初中数学_5.6几何证明举例第一课时《全等三角形》教学课件设计
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∴ △ABC≌△ABD (SAS). ∴ AC=AD.
中考链接
（2012*苏州中考）如图所示，在梯形ABCD
中，已知AD∥BC,AB=CD,延长线段CB到E，
使BE=AD，连接AE，AC.
求证：（1）△ABE≌△CDA
（2）若∠DAC=40°，求∠EAC的度数.
A
D
E
B
C
交流与发现
思考
刚刚我们证明两条线段相等， 或者两个角相等，用了哪些方法？
A
SAS
B D C B D C ASA
课堂达标检测 1.如图，AD=AE,AC=AB,∠A=50°， ∠B=35° 则∠DOC等于（ A）
A.60° B.50° C.45° D.30°
A
E B
O
D
C
2.如图，在△ABC与△AEF中，AB=AE,BC=EF,
∠B=∠E,AB交EF于点D,给出下列结论： ①∠AFC=∠C;②DF=CF;③△ADE≌△FDB； ④∠BFD=∠CAF.其中正确的结论是（ ①④）.
回顾与思考 ☞
1.全等三角形的判定方法有哪些？ 它有什么性质？ 其中哪些是基本事实？
SAS ASA AAS SSS
2.几何证明的步骤是什么？
学习目标
• １、证明并掌握定理：两角分别相等 且其中一组等角的对边也相等的两个 三角形全等。
• ２、利用三角形全等的判定的知识判 断三角形全等，进而推证有关线段或 角相等。
证明：在△ABD与△ACD中，
AB=AC（ 已知 ），
D
BD=CD（ 已 知 ） ，
BLeabharlann Baidu
C
AD=AD（ 公 共 边 ），
隐含条件：公共边相等
∴ △ABD≌△ACD（ SSS）.
预习检测 ☞
A
已知：如图，AE=AD，∠B=∠C.
求证：△ABD≌△ACE.
E
D
证明：在△ABD和△ACE中， B
C
∠B=∠C（已知）， ∠A=∠A（ 公 共 角 ） ， AD=AE（ 已 知 隐）含，条件：公共角相等
预习检测 ☞
D
B
已知：AB与CD相交于点O，
∠A=∠C，OA=OC，
O
求证：△AOD≌△COB.
A
证明：在△AOD与△COB中，
C
A C（ 已 知 ）， 隐含条件：对顶角相等 OA=OC（ 已 知 ）， ∠AOD=∠COB（ 对 顶角相等 ），
∴ △AOD≌△COB（ ASA ）.
预习检测 ☞
3.如图,∠CAE=∠BAD，∠B=∠D，AC=AE，
△ABC与△ADE全等吗？为什么？
B
解：∵ ∠CAE=∠BAD(已
E
D 知),∴ ∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE
C
A
(等量加等量，和相等). 即∠BAC=∠DAE.
在△ABC和△ADE中， ∠B=∠D(已知), ∠BAC=∠DAE(已证),
..学..科..网.
A
12
EC
B
D
考察：SAS
对点训练2
如图，点A，B，C，D在一直线上，AB＝CD，AE∥BF ，CE∥DF.求证：AE＝BF.
考察：ASA
对点训练3
如图，在△AFD和△CEB中，点A，E，F，C在同一直线上 ，AE＝CF，∠B＝∠D，AD∥BC. 求证：AD＝BC.
考察：AAS
AC=AE(已知),
∴△ABC≌ △ADE (AAS).
小结
１、AAS：两角分别相等且其中一组等角的对边也相等 的两个三角形全等
２、判定三角形全等的方法有: “ASA”, “ AAS”, “SSS”, “SAS”
３、利用三角形全等可以得到线段相等或角相等.
证明两条线段（或角）相等的方法：（1）先观察要证 明的线段（或角）在哪两个可能全等的三角形中，在 证明这两个三角形全等；（２）如果没有相等的线段 （或角）代换，可设法作辅助线构造全等三角形。
已知：如图，在△AEC和△ADB中，AE=AD，
AC=AB，求证：△AEC ≌ △ADB.
证明：在△AEC和△ADB中
C
_A_E__=__A_D_(已知)
D
∠A= ∠A( 公共角)
A
E
B
_A_C___=_A__B_(已知)
隐含条件：公共角相等
∴ △AEC≌△ADB（ SAS ）
预习检测 ☞
A
已知：如图，AB=AC，BD=CD. 求证：△ABD≌△ACD.
