两角和差公式及其应用
两角和与差的公式
两角和与差的公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C (α－β)) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C (α＋β)) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S (α－β)) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S (α＋β)) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β (T (α－β))tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β (T (α＋β))2．二倍角公式 sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如T (α±β)可变形为tan α±tan β＝tan(α±β)(1tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan(α＋β)＝tan α－tan βtan(α－β)－1.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( × )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ )(5)设sin 2α＝－sin α，α∈(π2，π)，则tan 2α＝ 3.( √ )1．(2013·浙江)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( ) C ．－34 D ．－43 答案 C解析 ∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52. 化简得：4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α等于( )A ．－34 C ．－43 答案 B解析 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3， 则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34. 3．(2013·课标全国Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________.答案 －105解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，∴tan θ＝－13，即⎩⎪⎨⎪⎧3sin θ＝－cos θ，sin 2θ＋cos 2θ＝1，且θ为第二象限角， 解得sin θ＝1010，cos θ＝－31010. ∴sin θ＋cos θ＝－105.4．(2014·课标全国Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________． 答案 1解析 ∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ ＝sin[(x ＋φ)－φ]＝sin x ， ∴f (x )的最大值为1.题型一 三角函数公式的基本应用例1 (1)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3(2)若0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13， cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)等于( ) B ．－33D ．－69答案 (1)A (2)C解析 (1)由根与系数的关系可知 tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2. ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.故选A. (2)cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)]＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)． ∵0<α<π2， 则π4<π4＋α<3π4，∴sin(π4＋α)＝223. 又－π2<β<0， 则π4<π4－β2<π2， 则sin(π4－β2)＝63.故cos(α＋β2)＝13×33＋223×63＝539.故选C.思维升华 三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立．使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系．(1)若α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝17，则sin α等于( )C ．－35D ．－45(2)计算：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(1tan 5°－tan 5°)＝________. 答案 (1)A (2)32解析 (1)∵tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17，∴tan α＝－34＝sin αcos α， ∴cos α＝－43sin α. 又∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin 2α＝925.又∵α∈(π2，π)，∴sin α＝35.(2)原式＝2cos 210°4sin 10°cos 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 20°sin 10° ＝cos 10°－2sin 20°2sin 10° ＝cos 10°－2sin(30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2sin 30°cos 10°＋2cos 30°sin 10°2sin 10°＝32.题型二 三角函数公式的灵活应用例2 (1)sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos(110°－x )的值为( )(2)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan(π4－x )sin 2(π4＋x )＝________. (3)求值：cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°＝________.答案 (1)B (2)12cos 2x (3)3解析 (1)原式＝sin(65°－x )·cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos[90°－(x －20°)]＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝sin[(65°－x )＋(x －20°)]＝sin 45°＝22.故选B. (2)原式＝12(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin(π4－x )cos(π4－x )·cos 2(π4－x ) ＝(2cos 2x －1)24sin(π4－x )cos(π4－x )＝cos 22x 2sin(π2－2x ) ＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x .(3)原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力．(1)已知α∈(0，π)，化简：(1＋sin α＋cos α)·(cos α2－sin α2)2＋2cos α＝________.(2)在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2的值为________．答案 (1)cos α (2)3解析 (1)原式＝(2cos 2α2＋2sin α2cos α2)·(cos α2－sin α2)4cos 2α2.因为α∈(0，π)，所以cos α2>0，所以原式＝(2cos 2α2＋2sin α2cos α2)·(cos α2－sin α2)2cos α2 ＝(cos α2＋sin α2)·(cos α2－sin α2)＝cos 2α2－sin 2α2＝cos α.(2)因为三个内角A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝2π3，A ＋C 2＝π3，tan A ＋C2＝3，所以tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2＝tan ⎝⎛⎭⎫A 2＋C 2⎝⎛⎭⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C 2＝3⎝⎛⎭⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C 2＝ 3. 题型三 三角函数公式运用中角的变换例3 (1)已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.则sin(α－β)＝________，cos β＝________.(2)(2013·课标全国Ⅱ)已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( )答案 (1)－1010 95010 (2)A解析 (1)∵α，β∈(0，π2)，从而－π2<α－β<π2. 又∵tan(α－β)＝－13<0， ∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，sin α＝35，∴cos α＝45. ∴cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×(－1010)＝91050. (2)因为cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos2⎝⎛⎭⎫α＋π42 ＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin 2α2， 所以cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－sin 2α2＝1－232＝16，选A.思维升华 1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)等．(1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( )或255或525(2)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是________． 答案 (1)A (2)－45解析 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45.又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)． 因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45. 于是cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525. (2)∵cos(α－π6)＋sin α＝453， ∴32cos α＋32sin α＝453， 3(12cos α＋32sin α)＝453， 3sin(π6＋α)＝453， ∴sin(π6＋α)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45.高考中的三角函数求值、化简问题典例：(1)若tan 2θ＝－22，π<2θ<2π，则2cos 2θ2－sin θ－12sin(θ＋π4)＝________.(2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2 B ．2α－β＝π2 C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2(3)(2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于( ) A ．－53 B ．－59(4)(2012·重庆)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°等于( ) A ．－32 B ．－12思维点拨 (1)注意和差公式的逆用及变形．(2)“切化弦”，利用和差公式、诱导公式找α，β的关系． (3)可以利用sin 2α＋cos 2α＝1寻求sin α±cos α与sin αcos α的联系． (4)利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化． 解析 (1)原式＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－tan θ1＋tan θ，又tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－22，即2tan 2θ－tan θ－2＝0，解得tan θ＝－12或tan θ＝ 2. ∵π<2θ<2π，∴π2<θ<π.∴tan θ＝－12，故原式＝1＋121－12＝3＋2 2.(2)由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β， 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)． ∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)， ∴由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α， ∴2α－β＝π2.(3)方法一 ∵sin α＋cos α＝33，∴(sin α＋cos α)2＝13， ∴2sin αcos α＝－23，即sin 2α＝－23. 又∵α为第二象限角且sin α＋cos α＝33>0， ∴2k π＋π2<α<2k π＋34π(k ∈Z )， ∴4k π＋π<2α<4k π＋32π(k ∈Z )， ∴2α为第三象限角，∴cos 2α＝－1－sin 22α＝－53. 方法二 由sin α＋cos α＝33两边平方得1＋2sin αcos α＝13，∴2sin αcos α＝－23.∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α＝(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝153.由⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＋cos α＝33，sin α－cos α＝153，得⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝3＋156，cos α＝3－156.∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－53.(4)原式＝sin(30°＋17°)－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17° ＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.答案 (1)3＋22 (2)B (3)A (4)C温馨提醒 (1)三角函数的求值化简要结合式子特征，灵活运用或变形使用公式．(2)三角求值要注意角的变换，掌握常见的配角技巧．方法与技巧1．巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1tan x ·tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2， 配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22， 1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2.2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形． 失误与防范1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的．3．在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值.A 组 专项基础训练(时间：30分钟)1．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( )答案 C解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4，所以 tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan(α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan(α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322. 2．若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ等于( )答案 D解析 由sin 2θ＝387和sin 2θ＋cos 2θ＝1得(sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝(3＋74)2，又θ∈[π4，π2]，∴sin θ＋cos θ＝3＋74.同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34.3．已知tan α＝4，则1＋cos 2α＋8sin 2αsin 2α的值为( ) A ．4 3C ．4答案 B解析 1＋cos 2α＋8sin 2αsin 2α＝2cos 2α＋8sin 2α2sin αcos α， ∵tan α＝4，∴cos α≠0，分子、分母都除以cos 2α得2＋8tan 2α2tan α＝654. 4．(2013·重庆)4cos 50°－tan 40°等于( )D ．22－1答案 C解析 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin(50°＋30°)－sin 40°cos 40° ＝3sin 50°＋cos 50°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°cos 40°＝ 3. 5．已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3)的值是( ) A ．－233B ．±233C ．－1D ．±1答案 C解析 cos x ＋cos(x －π3)＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3(32cos x ＋12sin x )＝3cos(x －π6)＝－1.6． sin 250°1＋sin 10°＝________. 答案 12解析 sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos(90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12. 7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________. 答案 1解析 根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.又α、β为锐角，则sin β＋cos β>0，∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1.12°－3,(4cos 212°－2)sin 12°)＝________.答案 －43解析 原式＝3sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12°＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin(－48°)2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3. 9．已知 1＋sin α1－sin α－ 1－sin α1＋sin α＝－2tan α，试确定使等式成立的α的取值集合． 解 因为1＋sin α1－sin α－ 1－sin α1＋sin α ＝ (1＋sin α)2cos 2α－ (1－sin α)2cos 2α＝|1＋sin α||cos α|－|1－sin α||cos α| ＝1＋sin α－1＋sin α|cos α|＝2sin α|cos α|，所以2sin α|cos α|＝－2tan α＝－2sin αcos α.所以sin α＝0或|cos α|＝－cos α>0.故α的取值集合为{α|α＝k π或2k π＋π2<α<2k π＋π或2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z }．10．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值．解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12. 又π2<α<π，所以cos α＝－32.(2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35＝－43＋310.B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11．已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos(α－π4)等于()A ．－255B ．－3510C ．－31010答案 A 解析 由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2<α<0，所以sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos(α－π4)＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.12．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( )答案 D解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14， ∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝14，∴cos 2α＝14， ∴cos α＝12或－12(舍去)，∴α＝π3，∴tan α＝ 3.13．若tan θ＝12，θ∈(0，π4)，则sin(2θ＋π4)＝________. 答案 7210解析 因为sin 2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝45， 又由θ∈(0，π4)，得2θ∈(0，π2)，所以cos 2θ＝1－sin 22θ＝35， 所以sin(2θ＋π4) ＝sin 2θcos π4＋cos 2θsin π4＝45×22＋35×22＝7210.14．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0. (1)解 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明 由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45，两式相加得2cos βcos α＝0，∵0<α<β≤π2，∴β＝π2，∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.15．已知f (x )＝(1＋1tan x )sin 2x －2sin(x ＋π4)·sin(x －π4)．(1)若tan α＝2，求f (α)的值；(2)若x ∈[π12，π2]，求f (x )的取值范围．解 (1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4· cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝12＋12(sin 2x －cos 2x )＋cos 2x＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12.由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45. cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35. 所以，f (α)＝12(sin 2α＋cos 2α)＋12＝35.(2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12. 由x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，得5π12≤2x ＋π4≤5π4. 所以－22≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤1,0≤f (x )≤2＋12， 所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋12.。
两角和与差的公式定理
两角和与差的公式定理两角的和与差是数学中的重要概念，在解决三角函数问题时经常用到。
这里我们将介绍两角和与差的公式定理，并给出证明过程。
1.两角和的公式定理：设角A和角B的角度分别为α和β，则两角的和角是角A+角B，记作(A+B)，其三角函数公式如下：sin(A + B) = sinA*cosB + cosA*sinBcos(A + B) = cosA*cosB - sinA*sinBtan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA*tanB)证明：我们可以使用欧拉公式来证明两角和的公式定理：欧拉公式表示：e^(ix) = cosx + i*sinx，其中 i 是虚数单位。
我们将角A和角B分别替换为复数表示，即A=α+iβ，B=γ+iδ。
根据欧拉公式，我们可以得到：e^(i(α+iβ)) = e^(iα-iβ) = cos(α-β) + i*sin(α-β)将等式两边展开，得到：e^(iα-iβ) = cosα*cosiβ + sinα*siniβ + i*(sinα*cosiβ- cosα*siniβ)对比实部和虚部，可以得到：co s(α-β) = cosα*cosβ - sinα*sinβsin(α-β) = sinα*cosβ + cosα*sinβ这就是两角和的公式定理。
2.两角差的公式定理：设角A和角B的角度分别为α和β，则两角的差角是角A-角B，记作(A-B)，其三角函数公式如下：sin(A - B) = sinA*cosB - cosA*sinBcos(A - B) = cosA*cosB + sinA*sinBtan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA*tanB)证明：同样使用欧拉公式，我们可以得到：cos(α+β) + i*sin(α+β) = e^(i(α+β))cosα*cosiβ - sinα*siniβ + i*(sinα*cosiβ + cosα*siniβ) = e^(i(α+β))对比实部和虚部，可以得到：cos(α+β) = cosα*cosβ - sinα*sinβsin(α+β) = sinα*cosβ + cosα*sinβ将等式两边进行替换，我们可以得到两角差的公式定理。
人教A两角和与差的正弦、余弦、正切公式
2.理解和运用正弦公式要注意哪几个问题？公式Ｃα〒β， Ｓα〒β有什么联系？ （１）理解和运用和（差）角的正弦公式要注意的几个问题： ①公式对于任意的角α，β都成立.
②搞清sin(α〒β)的意义.例如，sin（α＋β）是两角α与β的和 的正弦，它表示角（α＋β）终边上任意一点的纵坐标与原点 到这点的距离之比.在一般情况下,sin(α+β)≠sinα+sinβ.如， π π α= ,β= 时， 3 6
四个公式Ｃα〒β，Ｓα〒β虽然形式不同、结构不同，但它们 本质是相同的，因为它们同出一脉： π
=
3cos20o sin20 o - sin20 o 3. o cos20
【评析】三角函数求值、化简及恒等式证明的过程，实际就是 利用公式进行三角变换的过程，而三角变换的一个重要方面就 是角的变换，正确地进行角的变换，可化难为易，化繁为简. 返回目录
名师伴你行
化简：cos15°+
3 sin15°.
4 ,cos(α+β)= 5 63 . 65
16 ， 65
∴cosβ=cos［(α+β)-α］ =cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα
63 3 5 16 4 =- 65〓 5 + 65 〓 5 = 13 .
