平面向量中最值范围问题

问题7平面向量中最值、范围问题

一、考情分析

平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合． 二、经验分享

1.利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题,即只需将问题转化为向量形式,用向量的运算来求解.如果能够建立适当的直角坐标系,用向量的坐标运算往往更为简捷.1.平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略

2.几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点,作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识,又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题,实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件,结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用①求解(较难)；③建系,借助向量的坐标运算,此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.

3．坐标是向量代数化的媒介,通过向量的坐标表示可将向量问题转化为代数问题来解决,而坐标的获得通常要借助于直角坐标系. 对于某些平面向量问题, 若能建立适当的直角坐标系,可以使图形中复杂的几何关系转化为简单明朗的代数关系,减少推理过程,有效地降低思维量,起到事半功倍的效果．上面两题都是通过建立坐标系将向量问题转化为函数与不等式问题求解,体现了向量解题的工具性. 三、知识拓展 1．.

2．

四、题型分析

(一) 平面向量数量积的范围问题

已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,把数量cos a b θ⋅⋅叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a b ⋅.即

a b ⋅=cos a b θ⋅⋅,规定00a ⋅=,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定

义法求解,即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),

则a·b＝x1x2＋y1y2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算．

【例1】【江苏省苏州市2019届高三上学期期末】如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且BM＋DN＝MN，则的最小值是_______．

【答案】

【分析】

由题意，以点A为原点，建立的平面直角坐标系，设点，其中，则向量

求得，再由，整理得，利用基本不等式，即可求解.

【解析】由题意，以点A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

设点，其中，则向量，

所以

又由，则，

整理得，

又由，

设，整理得，解得，

所以，所以的最小值为.

【点评】与几何图形有关的平面向量的数量积的运算及应用，常通过建立空间直角坐标系，利用向量的数

量积的坐标运算求解

【小试牛刀】【江苏省盐城中学2018届高三上学期期末】已知ABC ∆的周长为6,且,,BC CA AB 成等比数列,则BA BC ⋅的取值范围是______． 【答案】

【解析】因为,,BC CA AB 成等比数列,所以,从而02b <≤,所以

,又

,即,解得,故

.

(二) 平面向量模的取值范围问题 设(,)a x y =,则

,向量的模可以利用坐标表示,也可以借助“形”,向量的模指的是

有向线段的长度,过可结合平面几何知识求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以将向量用基底向量表示再求．

【例2】已知向量,,a b c 满足a 与b 的夹角为

4

π

,

,则c a -的

最大值为 .

【分析】根据已知条件可建立直角坐标系,用坐标表示有关点（向量）,确定变量满足的等式和目标函数的解析式,结合平面几何知识求最值或范围. 【解析】设

；

以OA 所在直线为x,O 为坐标原点建立平面直角坐标系, ∵

a 与

b 的夹角为

4

π

,

则A （4,0）,B （2,2）,设C （x,y ） ∵

,

∴x 2+y 2-6x-2y+9=0,

即（x-3）2+（y-1）2=1表示以（3,1）为圆心,以1为半径的圆,

c a -表示点A,C 的距离即圆上的点与点A （4,0）的距离；

∵圆心到B 的距离为,

∴c a -的最大值为

12+．

【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标,正确找到变量间的关系,以及目标函数代表的几何意义是解题关键．

【小试牛刀】【2018届山东省济南高三上学期期末】已知平面上的两个向量OA 和OB 满足OA a =,

OB b =,且221a b +=, 0OA OB ⋅=,若向量

,且

,则OC 的最大值为__________．

【答案】

3

2

【解析】

因为OA a =, OB b =,且221a b +=, 0OA OB ⋅=,,

,如图,取AB 中点D ,则

,

12

OD =

, ,由

可得

, 1DC ∴=, C ∴在以D 为圆

心, 1为半径的圆上, ∴当O C ，, D 共线时OC 最大, OC ∴的最大值为312OD +=,故答案为32

. (三) 平面向量夹角的取值范围问题

设11(,)a x y =,22(,)b x y =,且,a b 的夹角为θ,则

．

【例3】已知向量→OA 与→

OB 的夹角为θ,

0t 在时取得最