正应力计算公式

2） p ( 材料服从胡克定律 — 略去横向挤压应力）
对 My
Iz
沿y方向，线性分布
中性轴上 0
中性轴两侧 0
0
离中性轴最远点
max

M Iz

ymax
M、y绝对值代入，由变形判断 符号
m
0
M 0, 上压下拉 M 0, 下压上拉
(M>0)
0
10 kN / m
2m
4m
200 100
10 kN / m
200
2m
4m
Fs (kN) 25 45kN
100 15kN 解：由弯矩图可见
20 M (kN m)
Mmax 20 kN m
15 11.25
max
M max Wz
20 103 0.1 0.22
6
30MPa < [ ]
该梁满足强度条件，安全 20
例8：图示铸铁梁，许用拉应力[σt ]=30MPa， 许用压应力[σc ]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4，试 校核此梁的强度。
9 kN
4 kN
A
C
B
52
D
Cz
1m 1m 1m
88
9 kN
4 kN
A
C
B
52
D
Cz
1m 1m 1m
88
2.5 kN
10.5 kN
再作单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不 挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压 的状态。
推论： 梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，
下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既 不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤 维层称为中性层。
中性层与横截面的交线称为中性轴
中性层
中性轴
中性层
一、变形几何关系：
三、静力学关系
FN

dA 0
A
M y z dA 0
A
dA
Mz y dA M
A
FN
dA 0
A

E y dA 0

A
ydA 0
A
Sz =yC A = 0 中性轴过形心
M y

z dA
A

0

zE
A
y dA
M( kN m) 2.5
C截面： t
2.5 88 Iz
28.8 MPa
4
c

2.5 52 Iz
17.0 MPa
B截面： t

4 52 Iz
27.3MPa
∴ 强度满足要求
c

4 88 Iz
46.1MPa
m
0
(M＜0)
0
横截面上的最大正应力：
t

M y1 IZ
,
c

M y2 IZ
当中性轴是横截面的对称轴时：
y1 y2 ymax
t c max
max

M ymax IZ

M WZ
Wz

IzFra Baidu biblioteky max
Wz 称为抗弯截面模量
bh3
bh2
I Z 12 , WZ 6
（4）直梁或小曲率的梁（ r > 5h ）
二、梁的正应力强度条件
max

M max WZ
[ ]
利用上式可以进行三方面的强度计算：
①已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核 梁的强度
②已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的 截面尺寸
③已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷
例5：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的 许用应力［σ］=160MPa，校核该梁的强度。
1.纯弯曲：（CD段）
Fs = 0，M = const
横截面上只有正应力 而无切应力
P
AC
a
P
l
2.横力弯曲：（AC和DB段） Fs P
Fs ≠ 0，M ≠ 0
横截面上既有正应力
又有切应力
M
Pa
P Da B
P
P
CL8TU1
§6-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
变形几何关系 从三方面考虑： 物理关系
静力学关系
一、变形几何关系 用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁
作纯弯曲试验:
m
mn
m
aa
bb
mn
m
m
观察到以下变形现象: (1)aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长 (2)mm 和 nn 仍为直线, 并且仍然与已经成为弧 线的 aa和 bb 垂直, 只是相对转过了一个角度 梁在纯弯曲时的平面假设：
梁的各个横截面在变形后仍保持为平面， 并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一 轴旋转了一个角度。

0

I yz

0
Mz y dA M
A
y E y dA M

A
1M
EI z
EIz ——抗弯刚度
中性轴过截面形心
中性层的曲率公式： 1 M
EI z
正应力计算公式：
My

Iz
正应力计算公式：
公式适用条件：
My

Iz
1）平面弯曲时的纯弯曲
（平面假设: 横截面具有一根对称轴）
剪切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平
面。
• 弹性力学精确分析结果指出：当梁的跨度大于梁的 横截面高度5倍(即l>5h)时，剪应力和挤压应力对 弯曲正应力的影响甚小，可以忽略不计。因此由纯 弯曲梁导出的正应力计算公式，仍可以应用于横力 弯曲的梁中。
纯弯曲的正应力公式可以推广适用于：
（1）小变形； （2）材料处于比例极限范围内； （3）纯弯曲的梁或的l>5h横力平面弯曲的梁；
d4
I Z 64
d3
, WZ 32
IZ

(D4 d 4)
64

D4
64
(1 4 )
WZ

D3
32
(1 4 )
§6-3 横力弯曲时的正应力 正应力强度计算 My
Iz
• 上式是在平面假设和单向受力假设的基础上推
导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。
• 对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生
( y)d d y
d
d
y
z
y
dx
y
CL8TU3-2
二、物理关系
E E y

横截面上的正应力分布规律
M
1 沿高度方向线性分布
2 以中性轴为界，一侧为拉应力，另一侧为压应力
3 中性轴上的点（y=0）正应力为零
4 距离中性轴最远的点上有最大的正应力值