高中数学——空间向量与立体几何练习题(附答案)
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空间向量练习题
1. 如图所示,四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形,∠BCD =60°,E 是CD
的中点,P A ⊥底面ABCD ,P A =2. (Ⅰ)证明:平面PBE ⊥平面P AB ;
(Ⅱ)求平面P AD 和平面PBE 所成二面角(锐角)的大小.
如图所示,以A 为原点,建立空间直角坐标系.则相关各点的 坐标分别是A (0,0,0),B (1,0,0),
33(2C 13(2D P (0,0,2),3E (Ⅰ)证明 因为3
BE =, 平面P AB 的一个法向量是0(0,1,0)n =, 所以0BE n 和共线.从而BE ⊥平面P AB . 又因为BE ⊂平面PBE , 故平面PBE ⊥平面P AB .
(Ⅱ)解 易知3(1,0,2),(0,
02PB BE =-=), 13(0,0,2),(,22
PA AD =-= 设1111(,,)n x y z =是平面PBE 的一个法向量,则由110,
n PB n BE ⎧=⎪⎨=⎪⎩得
111122020,
3
000.2
x y z x y z +⨯-=⎧⎪
⎨⨯+
+⨯=⎪⎩所以11110,2.(2,0,1).y x z n ===故可取 设2222(,,)n x y z =是平面PAD 的一个法向量,则由220,0
n PA n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩得
2222220020,
13
00.22
x y z x y z ⨯+⨯-=⎧⎪
⎨+
+⨯=⎪⎩所以2220,3.z x y ==-故可取2(3,1,0).n =-
于是,121212
2315
cos ,52
n n n n n n <>=
=
=⨯
故平面PAD 和平面PBE 所成二面角(锐角)的大小是15
2. 如图,正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有 棱长都为2,D 为CC 1中点。 (Ⅰ)求证:AB 1⊥面A 1BD ;
(Ⅱ)求二面角A -A 1D -B 的大小; (Ⅲ)求点C 到平面A 1BD 的距离;
(Ⅰ)证明 取BC 中点O ,连结AO . ABC △为正三角形,AO BC ∴⊥.
在正三棱柱111ABC A B C -中,平面ABC ⊥平面11BCC B ,
AD ∴⊥平面11BCC B .
取11B C 中点1O ,以O 为原点,OB ,1OO ,OA 的方向为x y z ,,轴的正方向建立空间
直角坐标系,则(100)B ,,,(110)D -,,,1(023)A ,,,(003)A ,,,1(120)B ,,, 1(123)AB ∴=-,,,(210)BD =-,,,1(123)BA =-,,.
12200AB BD =-++=,111430AB BA =-+-=, 1AB BD ∴⊥,11AB BA ⊥.
1AB ∴⊥平面1A BD .
(Ⅱ)解 设平面1A AD 的法向量为()x y z =,,n .
(113)AD =--,,,1(020)AA =,,.
AD ⊥n ,1AA ⊥n ,
100AD AA ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩,,n n 3020x y z y ⎧-+-=⎪∴⎨=⎪
⎩,,03y x z =⎧⎪∴⎨=-⎪⎩,
.
令1z =得(301)=-,
,n 为平面1A AD 的一个法向量. 由(Ⅰ)知1AB ⊥平面1A BD ,
1AB ∴为平面1A BD 的法向量.
cos 3364222 AB AB AB -->= = =-n n . ∴二面角1A A D B --的大小为6arccos 4 . x z A B C D 1 A 1 C 1 B O F y (Ⅲ)解 由(Ⅱ),1AB 为平面1A BD 法向量, 1(200)(12BC AB =-=,,,,. ∴点C 到平面1A BD 的距离1 1 22BC AB d AB -= = = . 3.如图,在四面体ABCD 中,O 、E 分别是BD 、BC 的中点, 2,CA CB CD BD AB AD ====== (1)求证:AO ⊥平面BCD ; (2)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值; (3)求点E 到平面ACD 的距离. ⑴ 证明 连结OC ,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥ , BO DO BC CD ==,CO BD ⊥. 在AOC ∆中,由已知可得1,AO CO == 而2AC =, 2 2 2 ,AO CO AC ∴+= 90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥ ,BD OC O = ∴AO ⊥平面BCD . (2)解 以O 为原点,如图建立空间直角坐标系, 则(1,0,0),( 1,0,0),B D - 1(0,0,1),((1,0,1),(1,2C A E BA CD =-=- 2 cos ,4 BA CD BA CD BA CD ⋅∴<>= = ⋅ ∴ 异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为 4 . ⑶解 设平面ACD 的法向量为(,,),n x y z =则