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学点二
逆用或变形应用公式求值
求下列各式的值： (1)cos80°cos35°+cos10°cos55°；(2)sin75°-sin15°；
13π 不查表求cos105°和sin 12
【分析】将105°表示成60°和45°的和，再用两角和的余弦 13π π 公式求解. 12 可表示成π+ π 12,用诱导公式可将 13π的正弦化 12 π π π 为 12 的正弦，而 12 = 3 - 4 ，再用差角的正弦公式求解. 【解析】cos105°=cos(60°+45°)
两角和与差的三角函数公式知识点
两角和与差的三角函数公式知识点两角和与差的三角函数公式是指在给定两个角的情况下，通过公式计算它们的和或差的三角函数值的关系式。
这些公式在解决三角函数的实际问题和简化计算中起着重要的作用。
本文将介绍两角和与差的三角函数公式的基本知识点，包括公式的推导、证明和应用。
一、两角和与差的三角函数公式的推导1.两角和的公式对于两个角A和B，其正弦、余弦和正切的和公式如下：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB - sinAsinBtan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)这些公式可以通过将和角的正弦、余弦和正切分别展开为各自的和差形式，然后进行合并得到。
以正弦和公式为例，我们可以化简如下：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB由正弦的和差公式可得：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB= (sinAcosB + cosAsinB)(cosAcosB – sinAsinB)/(cosAcosB –sinAsinB)= sinAcosBcosAcosB – sinAsinBcosAcosB + cosAsinBcosAcosB –cosAsinBsinAsinB/(cosAcosB – sinAsinB)= sinAcosBcosAcosB – sinAsinBcosAcosB + cosAsinBcosAcosB –cosAsinBsinAsinB/(cos^2A - sin^2B)= sinAcos^2B - sinAsin^2B + cos^2AsinB - cosBsinA/(cos^2A - sin^2B)= sinA(cos^2B - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)/(cos^2A - sin^2B)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)/(cos^2A - sin^2B)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)2.两角差的公式对于两个角A和B，其正弦、余弦和正切的差公式如下：sin(A-B) = sinAcosB - cosAsinBcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinBtan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)同样，这些公式也可以通过将差角的正弦、余弦和正切展开为各自的差和比值形式，然后进行合并得到。
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
例题1 例题
例题2 例题
例题3 例题
基础应用
1 2 例题2、（）已知tanα = ,tan(α − β ) = − , 求tan(2α − β ). 1 2 5
解： 2α − β = α + (α − β ) ∵
∴ tan(2α − β ) = tan (α + (α − β ) )
tan α + tan(α − β ) = 1 − tan α ⋅ tan(α − β )
∴ tan 2α = tan ( (α + β ) + (α − β ) )
tan(α + β ) + tan(α − β ) = =0 1 − tan(α + β ) ⋅ tan(α − β )
例题1 例题
例题2 例题
例题3 例题
基础应用
2 π 1 π 例题2、（3）已知tan (α + β ) = ,tan(β − ) = , 求tan(α + ). 5 4 4 4 π π 解： α + = (α + β ) − β − ∵
应用举例
不查表, cos( 375 375° 的值. 不查表,求cos(–375°)的值. 解: cos(– 375°)=cos15 ° =cos(45 °– 30 °) ° =cos45 °cos30 ° +sin45 °sin30 °
=
=
2 • 2
6 + 4
3 + 2
2
2 1 • 2 2
学 以 致 用
简记为T(α + β )和T α − β） （
3 π 例 ：已知sin a = − ,α是第四象限的角，求sin( −α), 5 5 4 cos( +α),tan(α − )的值。 4 4 3 解 ： 由 sin α =- , α 是 第 四 象 限 的 角 ， 得 5 4 2 3 2 cosα = 1 − sin α = 1 − (− 5 ) = , 5 sin α 3 所 以 tan α = = − co s α 4
两角和与差的三角公式应用版
6
5
的值是_________
3
4
A. 5
B. 3
5
C. 3
2
D. 3
5
2.已知函数 f (x) 3 sin2 x sin x cos x 3 (x R)
（1）若
x
0,
2
求 f (x) 的最大值。
2
1
（2）在△ABC中，A<B，
f (A)
f (B) 2
求A，B，C的值。
x已∈知函4数，f2(x).=求2sfi(nx2)的4最 大x 值 和3最c小os值2x．，
考点二、两角和与差公式的应用
1.已知 tan( ) 2, tan 1
4
2
（1）求tan 2的值；
（2）求sin( ) 2sin cos 的值。 2sin sin cos( )
1
且(a3、)已b均知为ta锐n 角a=，7求a+，2btan b=
1 3
，并
1.已知sin( ) cos 4 3 则 sin( )
-7
3.
(教材改编题)已知cos
，则sin a的值为(
2a=
)
1 2
，其中a∈
4
0
A. 1
2
B. - 1
2
C. 3
2
D. - 3
2
4. f(x)=2sin x-2cos x的值域是________．
本节收获：
二、二倍角公式
sin2α＝ 2sinαcosα ；
cos2α＝ cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－1 ＝
；
tan2α＝
2tanα 1－tan2α .
其公式变形为：
两角和与差的三角函数公式知识点
两角和与差的三角函数公式知识点两角和与差的三角函数公式属于高中数学的重要内容，主要通过利用三角函数的性质，研究两个角的和与差的三角函数值之间的关系。
在解决三角方程、证明恒等式等问题时，这些公式的应用非常广泛。
本文将从公式的定义、推导及应用方面进行详细解析。
一、两角和的三角函数公式1.余弦和公式：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A+B。
我们知道，其对应的三条直角边分别是x、x'、x"和y、y'、y"，根据三角函数的定义，我们可以得到如下关系：x = cosA，y = sinAx' = cosB，y' = sinBx" = cos(A+B)，y" = sin(A+B)那么，点P、Q和R的连线所对应的三角形的三个内角之和应该等于180°，即有：∠POR+∠POQ+∠QOR=180°∠A+∠B+∠(A+B)=180°2A+B=180°将以上结果代入三角函数的定义中，我们可以得到：cos(A+B) = x" = x'x - y'y = cosAcosB - sinAsinB2.正弦和公式：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A+B。
同样，根据三角函数的定义，我们可以得到如下关系：x = cosA，y = sinAx' = cosB，y' = sinBx" = cos(A+B)，y" = sin(A+B)那么，点P、Q和R的连线所对应的三角形的三个边长之和应该等于2，即有：PR+PQ+QR=2∠POR+∠POQ+∠QOR=360°∠A+∠B+∠(A+B)=360°2A+B=360°将以上结果代入三角函数的定义中，我们可以得到：sin(A+B) = y" = xy' + yx' = sinAcosB + cosAsinB二、两角差的三角函数公式1.余弦差公式：cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A-B。