拔尖自助餐
C
3
如图，已知E在AB上，∠1=∠2， ∠3=∠4，A E
那么AC等于AD吗？为什么？
4
1 2
B
解：AC=AD 理由：在△EBC和△EBD中,
∠1=∠2, ∠3=∠4, EB=EB. ∴ △EBC≌△EBD (AAS). ∴ BC=BD .
D
在△ABC和△ABD中 AB=AB , ∠1=∠2, BC=BD.
∴ △ABD≌△ACE（ AAS ）.
求证：两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角 形全等。 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，
∠B=∠B′ ∠C=∠C′ 求证：△ABC ≌ △A′B′C′。
（ 已知 ）
（ 三角形内角和定理 ） （等量代换 ） （ 已知 ）
（ ASA ）
例１. 已知：如图，AB=AC，DB=DC. 求证：∠B=∠C.
A
B
C
D
变式１. 已知：如图，AB=AC，DB=DC. 求证：∠B=∠C.
A
1
B3
2C
4
D
拓展延伸
已知：如图，AB=AC，∠B=∠C. 求证： DB=DC.
A
B
?
C
?
D
对点训练1
如图，已知AB=AD，AC=AE，∠1=∠2，
求证：BC=DE
注意一些常用方法和规律性的总结
（1）要证明两条线段相等、两个角相等， 可考察它们是否在给出的两个全等三角形中。
（2）如不存在，则需添加辅助线，构造两 个全等的三角形.
合作与探究
两个全等三角形的对应边上的高线、对应边上的 中线、对应角的平分线有什么性质呢？
A
A
A
A
B D C B D C A
AAS
B D C B D C
对点训练4
3.已知AC=FE,BC=DE,点A,D,B,F在一条直线上， AD=BF,
求证：∠E=∠C
A
C
证明：∵ AD=FB,
∴ AD+DB=BF+DB.
D
即 A在B△=AFDBC. 和△FDE中,
B
AC=FE,
E
F
BC=DE,
AB=FD.
考察：SSS
∴ △ABC≌△FDE(SSS).
∴ ∠E=∠C.
中考链接
（2012*苏州中考）如图所示，在梯形ABCD
中，已知AD∥BC,AB=CD,延长线段CB到E，
使BE=AD，连接AE，AC.
求证：（1）△ABE≌△CDA
（2）若∠DAC=40°，求∠EAC的度数.
A
D
E
B
C
交流与发现
思考
刚刚我们证明两条线段相等， 或者两个角相等，用了哪些方法？
A
SAS
B D C B D C ASA
课堂达标检测 1.如图，AD=AE,AC=AB,∠A=50°， ∠B=35° 则∠DOC等于（ A）
A.60° B.50° C.45° D.30°
A
E B
O
D
C
2.如图，在△ABC与△AEF中，AB=AE,BC=EF,
∠B=∠E,AB交EF于点D,给出下列结论： ①∠AFC=∠C;②DF=CF;③△ADE≌△FDB； ④∠BFD=∠CAF.其中正确的结论是（ ①④）.
回顾与思考 ☞
1.全等三角形的判定方法有哪些？ 它有什么性质？ 其中哪些是基本事实？
SAS ASA AAS SSS
2.几何证明的步骤是什么？
学习目标
• １、证明并掌握定理：两角分别相等 且其中一组等角的对边也相等的两个 三角形全等。
• ２、利用三角形全等的判定的知识判 断三角形全等，进而推证有关线段或 角相等。
证明：在△ABD与△ACD中，
AB=AC（ 已知 ），
D
BD=CD（ 已 知 ） ，
BLeabharlann Baidu
C
AD=AD（ 公 共 边 ），
隐含条件：公共边相等
∴ △ABD≌△ACD（ SSS）.
预习检测 ☞
A
已知：如图，AE=AD，∠B=∠C.
求证：△ABD≌△ACE.
E
D
证明：在△ABD和△ACE中， B
C
∠B=∠C（已知）， ∠A=∠A（ 公 共 角 ） ， AD=AE（ 已 知 隐）含，条件：公共角相等
预习检测 ☞
D
B
已知：AB与CD相交于点O，
∠A=∠C，OA=OC，
O
求证：△AOD≌△COB.
