向量组的线性表示与线性相关性
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向量组B由向量组A线性表示问题变成了矩阵方程组AX B 的解的判定与求解问题.其中: X ( X1, X2 , , X s )的列向量分别 为B组s个向量用A组m个向量线性表示的系数.
向 量 组B由 向 量 组A线 性 表 示
AX
B是 否 有 解
R( A) R( A)
(2)两个推论。由以上定理，不难推出以下结论
向量组等价结论：向量组A : a1 ,a2 , ,am与B : b1,b2 , ,bl 等价的充分必要条件是： R( A) R(B) R( A, B)
分析：由定理2和向量组等价定义易推出结论成立
不等式推论: 若向量B : b1,b2, ,bs能由向量组A : a1,a2, ,am 线性表示,则: R( A) R(a1,a2, ,am ) R(B) R(b1,b2, ,bs )
AX B有解 解X为 表 示 系 数 BX A有解 解X为 表 示 系 数
R( A) R(B)
R( A, B) R( A, B)
R(B) R( A)
R( A) R(B)
例2：设向量组
1
1
1
a1
1
,
2
a2
2
分析：由定理2知：R( A) R( A，B),由秩的不等式知 R( A, B) R(B),故R( A) R(B)
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
14
第八讲：向量组的线性表示与线性相关性
（4）线性表示秩的解法的概括： A、B等价
A线 性 表 示B B线 性 表 示A
第八讲：向量组的线性表示与线性相关性
班级：
星期 ： 节
年月 日
教学目的 重点
掌握向量的概念，掌握向量组线性表示向量 （组）的判定方法，会用初等变换求解向量 的线性表达式。掌握线性相关性的概念和基 本判定方法。
向量组的线性表示、相关性及判定方法
作业
练习册
难点 向量组线性表示方法
讲授方法 讲授
讲授内容 主线
x 1
a ,a , 12
,a
m
x 2
xm
b
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
10
第八讲：向量组的线性表示与线性相关性
即线性表示问题恒变形为方程组：AX B的解的问题， 其中解X ( x1, x2 , xm )T 为线性表示系数
定理告诉我们，
（1）可以用秩Ra1 , a2 , , am R(a1 , a2 , , am , b)来判断b能否由
,
1
a3
1
,
4
1
b
0
,
3
2
3
0
1
证明: b能 由向量组 a1 , a2 , a3 线性表示,并求出表达式.
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
15
第八讲：向量组的线性表示与线性相关性
证：
1 1 1 1
1 0 3 2
这是s个同系数A的方程组AX1 b1, AX2 b2 , , AXs bs , 写成矩阵形式,即: ( AX1, AX2 , , AXs ) (b1,b2 , ,bs ), 令X ( X1, X2 , , X s ), B (b1,b2 , ,bs ),则上式成 矩阵方程组: AX B
n rn
有唯一解； 有无穷多解。
注意：n为X的变量个数
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
3
第八讲：向量组的线性表示与线性相关性
一、向量组及其相关概念
1.向量:(1)向量的定义
n个有次序的数a ,a , ,a 所组成的数组称为n维向量;
12
n
n个数称为向量的分量,因此a 是第i个分量 i (2)向量与矩阵
向量定义-分类—线性组合—线性表示及秩的 判断定理和推论—练习—向量组线性表示及 等价和秩的判断方法—向量组线性相关定义 －判定方法
时间安排 向量向量组的线性表示通过解析成矩阵方程
组,可用秩的判定方法来判定和求解线性表示
系数。线性相关性则是通过等价定义的齐次
方程组来判定.
