利用空间向量证明平行 ppt课件

1 2
( a
b
c ),
Q A B1 A B A A1 a b.
u u ur u u u r EF AB1
1 2
( a
b
c ) (a
b)
1 b 2 a 2 c a c b 2
1 b 2 a 2 0 0 0 . u2 u ur u u u r E F / /A B1, 即 E F A B 1,同 理 E F B 1C . 又 A B 1 B 1C B 1,
u12uu(uuDru1uAur1uuuuruDu1uDur )
1 2
uuuur D A1 ,
MN / / DA1.
Q MN 平面A1BD,
MN P平面A1BD.
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u u u u r 分 析 2:建 立 直 角 坐 标 系 ,证 明 M N
与 平 面 A 1 B D 的 法 向 量 垂 直 . 证 明 :如 上 图,建 立 空 间 直 角 坐 标 系 A xyz.
设 棱 长 为1, 则 可 求 得 A 1 0, 0,1 , B 1, 0, 0 , D 0,1, 0 ,
M (1,1, 1 ), N (1, 1 ,1).
2
2
uuuur MN
Baidu Nhomakorabea
(0,
1
,
1
)
22
设
平面A uuuur
1B
D
的
法向 uuur
量
为
n
x
,
y
,
z
则 n ?A1 D 0 且 n A1 B 0
BB1、D1B1的中点. 求证:EF⊥平面B1AC.
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分析:转化为线线垂直或利用直线的方向向量与平面的法向 量平行.
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证明:方法1:设A1B1的中点为G, 连结EG,FG,A1B. 则FG∥A1D1,EG∥A1B. ∵A1D1⊥平面A1B.∴FG⊥平面A1B. ∴AB1⊂平面A1B,∴FG⊥AB1, ∴A1B⊥AB1,∴EG⊥AB1.∴EF⊥AB1. 同理EF⊥B1C.又AB1∩B1C=B1, ∴EF⊥平面B1AC.
3.2.2 利用空间向量证明平行、 垂直关系
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自 学 导 引 (学生用书P80) 会用空间向量证明线与线、线与面、面与面之间的平行,垂
直关系,掌握用向量解决立体几何问题的方法步骤.
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课 前 热 身 (学生用书P80)
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1.空间中的平行关系主要有____线__线__平_行_、____线_面__平__行_、 __面_面__平__行___,空间中的垂直关系主要有__线__线_垂__直___、 __线__面__垂__直__、___面__面__垂_直__.
个不共线的向量是__共_面__向__量___.
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4.证明面面平行的方法 (1)转化为__线__线__平__行__、___线_面__平__行__处理; (2)证明这两个平面的法向量是_共__线__向_量____. 5.证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量
__互__相__垂__直__. 6.证明线面垂直的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量是__共__线_向__量___; (2)证明直线与平面内的_两__条__不_共__线__向. 量互相垂直
2.利用空间向量证明两条异面直线垂直:在两条异面直线上各 取一个向量a、b,只要证明a⊥b,即a·b=0即可.
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3.证明线面垂直:直线l,平面α,要让l⊥α,只要在l上取一个非零 向量p,在α内取两个不共线的向量a、b,问题转化为证明 p⊥a且p⊥b,也就是a·p=0且b·p=0.
4.证明面面平行、面面垂直,最终都要转化为证明线线平行、 线线垂直.
2.证明两条直线平行,只要证明这两条直线的方向向量是 __共_线__向__量___即可.
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3.证明线面平行的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量______垂__直___. (2)证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量
______共__线__. (3)利用共面向量的定理,即证明直线的方向向量与平面内两
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7.证明面面垂直的方法 (1)转化为__线__线__垂_直___、___线__面__垂_直__; (2)证明两个平面的法向量___互_相__垂__直__.
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名 师 讲 解 (学生用书P80)
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1.利用空间向量证明线与面平行:只要在平面α内找到一条直 线的方向向量为b,已知直线的方向向量为a,问题转化为证 明a=λb即可.
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u u ur u u ur 方 法 2 :设 A B a,A D c,A A1 b,
则
u u ur EF
uuur E B1
u u u ur B 1F
1 2
uuur (B B1
u u u ur B1D 1)
1 u2 u
( u
uuur A A1 r
uu
u u ur BD ur
) uuur
得
y x
z z
0 0
取
x
1, 则
y
1,
z
1
n 1,1,1 .
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M uuuNur n011 0
uuuur
22
MN n,又MN平面A1BD.
MNP平面A1BD.
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变式训练1:ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,侧棱长为3,底面边 长为2,E是棱BC的中点,求证:BD1∥平面C1DE.
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典 例 剖 析 (学生用书P80)
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题型一 证明线面平行 例1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是C1C、B1C1的
中点,求证:MN∥平面A1BD. 分析:分析1,如下图,易知MN∥DA1 因此得方法1.
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证明 :
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uuuur uuuur uuuur 1 uuuur 1 uuuur Q MN C1N C1M 2 C1B1 2 C1C
设 BD1 DE EC1,
即 2, 2, 3 1, 2, 0 1, 0, 3 , 得
2,
2 2,
解得 1, 1.
3 3,
uuuur uuur uuuur BD1与DE, EC1共面,
又 Q BD1 面C1DE, BD1 P面C1DE.
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题型二 证明线面垂直 例2:如下图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是
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证明:以D为坐标原点,以DA,DC,DD1为坐标轴建系如右图, 则B(2,2,0),D1(0,0,3), E(1,2,0),C1(0,2,3),
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uuuur
uuur
uuuur
BuuDuu1r
(2, 2, 3), DE uuur uuuur
(1,
2, 0),
EC1
(1,
0, 3).