数学分析18.2隐函数定理及其应用之隐函数组

第十八章 隐函数定理及其定理

1隐函数组

一、隐函数组的概念 设方程组⎩⎨

⎧==0

v)u,y,G(x,0

v)u,y,F(x,, 其中F,G 为定义在V ⊂R 4上的四元函数. 若存

在平面区域D,E ⊂R 2,对于D 中每一点(x,y), 有唯一的(u,v)∈E, 使得(x,y,u,v)∈V, 且满足该方程组，则称由该方程组确定了隐函数组：

⎩⎨⎧==y)g(x,v y)f(x,u , (x,y)∈D, (u,v)∈E, 并有⎩⎨

⎧≡≡0

y))g(x,y),f(x,y,G(x,0

y))g(x,y),f(x,y,F(x,, (x,y)∈D.

二、隐函数组定理

分析：设概念中的F,G,u,v 都可微，分别对x,y 求偏导数可得：

⎩⎨

⎧=++=++0v G u G G 0

v F u F F x v x u x x v x u x 和⎩⎨⎧=++=++0v G u G G 0v F u F F y v y u y

y v y u y , 解出u x ,v x ,u y ,v y 的充分条件是

v

u

v u G G F F ≠0，也可记作：

)

v (u,)

G (F,∂∂≠0, 即 函数F,G 关于变量u,v 的函数行列式(或称雅可比行列式)不为0.

定理18.4：(隐函数组定理)若

(1)F(x,y,u,v)与G(x,y,u,v)在以P 0(x 0,y 0,u 0,v 0)为内点区域V ⊂R 4上连续； (2)F(x 0,y 0,u 0,v 0)=0, G(x 0,y 0,u 0,v 0)=0(初始条件)； (3)在V 上F, G 具有一阶连续偏导数； (4)J=

)

v (u,)

G (F,∂∂在点P 0不等于0，则 1、存在点P 0的某一(四维空间)邻域U(P 0)⊂V ，在U(P 0)上方程组

⎩⎨

⎧==0

v)u,y,G(x,0

v)u,y,F(x,惟一地确定了一个定义在点Q 0(x 0,y 0)的某一(二维空间)邻域U(Q 0)的两个二元隐函数u=f(x,y), v=g(x,y) 使得

当(x,y)∈U(Q 0)时，u 0=f(x 0,y 0), v 0=g(x 0,y 0)；(x,y,f(x,y),g(x,y))∈U(P 0), 且 F(x,y,f(x,y),g(x,y))≡0, G(x,y,f(x,y),g(x,y))≡0； 2、f(x,y), g(x,y)在U(Q 0)上连续；

3、f(x,y), g(x,y)在U(Q 0)上有一阶连续偏导数，且

x u ∂∂=-)v (x ,)G (F,J 1∂∂,x v ∂∂=-)

x (u,)G (F,J 1∂∂; y u ∂∂=-)v (y,)G (F,J 1∂∂,y v ∂∂=-)y (u,)G (F,J 1∂∂.

例1：讨论方程组⎩

⎨⎧=++==+=01xy -v -u v)u,y,G(x,0

y -x -v u v)u,y,F(x,222在点P 0(2,1,1,2)近旁能确

定怎样的隐函数组，并任求一组隐函数组的偏导数.

解：F,G 在R 4上连续，F(2,1,1,2)=0, G(2,1,1,2)=0. 求F,G 的所有偏导数 得：F u =2u, F v =2v, F x =-2x, F y =2v, G u =-1, G v =1, G x =-y, G y =-x. ∵在P 0处的所有六个雅可比行列式中，仅

)

v (x ,)

G (F,∂∂=0. ∴只有x,v 难以肯定能否作为以y,u 为自变量的隐函数，

其余任两个变量都可在P 0近旁作为以另两个变量为自变量的隐函数. 对原方程组分别求关于u,v 的偏导数，得

⎩⎨

⎧==0xy -yx -1-0y -2xx -2u u u u u ;⎩

⎨⎧==0yx -xy -10

y -2xx -2v v v v v ，解得 x u =y -x 21x u 22+,y u =-y -x 2yu 2x 22+; x v =y -x 21x v 22+,y v =-y

-x 2yv

2x 22

-.

例2：设函数f(x,y), g(x,y)具有连续偏导数，而u=u(x,y), v=v(x,y)是由方程组u=f(ux,v+y), g(u-x,v 2y)=0确定的隐函数，试求x u ∂∂,y

v

∂∂. 解：记F=f(ux,v+y)-u, G=g(u-x,v 2y), 则有

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛v u

y x

v u y x G G G G F F F F =⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-21

2

21

2

121

2vyg g g v g -f 1xf f uf ; 从而有 J uv =21212vyg g f 1xf -=2xyvf 1g 2-2yvg 2+f 2g 1; J xv =2

1

212vyg g -f uf =2yuvf 1g 2-f 2g 1;

J uy =

2

21

21g v g f 1xf -=xv 2f 1g 2-v 2g 2+f 2g 1.

∴x u ∂∂=-uv

xv

J J =122212112g f +2yvg -g 2x yvf g yuvf 2g f -;y v ∂∂=-uv uy J J =122211221222g f +2yvg -g 2xyvf g -f g f xv -g v .

三、反函数组与坐标变换

设函数组u=u(x,y), v=v(x,y)是定义在xy 平面点集B ⊂R 2上的两个函数, 对每一点P(x,y)∈B, 由方程组u=u(x,y), v=v(x,y)有uv 平面上惟一的一点Q(u,v)∈R 2与之对应，我们称方程组u=u(x,y), v=v(x,y)确定了B 到R 2的一个映射(变换)，记作T. 这时映射T 可写成如下函数形式： T ：B →R 2, P(x,y)↦Q(u,v)，或写成点函数形式Q=T(P), P ∈B, 并 称Q(u,v)为映射T 下P(x,y)的象，而P 则是Q 的原象. 记B 在映射T 下的象集为B ’=T(B).

若T 为一一映射(每一原象只对应一个象，且不同的原象对应不同的象), 则每一点Q ∈B ’, 由方程组u=u(x,y), v=v(x,y)都有惟一一点P ∈B 与之相对应，由此产生新的映射称为T 的逆映射(逆变换), 记作T -1, 有T -1：B ’→B, Q ↦P ,或P=T -1(Q), Q ∈B ’, 即存在定义在B ’上的函数组：