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
1
,
2
,
3
,
线
4
性
相
关
。
二、用方程组判断和求解向量组的线性表示的系数
即：R( A) R(B);或Ra ,a , ,a R(a ,a , ,a ,b)
12
m
12
m
证：向量 b能由向量组 A 线性表示，也就是方程组有解
x1 a1 x2a2 xm am b
将方程组变形为：
1
友情提示
本次课讲第四章第一二节：向量组的线性表示 与线性相关性；
下一次课讲第四章第二节（续）与第三节：相 关性与向量组的秩；
下次上课时交作业P25－P26
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
2
第八讲：向量组的线性表示与线性相关性
复习方程组秩的解法： 将AX b的结论推广到多个同系数方程组 A( X1, X 2 , , X m ) (b1, b2 , , bm )即 ：AX B
n 维向量可写成一行—行向量；也称行矩阵；也可写
成一列—列向量，也称列矩阵
因此规定：行向量和列向量都按矩阵的规则进行运算
a 1
,
并且n维行向量(a ,a ,
1
2
a n
)与n维
列向量
a2 总被看成是不同的向量
（3）向量的记法：
a n
1）列向量用用字母 a、b、、 表示；行向量用 aT、bT、
给定向量组 A ：a1, a2 , , am 和向量 b ， 如果存在一组数 1, 2 , , m , 使
b 1a1 2a2 m am ,
则向量b 是向量组 A 的线性组合， 这时称向量 b能由向量组 A 线性表示。 线性表示的关键是线性表示系数的存在与求解
线性代数 第四章 向量组的Fra Baidu bibliotek性相关性
T、 T表示.
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
4
第八讲：向量组的线性表示与线性相关性
（2）所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时， 都当作列向量
（3）经常地，为书写方便，也将列向量写成行向量的转置的形式
如：
1
＝ 02＝1 0 2 1T
1
2.向量组的概念 （1）向量组的定义：若干个同维数的列向量（或同维数
一个n×m矩阵 A a1, a2 ,L , am ;
由
m
个
n
维行向量所组成的向量组
T 1
,
T 2
,
,
T m
构成一个
m×n矩阵
T 1
B
2T .
T m
因此，矩阵与它所对应的行（列）向量组有一一对应的关
系，向量组称矩阵的向量组，矩阵称向量组的矩阵
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
a1 , a2 , , am来线性表示。 （2）可以用方程组AX b来求线性表示系数。
有唯一解，则表示式唯一，有无穷解，则表示式无穷多。
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
11
第八讲：向量组的线性表示与线性相关性
2.用方程组判定与求解向量组间的线性表示系数.
（1）秩的等式定理2:
向量组 B :b1 ,b2 ,L ,bl 能由向量组 A : a1 ,a2 ,L ,am 线性
存在x1 j , x2 j , , xmj , 使得 :
x1 j
bj
x1 ja1
x2 ja2
xmj am (a1 , a2 , , am )
j 1,2, , s ,
xxm2 jj ,
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
12
第八讲：向量组的线性表示与线性相关性
RA n 有唯一零解；
Amn X
0RA
n
有非零解。
R A RA, B 无解；
Am
n
X
B
RA
RA,
B
有解
RA RA
R( A, B) R( A, B)
6
第八讲：向量组的线性表示与线性相关性
3.线性组合的概念：
定义2 给定向量组 A ：a1, a2 , , am ，对于任何一组实数
k ,k , 12
,k , m
向量
ka 11
ka 22
k a mm
称为向量组 A 的一个线性组合，
k ,k , 12
,k 称为这个 m
线性组合的系数.
4.线性表示的概念：
的行向量）所组成的集合：
如矩阵：
a11 a12
A a21 a22
am1
am2
a1n
a2n
amn
a 1
j
有 n 个 m 维列向量
a j
a 2
j
,
j 1,2, , n
a mj
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
R( A, R( A,
B ), 无 解 B), 有解
有解时,用初等行变换解出X ( X1, X2 , , X s ), 解 的 列 向 量 即 线 性 表 示系 数
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
13
第八讲：向量组的线性表示与线性相关性
特别提示：定理所涉及的向量组均是列向量组，方程组的 解也是列向量表示，“行变换、列向量”一定要记牢
7
第八讲：向量组的线性表示与线性相关性
例如：
1 1 0
2 1 0 2 1,
0
0
0
1
1 0
即向量 2 能由向量组0,1 线性表示.