§15.2 两角和、两角差及二倍角公式
§15.2 两角和、两角差与二倍角公式在诱导公式中，我们有sin(α+2π)=cos α，sin(π-α)=sin α 等等一批公式，公式中同一个三角函数符号下出现了两个角，其中一个角α可以任意，但另一个角2π,π等却是固定的．如果把另一个角改成也是可以任意的例如β，那么sin(α+β)、sin(α-β)等与α,β的三角函数之间会有联系吗？如果有联系，又是怎样的联系？一、两角和与差的余弦1、知识要点设角α的终边与单位圆的交点坐标为P (cos α,sin α)，角β的终边与单位圆的交点坐标为Q (cos β,sin β)．记 a=OP =(cos α,sin α)，b =OQ =(cos β,sin β), 则 a b =|a|⋅|b |cos(α-β)=cos(α-β)； 又应用向量数量积的坐标表示公式 a b=cos α cos β+ sin α sin β，所以cos(α-β)=cos α cos β+ sin α sin β (C α-β )（1）我们把C α-β叫做两角差的余弦公式．在C α-β 中用-β代替β，就可以得到cos(α+β)= cos [α-(-β)] =cos α cos(-β)+ sin α sin(-β)即 cos(α+β)= cos α cos β- sin α sin β． (C α+β )（2）把C α+β 叫做两角和的余弦公式． 2、例题分析例1 不查表，求cos105°及cos15°的值． 解 设法把105°,15°分解成已知三角函数值的特殊角的和或差，再应用C α-β 或C α+β ．cos105°=cos(60°+45°)=cos60°cos45°-sin60°sin45°=1222⋅=462-； cos15°=cos(45°-30°)= cos45°cos30°+sin45°sin30°12+=426+． 例2 已知cos α=-54, (2π<α<π)，求cos(6π-α), cos(6π+α)． 解 因为cos α＝--54，且2π<α<π，所以sin α=2)54(1--=53．cos(6π-α)=cos6πcos α+sin6πsin α413)525-+⋅=10343-； cos(6π+α)= cos6πcos α-sin6πsin α413)525--⋅=10343+-． 例3 利用公式C α+β 证明cos [α+(2k +1)π]=-cos α．证明 cos [α+(2k +1)π]=cos αcos(2k +1)π-sin αsin(2k +1)π=cos α(-1)-sin α⋅0=-cos α，所以原式成立． 3、课内练习1. 不查表，求下列三角函数的值： (1)cos75°； (2)cos(-15°)； (3)cos80°cos20°+sin80°sin20°；β)(4)cos20°cos25°-sin20°sin25°； (5)cos22.5°cos22.5°-sin22.5°sin22.5°； (6)cos 215°-sin 215°． 2．利用公式C α+β 、C α-β 证明(1)cos(α+2π)=-sin α； (2)cos(-α)=cos α．3．已知sin α=32,α (2π,π)，求cos(3π+α), cos(3π-α)． 4．已知sin α=1715, cos β=135-, α, β∈(2π,π)，求cos(α+β), cos(α-β)的值．二．两角和与差的正弦.1、知识要点有了C α+β 和C α-β的公式，自然会联想两角和与差的正弦公式如何？因为sin(α+β)=cos [2π-(α+β)]=cos [(2π-α)-β]=cos(2π-α)cos β+sin(2π-α)sin β=sin αcos β+cos αsin β即 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β． (S α+β)（1）我们把S α+β 叫做两角和的正弦公式．在两角和的正弦公式中，用(-β)代替β就可以得到 sin(α-β)=sin(α+(-β))=sin αcos(-β)+ cos αsin(-β)，即 sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β． (S α-β)（2）我们把S α-β 叫做两角差的正弦公式． 2、例题分析例1 不查表，求sin75︒，sin15︒的值解 sin75︒=sin (45︒+30︒)=sin45︒⋅cos30︒+cos45︒⋅sin30︒=2322⋅ +2122⋅=426+；sin15︒=sin (45︒-30︒)=sin45︒⋅cos30︒-cos45︒⋅sin30︒=2322⋅ -2122⋅=426-．例2 已知向量OP =(3,4)，绕原点旋转45︒到P O '的位置(见图10-2)，求点P ’的坐标(x ’,y ’)． 解 设∠xOP =α．因为|OP |=2243+=5，所以cos α=53，sin α=54，x ’=5cos(α+45︒)=5(cos αcos45︒- sin αsin45︒)=5(53⨯22-54⨯22)=-22；y ’=5sin(α+45︒)=5(sin αcos45︒+ cos αsin45︒)=5(54⨯22+53⨯22)=227．所以 P ’( -22, 227)．3、课内练习1． 不查表，求下列各式的值(1)sin105︒； (2)sin165︒； (3)sin(-125π)； (4)sin13︒cos17︒+cos13︒sin17︒； (5)sin70︒cos25︒-sin25︒cos70︒．2. 化简(1)sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin α； (2)sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β．图10-2• yxαPO•P ' 45︒3．已知sin α=1715,α∈(2π,π)，求sin(3π+α), sin(3π-α)．4．已知sin α=32, cos β=-43，且α, β都是第二象限的角，求sin(α+β), sin(α-β)．5．向量OP =(4,3)绕原点旋转60︒, 120︒, -60︒到1OP ,2OP ,3OP 的位置，求点P 1,P 2,P 3的坐标．三．两角和与差的正切1、知识要点根据同角三角函数的关系：tan(α+β)=)cos()sin(βαβα++，得tan(α+β)=βαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin -+；分子、分母同除以cos αcos β, (cos αcos β)≠0)， 则tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+． (T α+β )（1）我们把T α+β 叫做两角和的正切．在T α+β 中用-β代替β，并用负角公式tan(-x)=-tanx ，就可以得到tan(α-β)=βαβαtan tan tan tan ⋅+-1． (T α-β )（2）我们把T α-β 叫做两角差的正切． 2、例题分析例1 不查表，求下列各式的值(1)tan75︒； (2)︒︒︒+︒34tan 71tan -134tan 71tan ．解 (1) tan75︒= tan (45︒+30︒)=︒⋅︒︒+︒30tan 45tan -130tan 45tan =3333-+=2+3；(2)︒︒︒+︒34tan 71tan -134tan 71tan =tan(17︒+43︒)= tan60︒=3例2 不查表，求下列各式的值(1)151151tan tan -+； (2)tan23︒+tan22︒+tan23︒tan22︒． 解 (1)︒-︒+15tan 115tan 1=︒︒-︒+︒15tan 45tan 115tan 45tan =tan (45︒+15︒)=tan60︒=3；(2)因为tan(23︒+22︒)=︒︒+︒+︒22tan 32tan 122tan 32tan ，所以tan23︒+tan22︒=tan(23︒+22︒)(1- tan23︒tan22︒)，原式=tan45︒ (1-tan23︒tan22︒)+tan23︒tan22︒=1-tan23︒ tan22︒+ tan23︒ tan22︒ =1． 3、课内练习1. 不查表，求下列各式的值：(1)tan15︒； (2)tan105︒； (3)︒︒-︒+︒33tan 21tan 133tan 21tan ； (4)3tan125tan 13tan 125tanππππ-+． 2. 