A
证明：在△AOD与△COB中，
C
A C（ 已 知 ）， 隐含条件：对顶角相等 OA=OC（ 已 知 ）， ∠AOD=∠COB（ 对 顶角相等 ），
∴ △AOD≌△COB（ ASA ）.
预习检测 ☞
3.如图,∠CAE=∠BAD，∠B=∠D，AC=AE，
△ABC与△ADE全等吗？为什么？
B
解：∵ ∠CAE=∠BAD(已
E
D 知),∴ ∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE
C
A
(等量加等量，和相等). 即∠BAC=∠DAE.
在△ABC和△ADE中， ∠B=∠D(已知), ∠BAC=∠DAE(已证),
..学..科..网.
A
12
EC
B
D
考察：SAS
对点训练2
如图，点A，B，C，D在一直线上，AB＝CD，AE∥BF ，CE∥DF.求证：AE＝BF.
考察：ASA
对点训练3
如图，在△AFD和△CEB中，点A，E，F，C在同一直线上 ，AE＝CF，∠B＝∠D，AD∥BC. 求证：AD＝BC.
考察：AAS
AC=AE(已知),
∴△ABC≌ △ADE (AAS).
小结
１、AAS：两角分别相等且其中一组等角的对边也相等 的两个三角形全等
２、判定三角形全等的方法有: “ASA”, “ AAS”, “SSS”, “SAS”
３、利用三角形全等可以得到线段相等或角相等.
证明两条线段（或角）相等的方法：（1）先观察要证 明的线段（或角）在哪两个可能全等的三角形中，在 证明这两个三角形全等；（２）如果没有相等的线段 （或角）代换，可设法作辅助线构造全等三角形。
已知：如图，在△AEC和△ADB中，AE=AD，
AC=AB，求证：△AEC ≌ △ADB.
证明：在△AEC和△ADB中
C
_A_E__=__A_D_(已知)
D
∠A= ∠A( 公共角)
A
E
B
_A_C___=_A__B_(已知)
隐含条件：公共角相等
∴ △AEC≌△ADB（ SAS ）
预习检测 ☞
A
已知：如图，AB=AC，BD=CD. 求证：△ABD≌△ACD.
拔尖自助餐
C
3
如图，已知E在AB上，∠1=∠2， ∠3=∠4，A E
那么AC等于AD吗？为什么？
4
1 2
B
解：AC=AD 理由：在△EBC和△EBD中,
∠1=∠2, ∠3=∠4, EB=EB. ∴ △EBC≌△EBD (AAS). ∴ BC=BD .
D
在△ABC和△ABD中 AB=AB , ∠1=∠2, BC=BD.
∴ △ABD≌△ACE（ AAS ）.
求证：两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角 形全等。 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，
∠B=∠B′ ∠C=∠C′ 求证：△ABC ≌ △A′B′C′。
（ 已知 ）
（ 三角形内角和定理 ） （等量代换 ） （ 已知 ）
（ ASA ）
例１. 已知：如图，AB=AC，DB=DC. 求证：∠B=∠C.
A
B
C
D
变式１. 已知：如图，AB=AC，DB=DC. 求证：∠B=∠C.
A
1
B3
2C
4
D
拓展延伸
已知：如图，AB=AC，∠B=∠C. 求证： DB=DC.
A
B
?
C
?
D
对点训练1
如图，已知AB=AD，AC=AE，∠1=∠2，
求证：BC=DE
注意一些常用方法和规律性的总结
（1）要证明两条线段相等、两个角相等， 可考察它们是否在给出的两个全等三角形中。
（2）如不存在，则需添加辅助线，构造两 个全等的三角形.
合作与探究
两个全等三角形的对应边上的高线、对应边上的 中线、对应角的平分线有什么性质呢？
A
A
A
A
B D C B D C A
AAS
B D C B D C
对点训练4
3.已知AC=FE,BC=DE,点A,D,B,F在一条直线上， AD=BF,
求证：∠E=∠C
A
C
证明：∵ AD=FB,
∴ AD+DB=BF+DB.
D
即 A在B△=AFDBC. 和△FDE中,
B
AC=FE,
E
F
BC=DE,
AB=FD.
考察：SSS
∴ △ABC≌△FDE(SSS).
∴ ∠E=∠C.