

不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。

集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有的性质。例如：

{}c b a A ,,=；

{})(x p x S =，其中)(x p 表示元素x 具有的性质。

本文中常用的集合及记号有：

整数集合{} ,3,2,1,0±±±=Z ；

非零整数集合{}{} ,3,2,10\±±±==*

Z Z ； 正整数（自然数）集合{} ,3,2,1=+Z ；

有理数集合Q ，实数集合R ，复数集合C 等。

一个集合A 的元素个数用A 表示。当A 中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。用∞=A 表示A 是无限集，∞

3．1．2 映射

映射是函数概念的推广，它描述了两个集合的元素之间的关系。

定义1 设A ，B 为两个非空集合，若存在一个A 到B 的对应关系f ，使得对A 中的每一个元素x ，都有B 中唯一确定的一个元素y 与之对应，则称f 是A 到B 的一个映射，记作y=f(x)。

y 称为x 的像，x 称为y 的原像，A 称为f 的定义域，B 称为f 的定值域。

定义2 设f 是A 到B 的一个映射

(1) 若A x x ∈∀21,和21x x ≠均有)()(21x f x f ≠，则称f 是一个单射。

(2) 若B y ∈∀均有A x ∈使y x f =)(，则称f 是满射。

(3) 若f 既是单射又是满射，则称f 是双射。

3．1．3 二元运算

3．1．3．1 集合的笛卡儿积

由两个集合可以用如下方法构造一个新的集合。

定义3 设A ，B 是两个非空集合，由A 的一个元素a 和B 的一个元素b 可构成一个有序的元素对（a,b ），所有这样的元素对构成的集合，称为A 与B 的笛卡儿积，记作B A ⨯，即{}

B b A a b a B A ∈∈=⨯,),(。用笛卡儿积还可定义一个集合中的运算。

定义4 设S 是一个非空集合，若有一个对应规则f ，对S 中每一对元素a 和b 都规定了一个唯一的元素S c ∈与之对应，即f 是S S S →⨯的一个映射，则此对应规则就称为S 中的一个二元运算，并表示为c b a =∙，其中“∙”表示运算符，若运算“∙”是通常的加法或乘法，b a ∙就分别记作b a +或ab 。

由定义可见，一个二元运算必须满足：

(1) 封闭性：S b a ∈∙；

(2) 唯一性：b a ∙是唯一确定的。 定义5 设S 是一个非空集合，若在S 中定义了一种运算∙（或若干种运算+，∙，⨯等），

则称S 是一个代数系统，记作（S ，∙）或（S ，+，∙）等。

3．1．3．2 二元关系

我们经常需要研究两个集合元素之间的关系或者一个集合内元素间的关系。

定义6 设A ，B 是两个集合，若规定一种规则R ：使对A a ∈∀和对B b ∈∀均可确定a 和b 是否适合这个规则，若适合这个规则，就说a 和b 有二元关系R ，记作aRb ，否则

就说a 和b 没有二元关系R ，记作b R a '。

3．1．2．3 等价关系和等价类

等价关系是集合中一类重要的二元关系。

定义7 设～是集合A 上的一个二元关系，满足以下条件：

(1) 对A a ∈∀，有a ～a ； （反身性）

(2) 对A b a ∈∀,，有a ～b b ⇒～a ； （对称性）

(3) 对A c b a ∈∀,,，有a ～b 和b ～c a ⇒～c 。 （传递性）

则称～为A 中的一个等价关系。子集{}

a x A x x a ~,∈=即所有与a 等价的元素的集合，称为a 所在的一个等价类，a 称为这个等价类的代表元。

例如：设n 是一取定的正整数，在整数集合Z 中定义一个二元关系)(mod n ≡如下： )()(mod b a n n b a -⇔≡，

这个二元关系称为模n 的同余（关系），a 与b 模n 同余指a 和b 分别用n 来除所得的余数相同。

同余关系是一个等价关系，每一个等价类记作{}

)(mod ,n a x Z x x a ≡∈=称为一个同余类或剩余类。

3．1．4 整数

在近世代数中整数是最基本的代数系。这里仅重述有关整数的基本性质和常用概念。

3．1．4．1 整数的运算

整数的运算包括加、减、乘、除、开方、乘方、取对数等，这些运算及其性质这里不再赘述。在整数运算中有以下两个基本的定理：

带余除法定理 设Z b a ∈,，0≠b ，则存在唯一的整数q ，r 满足： b r r qb a <≤+=0,。

当0=r 时，称a 能被b 整除，或b 整除a ，记作a b ；当0≠r 时，称a 不能被b 整除。

只能被1和它本身整除的正整数称为素数；除1和本身外，还能被其它整数整除的正整数称为合数。

算术基本定理 每一个不等于1的正整数a 可以分解为素数的幂之积：