0
0
0
证
明向量
组1，
2，
3，
线性
4
相
关。
证明：由
定 义， 1－ 2＋ 3
＝
4
（1＋2）（2＋3）（3＋4）（4＋1） 0
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
9
第八讲：向量组的线性表示与线性相关性
存在1,1,1,1, 使得1－2 3 4 0
5.向量组由向量组线性表示概念
定义3设有两个向量组 A：a1, a2 , , am及 B：b1,b2 ,L , bl ，
若 B 组中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，
则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示。
6.向量组的等价：向量组 A 与向量组 B 能相互线性表示， 则称这两个向量组等价。
这是第二次遇到等价概念：一个是矩阵间互相初等 变换的等价；这里是向量组间间互相线性表示的等价
5
第八讲：向量组的线性表示与线性相关性
（2）矩阵与向量组：
矩阵A组成的向量组a1, a2 , , an 称为矩阵 A 的列向量组；
同理，组成矩阵A的行向量组 T , T , , T 称为矩阵A的行向量组
1
2
m
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.
由 m 个 n 维列向量所组成的向量组 a1, a2 , , am 构成
“否则” 只有当 k k k 0 时， 式才成立。
1
2
m
或若向量组 A ：a1, a2 , , am ，线性无关， 且 式成立，
则必有k k k 0.
1
2
m
例1(P31T3 )：设1 1 2 , 1 1 2 , 1 1 2 , 1 1 2 ,
表示的充分必要条件是矩阵 A a1, a2 , , am 的秩等于矩阵
的秩.
即:
R( A) = R( A, B)
设向量组 A 与向量组 B 所构成的矩阵依次记作
A a1,a2 , ,am 和B b1 ,b2 , ,bs
B 组能由 A 组线性表示，即对每个向量 b j j 1,2, , s,
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
8
第八讲：向量组的线性表示与线性相关性
7.向量组的线性相关概念
(1)定义 给定向量组 A ：a1,a2 , ,am ，如果存在不全为零的数
k1 , k2 , , km ,
使 k1 a1 k2 a2 km am 0
则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关
B
1
2
1
0
2 1 4 3
2
3
0
1
～
0
0
0
1 0 0
2 0 0
1
0
0
因 R(A)=R(B)=2, 所以 b能 由向量组 a1 , a2 , a3 线性表示.
解
方
程
组
： xx1 223xx33
向 量 组B由 向 量 组A线 性 表 示
AX
B是 否 有 解
R( A) R( A)
(2)两个推论。由以上定理，不难推出以下结论
向量组等价结论：向量组A : a1 ,a2 , ,am与B : b1,b2 , ,bl 等价的充分必要条件是： R( A) R(B) R( A, B)
分析：由定理2和向量组等价定义易推出结论成立
不等式推论: 若向量B : b1,b2, ,bs能由向量组A : a1,a2, ,am 线性表示,则: R( A) R(a1,a2, ,am ) R(B) R(b1,b2, ,bs )
AX B有解 解X为 表 示 系 数 BX A有解 解X为 表 示 系 数
R( A) R(B)
R( A, B) R( A, B)
R(B) R( A)
R( A) R(B)
例2：设向量组
1
1
1
a1
1
,
2
a2
2
分析：由定理2知：R( A) R( A，B),由秩的不等式知 R( A, B) R(B),故R( A) R(B)
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
14
第八讲：向量组的线性表示与线性相关性
（4）线性表示秩的解法的概括： A、B等价
A线 性 表 示B B线 性 表 示A
第八讲：向量组的线性表示与线性相关性
班级：
星期 ： 节
年月 日
教学目的 重点
掌握向量的概念，掌握向量组线性表示向量 （组）的判定方法，会用初等变换求解向量 的线性表达式。掌握线性相关性的概念和基 本判定方法。
向量组的线性表示、相关性及判定方法
作业
练习册
难点 向量组线性表示方法
讲授方法 讲授
讲授内容 主线
x 1
a ,a , 12
,a
m
x 2
xm
b
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
10
第八讲：向量组的线性表示与线性相关性
即线性表示问题恒变形为方程组：AX B的解的问题， 其中解X ( x1, x2 , xm )T 为线性表示系数
定理告诉我们，
（1）可以用秩Ra1 , a2 , , am R(a1 , a2 , , am , b)来判断b能否由
,
1
a3
1
,
4
1
b
0
,
3
2
3
0
1
证明: b能 由向量组 a1 , a2 , a3 线性表示,并求出表达式.