已知tan x =2, tan y =51，求tan (x +y ),tan (x -y )． 3. 不查表，求下列各式的值(1)︒+︒-75tan 175tan 1； (2)tan17︒ +tan43︒+3tan17︒ tan43︒．4. 求证(1)θθtan 1tan 1+-=tan(θπ-4)； (2)θθtan 1tan 1-+=tan(θπ+4)． 5. 已知tan α=52，tan β=73，求tan(α+β)． 6. 已知tan α=23，tan β=53，求tan(α-β)．四．倍角公式1、知识要点在和角公式S α+β , C α+β , T α+β 中，取β=α，就可得出相应的二倍角的三角函数公式： （1）sin2α=2sin αcos α； (S 2α ) （2）cos2α=cos 2α-sin 2α=2 cos 2α-1=1-2 sin 2α； (C 2α )（3）t a n2α=αα2tan -12tan ． (T 2α ) 2、例题分析例1 已知sin α=135, α∈(2π,π)，求sin2α, cos2α, tan2α的值．解 因为sin α=135, α∈(2π,π)，所以cos α=-α2sin 1-=-2)135(1-=-1312．sin2α=2sin αcos α=2⨯135⨯(-1312)=-169120；cos2α=cos 2α-sin 2α=(-1312)2-(135)2=169119； tan2α=αα2cos 2sin =-169120÷169119=-119120．例2 证明恒等式θθθθθθtan cos sin 22cos 2sin 2sin 2=+++． 证明 左边=θθθθθθθcos sin 2)sin (cos 2sin cos sin 2222++-+=)1cos 2(cos )1cos 2(sin ++θθθθ=θtan =右边．所以原式成立．例3 证明sin50︒(1+3tan10︒)=1．证明 左边=sin50︒(1+10cos 10sin 3)=sin50︒ 10cos 10sin 310cos + =2sin50︒1010102321cos sin cos +=2 sin50︒10cos 10sin 30cos 10cos 30sin + =2sin50︒ 10cos 40sin = 10cos 50cos 50sin 2=10cos 100sin =10cos 10cos =1=右边．所以原式成立． 在例10的证明过程中，使用了正弦函数的和角公式、倍角公式，两次应用了诱导公式，还使用了分子、分母同除以2的技巧，其目的是要把看似互不关联的三角函数值关联起来，应用已知公式予以简化，达到证明的目的．可见熟悉公式并灵活应用的重要性．3、课内练习1． 不查表，求下列各式的值：(1)2sin67°30cos67°30'； (2)cos 28π-sin 28π； (3)2cos 212π-1；(4)1-2sin 275°；(5)5.22tan 15.22tan 22-； (6)sin15°cos15°． 2．化简下列各式：(1)(sin α-cos α)2； (2)sin 2θcos 2θ； (3)cos 4ϕ-sin 4ϕ； (4)θθtan 11tan 11+--． 3．已知sin α=0.8，α∈(0, π)，求cos2α，sin2α．4．已知cos α=1312-，α∈(2π,π)，求cos2α，sin2α．5．已知tan α=21，求tan2α．6．证明下列恒等式：(1)2sin (π-α)cos (π+α)=-sin2α； (2)1+2cos 2θ-cos2θ=2； (3)αααsin 2sin 2cos 1=-； (4)ααα2tan 2cos 12cos 1=+-．五、和、差、倍角公式的综合应用1、知识要点（1）两角和与差的三角函数的简单应用应用三角函数的和差角公式和倍角公式，为许多数学问题和实际问题的解决，提供了有力的工具．（2）三角函数式的变形 三角式化简、求值及三角恒等式证明中，主要手段是对三角函数式作各种变形，使之或简单或易于求值或与另一种形式相等．三角函数的和差角公式、倍角公式本身就是一种变形，因此在上述各类问题讨论中有广泛应用．下面将通过一些例子来看一下具体问题中是如何灵活应用的．2、例题分析例1 应用三角函数的和差角公式导出三角函数诱导公式．解 只要取和差角公式中两角之一为诱导公式中的特殊角，就能导出所有的诱导公式．下面挑选几个予以证明，类似可以证明其余．(1)sin(π-α)=sin πcos α-cos πsin α=0⋅cos α-(-1)sin α=sin α； (2)cos(π-α)=cos πcos α+sin πsin α=(-1) cos α+0⋅sin α=-cos α； (3)cos(2π+α)=cos 2πcos α-sin 2πsin α0⋅cos α-1⋅sin α=-sin α．例2 求函数y =sin x +cos x 的最大值和最小值，并判断它是否是周期函数．解 y =sin x +cos x =2(21 sin x +21cos x )=2(sin x cos4π+ cos x sin 4π)=2sin(x +4π). 当x +4π=2π+2k π (k ∈Z )，即x =4π+2k π, (k ∈Z )时，y 达到最大y max =2；当x +4π=-2π+2k π(k ∈Z )，即x =-43π+2k π, (k ∈Z )时，y 达到最小y min =-2 因为sin(x +4π)是以2π为周期的周期函数，所以y =sin x +cos x 是周期是2π的周期函数．例3 如图2三个相同的正方形相接，求证α+β=4π．证明 如图2易知tan α=21, tan β=31，且α,β∈(0,2π)．tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+=312113121⨯-+=1，因为α,β∈(0,2π)，所以α+β∈(0, π)．在区间(0,π)内，正切值为1的角只有1个，即tan4π=1，所以α+β=4π．例4 求cos20°cos40°cos80°的值．解一 由sin2α=2sin αcos α，得cos α=ααsin 22sin ．分别应用于原式中三个因子，得cos20°cos40°cos80°=︒︒20sin 240sin ⋅︒︒40sin 280sin ⋅︒︒80sin 2160sin =︒︒20sin 8160sin =81．解二 将所求式的分子分母同乘以23sin20°，逐次应用S 2α ，原式=︒︒︒︒︒20sin 280cos 40cos 20cos 20sin 233=︒︒︒︒20sin 280cos 40cos 40sin 232=︒︒︒20sin 280cos 80sin 23=︒︒20sin 8160sin =81． 例5 已知2π<β<α<43π，cos(α-β)=1312，sin(α+β)=-53，求sin2α． 分析 2α=(α-β)+(α+β)， sin2α=sin [(α-β)+(α+β)]=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)．解 由2π<β<α<43π，知π<α+β<23π，0<α-β<4π，所以 sin(α-β)=)(cos 12βα--=2)1312(1-=135；cos(α+β)=-)(sin 12βα+-=-2)53(1--=-54， 故 sin2α= sin(α+β)cos(α-β)+ cos(α+β)sin(α-β)=-135)54(131253⨯-+⨯=6556-．例6 不查表，求︒-︒10sec 2310csc 21的值．解 原式=︒-︒10cos 2310sin 21=︒︒︒-︒10cos 10sin 210sin 310cos =︒︒-︒20sin )1030sin(2=︒︒20sin 20sin 2=2． 切割化弦(把正切、余切、正割、余割函数化为正弦或余弦函数表示)，使函数名得到统一，是化简三角式中常用手段；遇到三角式a sin α+b cos α时，常用技巧是a sin α+b cos α=2222b a b a b a ++⋅+ααcos sin ，进而简化为22b a +cos(α+ϕ)或22b a +sin(α+ϕ)．例7 若α, β均为锐角，且cos α=552，cos β=10103，求α+β的值． 分析 求α+β的值，一般可先求(α+β)的三角函数值．解 因为α、β均为锐角，所以图2 αβsin α=α2cos 1-=2)552(1-=55，sin β=β2cos 1-=2)10103(1-=1010，cos(α+β)=cos α cos β- sin α sin β=因为0<α+β<π，所以α+β=4π．例8 在斜∆ABC 中，求证：tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C ．