三向量的双重向量积
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§1.10 三向量的双重混合积
一、 双重向量积的概念
定义1 给定空间三向量，先作其中两个向量的向 量积，再作所得向量与第三个向量的向量积，那么 最后的结果仍然是一个向量，叫做所给三向量的双 重向量积. 例如， (a b )就是向量a,b ,c的一个双重向量积 .
二、双重向量积的性质
因此向量积不满足结合律.
拉格朗日恒等式对任意4个向量,有 a a a b (a b ) (a b ) b a b b
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例1 试证雅克比(Jacobi)恒等式 (a b ) c (b c ) a (c a ) b 0.
记忆规律
三向量的双重向量积等于中间的向量与其 余两向量的数量积的乘积减去括号中另一个向 量与其余两个向量的数量积的乘积.
需要注意的是，在一般 情况下， (a b ) c a (b c).
பைடு நூலகம்
事实上，a (b c) (b c) a (c b ) a (ac)b (ab )c. 对比定理1 (a b ) c (a c)b (b c)a可知 (a b ) c 和 a (b c） 在一般情况下是两个不同的向量，
例2 证明 (a b ) (a b ) (a b b )a (a b a )b (aa b )b (b a b )a.
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双重向量积的几何关系
(a b ) a (a b ) b (a b ) (a b ) c (a b) c与a和b 共面.
定理1 (a b ) c (a c)b (b c)a.
一、 双重向量积的概念
定义1 给定空间三向量，先作其中两个向量的向 量积，再作所得向量与第三个向量的向量积，那么 最后的结果仍然是一个向量，叫做所给三向量的双 重向量积. 例如， (a b )就是向量a,b ,c的一个双重向量积 .
二、双重向量积的性质
因此向量积不满足结合律.
拉格朗日恒等式对任意4个向量,有 a a a b (a b ) (a b ) b a b b
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例1 试证雅克比(Jacobi)恒等式 (a b ) c (b c ) a (c a ) b 0.
记忆规律
三向量的双重向量积等于中间的向量与其 余两向量的数量积的乘积减去括号中另一个向 量与其余两个向量的数量积的乘积.
需要注意的是，在一般 情况下， (a b ) c a (b c).
பைடு நூலகம்
事实上，a (b c) (b c) a (c b ) a (ac)b (ab )c. 对比定理1 (a b ) c (a c)b (b c)a可知 (a b ) c 和 a (b c） 在一般情况下是两个不同的向量，
例2 证明 (a b ) (a b ) (a b b )a (a b a )b (aa b )b (b a b )a.
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双重向量积的几何关系
(a b ) a (a b ) b (a b ) (a b ) c (a b) c与a和b 共面.
定理1 (a b ) c (a c)b (b c)a.