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
15
第八讲：向量组的线性表示与线性相关性
证：
1 1 1 1
1 0 3 2
这是s个同系数A的方程组AX1 b1, AX2 b2 , , AXs bs , 写成矩阵形式,即: ( AX1, AX2 , , AXs ) (b1,b2 , ,bs ), 令X ( X1, X2 , , X s ), B (b1,b2 , ,bs ),则上式成 矩阵方程组: AX B
n rn
有唯一解； 有无穷多解。
注意：n为X的变量个数
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
3
第八讲：向量组的线性表示与线性相关性
一、向量组及其相关概念
1.向量:(1)向量的定义
n个有次序的数a ,a , ,a 所组成的数组称为n维向量;
12
n
n个数称为向量的分量,因此a 是第i个分量 i (2)向量与矩阵
向量定义-分类—线性组合—线性表示及秩的 判断定理和推论—练习—向量组线性表示及 等价和秩的判断方法—向量组线性相关定义 －判定方法
时间安排 向量向量组的线性表示通过解析成矩阵方程
组,可用秩的判定方法来判定和求解线性表示
系数。线性相关性则是通过等价定义的齐次
方程组来判定.
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
1
,
2
,
3
,
线
4
性
相
关
。
二、用方程组判断和求解向量组的线性表示的系数
即：R( A) R(B);或Ra ,a , ,a R(a ,a , ,a ,b)
12
m
12
m
证：向量 b能由向量组 A 线性表示，也就是方程组有解
x1 a1 x2a2 xm am b
将方程组变形为：
1
友情提示
本次课讲第四章第一二节：向量组的线性表示 与线性相关性；
下一次课讲第四章第二节（续）与第三节：相 关性与向量组的秩；
下次上课时交作业P25－P26
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
2
第八讲：向量组的线性表示与线性相关性
复习方程组秩的解法： 将AX b的结论推广到多个同系数方程组 A( X1, X 2 , , X m ) (b1, b2 , , bm )即 ：AX B
n 维向量可写成一行—行向量；也称行矩阵；也可写
成一列—列向量，也称列矩阵
因此规定：行向量和列向量都按矩阵的规则进行运算
a 1
,
并且n维行向量(a ,a ,
1
2
a n
)与n维
列向量
a2 总被看成是不同的向量
（3）向量的记法：
a n
1）列向量用用字母 a、b、、 表示；行向量用 aT、bT、
给定向量组 A ：a1, a2 , , am 和向量 b ， 如果存在一组数 1, 2 , , m , 使
b 1a1 2a2 m am ,
则向量b 是向量组 A 的线性组合， 这时称向量 b能由向量组 A 线性表示。 线性表示的关键是线性表示系数的存在与求解
线性代数 第四章 向量组的Fra Baidu bibliotek性相关性
T、 T表示.
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
4
第八讲：向量组的线性表示与线性相关性
（2）所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时， 都当作列向量
（3）经常地，为书写方便，也将列向量写成行向量的转置的形式
如：
1
＝ 02＝1 0 2 1T
1
2.向量组的概念 （1）向量组的定义：若干个同维数的列向量（或同维数
一个n×m矩阵 A a1, a2 ,L , am ;
由
m
个
n
维行向量所组成的向量组
T 1
,
T 2
,
,
T m
构成一个
m×n矩阵
T 1
B
2T .
T m
因此，矩阵与它所对应的行（列）向量组有一一对应的关
系，向量组称矩阵的向量组，矩阵称向量组的矩阵
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
a1 , a2 , , am来线性表示。 （2）可以用方程组AX b来求线性表示系数。
有唯一解，则表示式唯一，有无穷解，则表示式无穷多。
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
11
第八讲：向量组的线性表示与线性相关性
2.用方程组判定与求解向量组间的线性表示系数.
