晶格振动量子化

长光学波：
• 我们考虑由正负离子所组成的一维复式格子。 • 当波长比原胞的线度大很多时，相邻的同一种离子的位移 趋于相同。在半个波长范围内，正离子组成的一些布喇菲 原胞同向移动，而负离子组成的布喇菲原胞反向移动。结 果使得电荷不在均匀分布，晶体在宏观上产生极化现象。 所以长光学波又称极化波。
• 格波可以分为横波和纵波，纵波原子位移平行于波的传播 方向；横波原子位移垂直于波的传播方向，而且包括两个 频率简并的波。通常用TA表示横声学波，LA表示纵声学 波，TO表示横光学波，LO表示纵光学波。 • 离子晶体中长光学波的极化对纵波和横波的影响是不同的， 纵波的极化场增大了原子位移的恢复力，从而提高振动频 率；而横波的极化场对频率基本没有影响，所以离子晶体 中
02
长波近似
• 晶格中的声学波中，相邻原子都沿同一方向振动，声学波 代表原胞质心的振动。 • 晶格中的光学波中，原胞中不同的原子相对地做振动，光 学波表示原胞中相邻原子做反相位振动。 • ——波长很长的声学波：长声学波 • ——波长很长的光学波：长光学波
长声学波：
• 当长声学波比在原胞线度大的多时，在半个波长内就已经 包含了许多原胞，这些原胞都整体地沿同一方向运动。而 固体弹性理论中所述的宏观质点运动正是由这些原子整体 运动所构成的。 • 对于一维复式格子中的长声学波就是弹性波，故对长声学 波来说，晶格是连续的介质。
01
简谐近似和简正坐标
声子
由前面章节可以写出原子的位置： 势能在平衡位置展开，只保留ui的二次项称为简谐近似。系 统的总能量为E=T+V，由于势能项中包含有依赖于两原子坐 标的交叉项，给理论表述带来了困难，故引入简正坐标：
这时，系统的势能函数和动能函数具有简单的形式，即化为 平方项之和而无交叉项。
LO TO
03
晶格振动谱
• 晶格振动频率与波数矢量之间的函数关系ω(q),称为格波 的色散关系，也称为晶格振动谱。 • 测量晶格振动谱的最重要的实验方法是中子的非弹性散射， 即利用中子的德布罗意波与格波的相互作用。 p E • 设想有一束动量为p、能量为 2M 的中子流入射到样品 上，由于中子仅仅和原子核之间有强的相互作用，因此它 可以毫无困难地穿过晶体，而以动量p'、能量E'射出。在 中子流穿过晶体时，格波振动可以引起中子的非弹性散射， 这种非弹性散射也可以看作是吸收或发射声子的过程。
2
• •
p '2 p2 散射过程首先满足能量守恒关系： 2M 2M (q) q 表示声子的能量，+号和-号分别表示吸收和发射声子
的过程。散射过程同时满足准动量守恒关系 p' p q Gn q为声子的准动量。 • 其中 Gn n1b1 n2b2 n3b3为倒格子矢量， • 动量守恒是空间均匀性的结果，而上述准动量守恒关系实 际上是晶格周期性（或晶格的平移不变性）的反映。一方 面，由于晶格也具有一定的平移对称性，因而存在与动量 守恒相类似的变化规律；另一方面，由于晶格平移对称性 与完全的平移对称性相比，对称性降低了，因而变换规律 与动量守恒相比，条件变弱了，可以相差 Gn 。
• 经过变换后，在新的坐标系里，系统的原子振动可以被描 述成简谐振子的运动，即用简Leabharlann Baidu坐标来描述独立的简谐振 动。 • 每一个简正坐标，对应一个谐振子方程，波函数是以简正 坐标为宗量的谐振子波函数，其能量本征值是量子化的。 • 从量子力学的观点看，表征原子集体运动的简谐振子的能 量是量子化的，每一个振动模式能量的最小单位 i 被称 为声子。这是晶格振动量子理论最重要的结论。
7.6 晶格振动量子化
目录
01 声子
02
长波近似
03
晶格振动谱
晶格振动是晶体中原子集体地在作振动，其结果表 现为晶格中的格波。一般而言，格波不一定是简谐 的，但可以展开为简谐平面波的线性叠加。当振动 微弱时，即相当于简谐近似的情况，格波直接就是 简谐波。这时，格波之间的相互作用可以忽略，从 而可以认为它们的存在是相互独立的，称为独立模 式。 我们可以用独立简谐振子的振动来表述格波的独立 形式，这就是声子概念的由来。
声子
声子是晶格振动的能量量子。 声子具有能量 i，准动量 k ，它的行为类似于电子或光子，具有粒 子的性质。但声子与光子是有本质区别的，声子只是反映晶体原子集体 运动状态的激发单元，它不能脱离固体而单独存在，并不是真实粒子。 我们将这种具有粒子性质但不是真实物理实体的概念称为准粒子。故， 声子就是一种准粒子。 一种格波即一种振动模式称为声子。 当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以 i 为单元交换能量，若 电子交给晶格 i的能量，称为发射一个声子；若电子从晶格获得 i 的 能量，则称为吸收一个声子。 声子可以产生，也可以湮灭，其作用过程遵从能量守恒和准动量守恒。