分析 因为A ,B ,C 为三角形内角，有A +B +C =π，A +B =π-C ，考虑选用两角和的正切公式． 证明 因为A ,B ,C 为三角形内角，有A +B +C =π, A +B =π-C ，且A ,B ,A +B 都不等于π，所以 tan(A +B )=tan(π-C )，即BA B A tan tan 1tan tan -+=-tan C ．所以tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C ．3、课内练习 1．不查表，求值(1)cos65°sin70°+sin65°sin20°； (2)︒-︒5.22tan 15.22tan 2； (3)1-22cos 8π； (4)sin40°(tan10°-3)； (5)cos 10°cos20°cos40°．2．已知α+β=4π，求(1+tan α)(1+tan β)的值．3．已知tan(α+β)=52, tan(β-4π)=41，求tan(α+4π)的值．4．若α, β是锐角，且满足cos α=54, cos(α+β)=53，求sin β的值．5．已知sin α=53, α∈(2π,π), tan(π-β)=21，求tan(α-2β)的值．6．已知α, β是锐角，且tan α, tan β是方程6x 2-5x +1=0的两个根，求α+β的值． 7．求证：(1)sin2x (cot2x -tan 2x)=4cos 2x ； (2)2sin(2π+x )cos(2π-x )cos α+(2cos 2x -1)sin α=sin(2x +α)．8.求下列函数的最小值和最大值： (1)y =x x sin cos 2123-； (2)y =2(sin x -cos x )． 9．如图在ΔABC 中，AD ⊥BC 垂足为D ，BD :DC :AD =2:3:6,求∠BAC ． 10．已知等腰三角形的顶角的余弦等于257，求它底角的正弦、余弦和正切．第9题图AB§15.2 知 识 体 系一、三角化简变换：1、同角变换：①1cos sin 22=+αα， ②1cot tan =⋅αα， ③αααcos sin tan =2、负角变换：①ααsin )sin(-=-， ②ααcos )cos(=-， ③ααtan tan(-=-）3、余角变换：①ααπcos )2sin(=±， ②ααπsin )2cos( =±， ③ααπcot )2tan( =±4、平角变换：①ααπsin )sin( =±， ②ααπcos )cos(-=±， ③ααπtan )tan(±=±5、周期变换：①ααπsin )2sin(±=±，②ααπcos )2cos(±=±，③ααπtan )tan(±=± 二、两角和公式1、两角和的正弦： βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+；2、两角和的余弦：βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+；3、两角和的正切：βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+。
两角和差倍角公式的应用
两角和差倍角公式的应用角和、差、倍角公式是高中数学中的重要内容，广泛应用于各类数学问题中。
下面以一些常见的例子来说明这些公式的应用。
例1：已知角A和角B的大小，求得角A和角B的和角为多少度？解：根据角和公式，角A和角B的和角C为C=A+B。
例2：角D是角A和角B的和角，且已知角A=35度，角B=55度，求角D的大小。
解：根据角和公式，角D=A+B=35+55=90度。
例3：已知角A和角B的大小，求得角A和角B的差角为多少度？解：根据角差公式，角A和角B的差角C为C=A-B。
例4：角D是角A和角B的差角，且已知角A=75度，角B=35度，求角D的大小。
解：根据角差公式，角D=A-B=75-35=40度。
例5：已知角A的大小，求得2倍角A的值。
解：根据倍角公式，2倍角A=2A。
例6：已知角D是角A的2倍角，且已知角A=25度，求角D的大小。
解：根据倍角公式，2倍角A=2A=2×25=50度。
综合应用：例7：已知sinx = 1/2，求cos2x的值。
解：根据倍角公式，cos2x = cos^2x - sin^2x。
其中，sinx = 1/2，可以找到对应的特殊角，即角x = 30度。
代入公式，cos2x = cos^2(30°) - sin^2(30°) = (3/2)^2 -(1/2)^2 = 9/4 - 1/4 = 8/4 = 2所以，cos2x的值为2例8：已知tanx = 2，求cot2x的值。
解：根据角和公式，角2x=x+x。
已知tanx = 2，可以推导出sinx/cosx = 2，即sinx = 2cosx。
代入角和公式，cot2x = cot(x + x) = cotx·cotx - 1/2sinx/sinx = 1/2 - 1/2 = 0。
所以，cot2x的值为0。
例9：已知角A和角B的差角为60度，且sinA = 4/5，sinB = 3/5，求cos(2A + B)的值。
两角和与差公式的应用
两角和与差公式的应用1.角的平分问题在三角函数的学习中，我们经常会遇到需要求解平分角的问题。
假设有一个未知角度为θ，我们需要求解它的正弦值sin(θ/2)和余弦值cos(θ/2)。
根据两角和与差公式，可以利用已知角的三角函数值来求解。
首先，我们设一个已知角α（α≠0），令θ=2α。
根据两角和与差公式，可以得到sin(2α) = 2sinαcosαcos(2α) = cos²α - sin²α由此推导出sinα和cosα的表达式：sinα = √[(1 - cos(2α))/2]cosα =√[(1 + cos(2α))/2]通过求解已知角α的三角函数值，我们可以得到未知角θ的平分角（θ/2）的三角函数值。
2.图形的旋转问题在几何学中，我们经常需要对图形进行旋转，而旋转角度往往是未知的。
在这种情况下，可以利用两角和与差公式来计算旋转后的图形的坐标。
以坐标平面上的点P(x,y)为例，如果我们对该点进行逆时针旋转一个角度θ，顺时针旋转一个角度-θ，分别记为P'(x',y')和P''(x'',y'')，则有如下公式：x' = xcosθ - ysinθy' = xsinθ + ycosθx'' = xcos(-θ) - ysin(-θ) = xcosθ + ysinθy'' = xsin(-θ) + ycos(-θ) = -xsinθ + ycosθ通过这种旋转变换，我们可以简化对图形的分析和计算。
3.三角函数的递推关系sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβcos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ通过这些递推公式，可以快速计算出任意两个角度之和的正弦和余弦值，从而简化复杂的计算过程。
总结起来，两角和与差公式是三角函数中的重要工具，广泛应用于数学和物理的各个领域。
和角、差角、倍角公式及应用
两角和与两角差的三角函数【考点指津】掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用化归思想（将不同角化成同角等）解题．知识点总结：1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=．⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=）． ⑶22tan tan 21tan ααα=-．3、()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB =A ．【典型例题】例1 已知sin α－sin β=－ 13 ，cos α－cos β=12，求cos(α－β)的值 ． 分析 由于cos(α－β)=cos αcos β+sin αsin β的右边是关于sin α、cos α、sin β、cos β的二次式，而已知条件是关于sin α、sin β、cos α、cos β的一次式，所以将已知式两边平方．解 ∵sin α－sin β=－13， ① cos α－cos β= 12， ② ①2 ＋②2 ，得2－2cos(α－β)= 1336．∴cos(α－β)= 7259 点评 审题中要善于寻找已知和欲求的差异，设法消除差异．例2 求 2cos10°-sin20° cos20°的值 ． 分析 式中含有两个角，故需先化简．注意到10°=30°－20°，由于30°的三角函数值已知，则可将两个角化成一个角．解 ∵10°=30°－20°，∴原式=2cos(30°-20°)-sin20° cos20°= 2(cos30°cos20°+sin30°sin20°)-sin20° cos20°= 3 cos30° cos20°= 3 ． 