高中数学：《基本不等式》复习课件(新必修5)

(a b)2 4ab
2 11
ab a b
2
a2 b2 2
ab
当且仅当a=b时“=”成立 (a, b R )
二、应用：证不等式
1.已知 a 0,b 0,c 0 且 abc 2
求证： (1 a)(1 b)(1 c) 8 2
．
三、应用：求最大（小）值
？ 例１、判断下列推理是否正确： （1）求 y sin 2 x 2 的最小值。 sin 2 x
∵ sin 2 x 0 ，∴ sin 2 x 0 ，
．
y sin 2 x 2 2 sin 2 x
sin 2 x 2 2 sin 2 x
2
∴ y sin 2 x 2 的最小值是 2。2 sin 2 x
例１、判断下列推理是否正确：
（2）若 xy 2 , x 0 , y 0 ，
则 y 2x y x 2 y 2 的最小值为 8。
证: y 2 2xy x2 y2 4 x2 y2 4 2xy =8
∴ y 2x y x 2 y 2 的最小值为 8
问题：是否积或和为定值时， 就一定可以求最值？
练习
等号能否成立
下列函数中，最小值为4的是( C )
(A) y x 4
x (B) y sinx
4
0 x
应用题
某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2 的三级污水处理池（平面图如上图）。如果池四 周围墙建造单价为400元/m，中间两道隔墙建造 单价为248元/m，池底建造单价为80元/m2，水 池所有墙的厚度忽略不计，试设计污水处理池的 长和宽，使总造价最低，并求出最底造价。
分析：设污水处理池的长为 x m,总造价为y元， （1）建立 x 的函数 y ；
=108-(6X+432/X)
∵X>0，∴6X+432/X≥ 2
6
X
432
72
2
X
当且仅当x=6 2 时，S有最大值108-72 2
课堂小结 1.公式的正用、逆用和变形用； 2.公式条件：正、定、等； 3.构造“和定”或“积定”求最值。 4.应用题:弄清题意,建立模型
＋1＝3
1
当且仅当x－1＝ x -1 时取“＝”号。于是x＝2或者x＝0（舍去）
答：最小值是3，取得最小值时x的值为2
练习
构造积为定值
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1.已知x> 5 ,则函数y= 4x-2 1 的最小值是___5___.
4
4x-5
2.已知x< 5 ,则函数y= 4x-2 1 的最大值是____1__.
4
4x-5
由DP2+AD2=AP2 解出 DP=12-72/X,
2.再用均值定理求面积的最值。
B’
解答 D P
C
A
B
解： ∵△ADP≌△CB’P ∴DP=B’P ∴AP=AB’-PB’=x-DP
△ADP中， DP2+(12-x)2=(x-DP)2，
解得 DP=12 - 72/x.
∴S△ADP=1/2·AD·DP=1/2(12-X)(12-72/X)
3.已知lgx+lgy＝1，5 2 的最小值是____2__.
xy
4.已知x,y为正数,且2x+8y＝xy，则x+y 的最小值是___1_8__.
基本不等式复习第2课时
1.已知正数a,b满足ab=a+b+3,求ab 的取值范围.
[9,+∞) 2.在周长为定值的扇形中,圆心角为 α=2弧度时，
扇形面积最大.
答：池长18m，宽100/9 m时， 造价最低为30400元。
B’
DP
C
A
B
如图，设矩形ABCD（AB>BC）的周长为24，
把它沿AC折起来，AB折过去后，交CD于点P，
设AB=x，求△ADP的最大面积，及相应的x的值。
分析：1.先要写出△ADP面积的表达式S=f(x)
AD=12-x, DP=? 由△ADP≌△CB’P 知AP=AB’-PB’=x-DP
sinx
(C) y 4e x e-x
(D)y log3 x log x 30 x 1
例2:
？ “一正二定三等”
练 习 ： ① 求 证 ：当 x 0 时 ， x 16 的 最 小 值 是 8； x
问题 ：当 x 为 何 值 时 ， 取 到 最 小 值 ？
② 求 证 ： 当 x 0．时 ， x 16 的 最 大 值 是 － 8。 x
a
b 2
ab
(a 0, b 0)
学习目标
•会用基本不等式证明一些简单不等式; •会用基本不等式解决简单的最值问题.
(重点)
D
一、基本不等式回顾
ab
A a CbB
D
如果a, b是正数, 那么
a b ab
2
(当且仅当 a＝b 时取“=”号) (均值不等式)
如果a、b R,那么a2 + b2 2ab (当且
仅当a＝b时取“=”号)
公式运用
正用、逆用、变形用：
a b ab 2
ab (a b)2 ；a b 2 ab
2
“正、定、等”： 正：即字母为正数， 定：即和或积为定值， 等：“＝”号成立。
和定积最大, 积定和最小
公式的拓展
a 2 b2 2ab(a,b R)
2(a2 b2 ) (a b)2
（2）求y的最值.
解答
解：设污水处理池的长为 x m, 总造价为y元，则
y=400·(2x+200/x×2)+248·(2×200/x)+80×200
=800x+259200/x+16000.
≥
2
800 x 259200 x
16000
当且仅当800x=259200/x, 即x=18时，取等号。
③ 已 知 0 x 1 ， 求 y x(1 - 2 x) 的 最 大 值 。 2
问题 ：怎 样构造和为定值？
例3:
已知x＞1，求 x＋ 1 的最小值以及取得最小值时x的值。
x -1
解：∵x＞1 ∴x－1＞0
构造积为定值
1
1
∴x＋ x -1 ＝（x－1）＋ (x -1) ＋1
≥2
(x -1) 1 (x -1)