（1）秩的等式定理2:
向量组 B :b1 ,b2 ,L ,bl 能由向量组 A : a1 ,a2 ,L ,am 线性
存在x1 j , x2 j , , xmj , 使得 :
x1 j
bj
x1 ja1
x2 ja2
xmj am (a1 , a2 , , am )
j 1,2, , s ,
xxm2 jj ,
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
12
第八讲：向量组的线性表示与线性相关性
RA n 有唯一零解；
Amn X
0RA
n
有非零解。
R A RA, B 无解；
Am
n
X
B
RA
RA,
B
有解
RA RA
R( A, B) R( A, B)
6
第八讲：向量组的线性表示与线性相关性
3.线性组合的概念：
定义2 给定向量组 A ：a1, a2 , , am ，对于任何一组实数
k ,k , 12
,k , m
向量
ka 11
ka 22
k a mm
称为向量组 A 的一个线性组合，
k ,k , 12
,k 称为这个 m
线性组合的系数.
4.线性表示的概念：
的行向量）所组成的集合：
如矩阵：
a11 a12
A a21 a22
am1
am2
a1n
a2n
amn
a 1
j
有 n 个 m 维列向量
a j
a 2
j
,
j 1,2, , n
a mj
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
R( A, R( A,
B ), 无 解 B), 有解
有解时,用初等行变换解出X ( X1, X2 , , X s ), 解 的 列 向 量 即 线 性 表 示系 数
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
13
第八讲：向量组的线性表示与线性相关性
特别提示：定理所涉及的向量组均是列向量组，方程组的 解也是列向量表示，“行变换、列向量”一定要记牢
7
第八讲：向量组的线性表示与线性相关性
例如：
1 1 0
2 1 0 2 1,
0
0
0
1
1 0
即向量 2 能由向量组0,1 线性表示.
0
0
0
证
明向量
组1，
2，
3，
线性
4
相
关。
证明：由
定 义， 1－ 2＋ 3
＝
4
（1＋2）（2＋3）（3＋4）（4＋1） 0
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
9
第八讲：向量组的线性表示与线性相关性
存在1,1,1,1, 使得1－2 3 4 0
5.向量组由向量组线性表示概念
定义3设有两个向量组 A：a1, a2 , , am及 B：b1,b2 ,L , bl ，
若 B 组中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，
则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示。
6.向量组的等价：向量组 A 与向量组 B 能相互线性表示， 则称这两个向量组等价。
这是第二次遇到等价概念：一个是矩阵间互相初等 变换的等价；这里是向量组间间互相线性表示的等价
5
第八讲：向量组的线性表示与线性相关性
（2）矩阵与向量组：
矩阵A组成的向量组a1, a2 , , an 称为矩阵 A 的列向量组；
同理，组成矩阵A的行向量组 T , T , , T 称为矩阵A的行向量组
1
2
m
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.
由 m 个 n 维列向量所组成的向量组 a1, a2 , , am 构成
“否则” 只有当 k k k 0 时， 式才成立。
1
2
m
或若向量组 A ：a1, a2 , , am ，线性无关， 且 式成立，
则必有k k k 0.
1
2
m
例1(P31T3 )：设1 1 2 , 1 1 2 , 1 1 2 , 1 1 2 ,
表示的充分必要条件是矩阵 A a1, a2 , , am 的秩等于矩阵
的秩.
即:
R( A) = R( A, B)
设向量组 A 与向量组 B 所构成的矩阵依次记作
A a1,a2 , ,am 和B b1 ,b2 , ,bs
B 组能由 A 组线性表示，即对每个向量 b j j 1,2, , s,
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
8
第八讲：向量组的线性表示与线性相关性
7.向量组的线性相关概念
(1)定义 给定向量组 A ：a1,a2 , ,am ，如果存在不全为零的数
k1 , k2 , , km ,
使 k1 a1 k2 a2 km am 0
则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关
B
1
2
1
0
2 1 4 3
2
3
0
1
～
0
0
0
1 0 0
2 0 0
1
0
0
因 R(A)=R(B)=2, 所以 b能 由向量组 a1 , a2 , a3 线性表示.
解
方
程
组
： xx1 223xx33