点评 化异角为同角，是三角变换中常用的方法．例3 已知：sin(2α+β)=－2sin β．求证：tan α=3tan(α+β)．分析 已知式中含有角2α+β和β，而欲求式中含有角α和α+β，所以要设法将已知式中的角转化成欲求式中的角．解 ∵2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)－α，∴sin ［(α+β)+α］=－2sin ［(α+β)－α］．∴sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=－2sin(α+β)cos α+2cos(α+β)sin α．若cos(α+β)≠0 ，cos α≠0，则3tan(α+β)=tan α．点评 审题中要仔细分析角与角之间的关系，善于运用整体思想解题，此题中将α+β看成一个整体例4 求下列各式的值（1）tan10°＋tan50°+ 3 tan10°tan50°；(2) （ 3 tan12°-3）csc12° 4cos 212°-2． (1)解 原式=tan(10°+50°)（1－tan10°tan50°）+ 3 tan10°tan50°= 3 ．（2）分析 式中含有多个函数名称，故需减少函数名称的个数，进行切割化弦． 解 原式= （ 3 ·sin12°cos12°－3）1 sin12°2 cos24° =︒︒-︒24cos 212sin 312cos 3 =︒︒-︒=︒︒︒︒-︒48sin 21)12cos 2312sin 21(3224cos 12cos 12sin 212cos 312sin 3 =.3448sin )6012sin(34-=︒︒-︒ 点评 （1）要注意公式的变形运用和逆向运用，注意公式tanA+tanB=tan(A+B)（1－tanAtanB ），asinx+bsinx=22b a +sin(x+φ)的运用；（2）在三角变换中，切割化弦是常用的变换方法．【知能集成】审题中，要善于观察已知式和欲求式的差异，注意角之间的关系；整体思想是三角变换中常用的思想．在三角变换中，要注意三角公式的逆用和变形运用，特别要注意如下公式： tanA+tanB=tan(A+B)［1－tanAtanB ］；【课堂演练】1．cos105°的值为 （ ）A ． 6 ＋ 2 4B ． 6 － 2 4C ． 2 － 6 4D ． － 6 － 2 42．对于任何α、β∈（0，π2），sin(α+β)与sin α+sin β的大小关系是 （ ） A ．sin(α+β)＞sin α+sin β B ．sin(α+β)＜sin α+sin βC ．sin(α+β)=sin α+sin βD ．要以α、β的具体值而定3．已知π＜θ＜3π2，sin2θ=a ，则sin θ+cos θ等于 （ ） A ． a+1 B ．－ a+1 C ． a 2+1 D ．±a 2+14．已知tanx=12，则cos2x= ． 5．cos200°cos80°+cos110°cos10°= ． 6．12（cos15°+ 3 sin15°）= ． 7．化简1+2cos 2θ－cos2θ= ．8．cos(20°+x)cos(25°－x)－cos(70°－x)sin(25°－x)= ．9．11－tan θ－ 11＋tan θ= 【训练反馈】1．已知0＜α＜π2＜β＜π，sin α=35，cos(α+β)=－45，则sin β等于 （ ） A ．0 B ．0或2425 C ． 2425 D ．0或－24252． sin7°+cos15°sin8° cos7°－sin15°sin8°的值等于 （ ） A ．2+ 3 B ． 2+ 3 2 C ．2－ 3 D ． 2－ 3 23．cos75°+cos15°的值等于 （ ）A ． 6 2B － 6 2C ． － 2 2D ． 2 2 4．若α是锐角，且sin(α－π6)= 13，则cos α的值是 ． 5．cos π7cos 2π7cos 3π7= ． 6．化简1+sin2θ-cos2θ 1+sin2θ+cos2θ= ．7 已知sin(α+β)=1，求证：sin(2α+β)+sin(2α+3β)=0．8．已知tan θ=12，tan φ=13，且θ、φ都是锐角．求证：θ+φ=45°．9．已知cos(α－β)=－45，cos(α+β)= 45，且（α－β）∈（π2，π），α+β∈（3π2，2π），求cos2α、cos2β的值．10． 已知sin(α+β)= 12，且sin(π+α－β)= 13，求tan αtan β．11．已知锐角α、β、γ满足sin α+sin γ=sin β，cos α－cos γ=cos β，求α－β的值．。
第5课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3 1 4 2 2 8 2－3 ＝－ × ＋ × ＝ . 5 3 5 3 15
工具
第三章
三角函数
栏目导引
1．理解和运用两角和与差的三角函数公式需注意的几个问题 (1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系 ①掌握好公式的内在联系及其推导过程，能帮助我们理解和记忆公 式，是学好这部分内容的关键． ②诱导公式是两角和与差的三角函数公式的特殊情况，α、β 中若有 π 的整数倍角时，使用诱导公式更灵活、简便． 2
(3)角的变换 α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)， 2β＝(α＋β)－(α－β)．
工具
第三章
三角函数
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2．理解和运用二倍角公式需注意的几个问题 (1)掌握二倍角公式与两角和公式之间的内在联系能帮助我们理解 与记忆公式． (2)公式的逆用及有关变形 1－cos 2α 1＋cos 2α 2 sin α＝ ；cos α＝ (降幂公式)； 2 2
工具
第三章
三角函数
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5 又 β 为第一象限角，cos β＝ ， 13 12 12 ∴sin β＝ 1－cos β＝ ，tan β＝ ， 13 5
2
24 12 －7－5 204 ∴tan(2α－β)＝ ＝ . 24 12 253 1＋－ 7 × 5
工具
第三章
三角函数
栏目导引
sin 50° 1＋ 3tan 10° －cos 20° 求值： . cos 80° 1－cos 20°
1 2× 2 2tan α 4 解析： tan 2α＝ ＝ ＝ . 12 3 1－tan2α 1－2
π 4 ∵α∈0，2，2α∈(0，π)，tan 2α＝3＞0， π ， 0 ， ∴2α∈ 2
两角和与差公式应用
两角和与差公式应用一、两角和公式：sin(A+B) = sinA*cosB + cosA*sinBcos(A+B) = cosA*cosB - sinA*sinBtan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA*tanB)二、两角差公式：sin(A-B) = sinA*cosB - cosA*sinBcos(A-B) = cosA*cosB + sinA*sinBtan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA*tanB)首先，我们来看两角和与差公式的应用举例：1. 例题1：已知sinA = 1/3，cosB = 4/5，且A和B都是第一象限的角，求sin(A+B)和cos(A-B)的值。
解：根据两角和公式sin(A+B) = sinA*cosB + cosA*sinB代入已知条件，得sin(A+B)= (1/3)(4/5) + √(1-(1/3)²)√(1-(4/5)²)=4/15+√(1-1/9)√(1-16/25)=4/15+√(8/9)√(9-16)/5=4/15+(2√2/3)(3/5)=4/15+2√2/5所以，sin(A+B) = (4 + 6√2)/15再考虑cos(A-B)：根据两角差公式cos(A-B) = cosA*cosB +sinA*sinB代入已知条件，得cos(A-B) = (4/5)(4/5) + √(1-(1/3)²)√(1-(4/5)²)=16/25+√(1-1/9)√(1-16/25)=16/25+√(8/9)√(9-16)/5=16/25+(2√2/3)(-3/5)=16/25-2√2/5所以，cos(A-B) = (16 - 10√2)/252. 例题2：已知tanA = 3/4，tanB = 1/6，且A和B都是第二象限的角，求tan(A+B)和tan(A-B)的值。
正切的两角和差公式
正切的两角和差公式正切的两角和差公式正切的两角和差公式是三角函数中的重要内容，它们为处理涉及复合角的三角函数问题提供了基础。
本文将详细介绍正切的两角和差公式及其相关应用。
正切的两角和差公式正切的两角和公式为：tan(α+ β) = (tanα+ tanβ) / (1 - tanαtanβ)正切的两角差公式为：tan(α- β) = (tanα- tanβ) / (1 + tanαtanβ)这两个公式是三角函数恒等变换的基础，通过它们可以将复杂的三角函数问题转化为更简单的形式。
在使用这些公式时，需要注意分母不能为零，即1 ±tanαtanβ≠0。
公式的推导与理解推导过程正切的两角和差公式可以通过正弦和余弦的两角和差公式推导出来。
正弦的两角和公式为：sin(α+ β) = sinαcosβ+ cosαsinβ余弦的两角和公式为：cos(α+ β) = cosαcosβ- sinαsinβ将正弦和余弦的两角和公式代入正切的定义式tanθ= sinθ/ cosθ，经过化简，即可得到正切的两角和差公式。
这个推导过程展示了三角函数之间的内在联系，通过正弦和余弦的关系，我们可以理解正切的变化规律。
公式理解正切的两角和差公式反映了两个角的正切值与其和或差的正切值之间的关系。
通过这两个公式，我们可以将一个复杂的复合角的正切值转化为两个简单角的正切值的运算，从而简化问题。
这种转化在数学计算中非常有用，尤其是在需要快速计算或化简表达式时。
公式的应用与变形应用场景正切的两角和差公式在解决涉及复合角的三角函数问题时非常有用。
例如，当需要计算某个复合角的正切值时，可以直接利用这两个公式进行计算。
此外，当α±β为特殊角时，也可以考虑使用这些公式进行化简。
比如在物理学中的波动问题中，常常需要计算两个波的相位差，这时正切的两角和差公式就能派上用场。
公式变形正切的两角和差公式还有一些常用的变形形式，如：tanα±tanβ= tan(α±β)(1 ∓tanαtanβ)这些变形形式在解决某些特定类型的三角函数问题时更加便捷。
数学新高考第3节 两角和(差)公式及其应用
[提醒] (1)必须在定义域内使用上述公式，tan α，tan β，tan(α±β)，tan 2α 只要有一个不存在就不能使用． (2)公式中的α，β都是任意角，也可以是几个角的组合． [思考1] 诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？ 提示：诱导公式可以看成和差公式中 β＝k·π2(k∈Z)时的特殊情形．
a2b＋b2，cos θ＝
a a2＋b2
.
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两角和(差)公式及其应用
《高考特训营》 ·数学 返 回
【例】tan 10°＋tan 50°＋ 3tan 10°tan 50°＝________． 提示：∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝1t－anta1n0°1＋0°ttaann5500°°， ∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°) ＝ 3－ 3tan 10°tan 50°， ∴原式＝ 3－ 3tan 10°tan 50°＋ 3tan 10°tan 50°＝ 3.
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4．[学以致用]应用三角公式解决问题的三个变换角度 (1) 变 角 ： 目 的 是 沟 通 题 设 条 件 与 结 论 中 所 涉 及 的 角 ， 其 手 法 通 常 是 “ 配 凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切 化弦”“升幂与降幂”等． (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待 的目标，其手法通常有：“常值代换”“逆用变用公式”“通分约分”“分 解与组合”“配方与平方”等．
＝ 5 14 3×17－－1114×4
7
3＝
3 2.
sin αcos β＋cos αsin β cos αcos β－sin αsin β
两角和与差的正切公式及应用
两角和与差的正切公式及应用
一、两角和与差的正切公式
首先，我将介绍两角和的正切公式：
tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A * tan B)
其中A和B表示两个角。
这个公式表示了两个角的正切之和与差之间的关系。
接下来，我将介绍两角差的正切公式：
tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A * tan B)
同样，A和B表示两个角。
这个公式表示了两个角的正切之差与和之间的关系。
这两个公式在解决复杂的三角函数问题时非常有用。
二、两角和与差的正切公式的应用
1.确定特定角度的正切值：
通过两角和与差的正切公式，我们可以确定一些特定角度的正切值，从而解决各种问题。
例如，如果我们知道tanA和tanB的值，以及A和B 的关系，我们就可以使用公式来计算tan(A + B)或tan(A - B)的值。
2.化简复杂的三角函数表达式：
3.解决三角方程：
4.几何问题的解决：
5.物理学问题的求解：
总结：
两角和与差的正切公式是三角函数的重要性质之一，它广泛应用于各种三角函数问题的解决中。
通过这个公式，我们可以确定一个特定角度的正切值，化简复杂的三角函数表达式，解决三角方程，解决几何问题，以及求解物理学问题。
所以，掌握两角和与差的正切公式对于解决各种三角函数问题非常重要。
两角和与差的三角函数公式应用
两角和与差的三角函数公式应用首先，我们来介绍两角和的公式：1. 正弦两角和公式：sin(x + y) = sin(x) * cos(y) + cos(x) * sin(y)这个公式可以用来求解两个角的正弦的和。
例如，求解sin(π/6 + π/4)的值。
根据公式，sin(π/6 + π/4) = sin(π/6) * cos(π/4) +cos(π/6) * sin(π/4) = (1/2) * (√2/2) + (√3/2) * (√2/2) = (√2 + √6)/42. 余弦两角和公式：cos(x + y) = cos(x) * cos(y) - sin(x) * sin(y)这个公式可以用来求解两个角的余弦的和。
例如，求解cos(π/3 + π/6)的值。
根据公式，cos(π/3 + π/6) = cos(π/3) * cos(π/6) -sin(π/3) * sin(π/6) = (√3/2) * (√3/2) - (1/2) * (1/2) = 3/43. 正切两角和公式：tan(x + y) = (tan(x) + tan(y)) / (1 - tan(x) * tan(y))这个公式可以用来求解两个角的正切的和。
例如，求解tan(π/4 + π/6)的值。
根据公式，tan(π/4 + π/6) = (tan(π/4) + tan(π/6)) / (1 - tan(π/4) * tan(π/6)) = (1 + (1/√3)) / (1 - 1/√3) = (√3 + 1) / (√3 - 1)接下来，我们来介绍两角差的公式：1. 正弦两角差公式：sin(x - y) = sin(x) * cos(y) - cos(x) * sin(y)这个公式可以用来求解两个角的正弦的差。
例如，求解sin(π/3 - π/6)的值。
根据公式，sin(π/3 - π/6) = sin(π/3) * cos(π/6) -cos(π/3) * sin(π/6) = (√3/2) * (√3/2) - (1/2) * (1/2) = (√3 - 1) / 22. 余弦两角差公式：cos(x - y) = cos(x) * cos(y) + sin(x) * sin(y)这个公式可以用来求解两个角的余弦的差。
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小试牛刀
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小试牛刀硕果累累来自2函数的定义域决定的．
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两角和差公式及其应用
学习目标
1．熟练记忆并掌握两角和差正余弦及正切公式； 2．利用公式的正用，变形进行化简和求值； 3. 灵活运用公式以及凑角方法解决相关的求值求角问题．
开门见山
开门见山
升华领悟
π
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1.适用条件：公式 Tα±β只有在α≠ ＋kπ，β≠ ＋kπ，α
2
2
π
±β≠ ＋kπ(k∈Z)时才成立，否则就不成立，这是由正切