第八章平面电磁波-资料

由上式又可得
k 2π
因空间相位变化 2 相当于一个全波，k 的大小又可衡量单位长度 内具有的全波数目，所以 k 又称为波数。
根据相位不变点的轨迹变化可以计算电磁波的相位变化速度，这
种相位速度以 vp 表示。令 tkz常数，得 dtkdz0，则相位速
度 vp 为
vp
dz dt
k
相位速度又简称为相速。
2 2
Ex Ey
(r) (r)
k k
2Ex (r) 2Ey (r)
0 0
2Ez (r) k2Ez (r) 0
2 2
Hx Hy
(r) (r)
k2Hx (r) k2Hy (r)
0 0
2Hz (r) k2Hz (r) 0
这些方程称为齐次标量亥姆霍兹方程。
由于各个分量方程结构相同，它们的解具有同一形式。
在直角坐标系中，若时变电磁场的场量仅与一个坐标变量有关， 则该时变电磁场的场量不可能具有该坐标分量。
例如，若场量仅与 z 变量有关，则可证明 Ez Hz 0，因为若场 量与变量 x 及 y 无关，则
E
Ex x
Ey y
Ez z
Ez z
H
Hx x
Hy y
Hz z
Hz z
因在给定的区域中， E0, ，H 由 上0两式得
考虑到 k ，得
vp
k
11
00
1 c c
rr rr
在理想介质中，均匀平面波的相速与媒质特性有关。
考虑到一切媒质相对介电常数 r 1，又通常相对磁导率 r 1， 因此，理想介质中均匀平面波的相速通常小于真空中的光速。
注意，电磁波的相速有时可以超过光速。因此，相速不一定代表 能量传播速度。
由上述关系可得 在真空中，
2E(r,t)2Et(2r,t) 0 2H(r,t)2Ht(2r,t) 0
此式称为齐次波动方程。 对于研究平面波的传播特性，仅需求解齐次波动方程。
若所讨论的时变场为正弦电磁场，则上式变为
2E(r)k2E(r)0 2H(r)k2H(r)0 此式称为齐次矢量亥姆霍兹方程，式中 k 在直角坐标系中，可以证明，电场强度 E 及磁场强度 H 的各个分 量分别满足下列方程：
首先仅考虑向正 z 轴方向传播的波，即 Ex(z)Ex0ejk z
式中Ex0 为 z = 0 处电场强度的有效值。
Ex(z) 对应的瞬时值为
Ez(z, t)
O
2
t1 = 0
t2
T 4
t3
T 2
E x(z,t)2E x0si nt (k)z
电场强度随着时间 t 及空间 z 的 变化波形如图示。
3 z 2
由关系式
Hy
j可得Ex z
式中
Hy Ex0ejkzHy0ejkz
H y0 Ex0
可见，在理想介质中，均匀平面波的电场与磁场相位相同，且两者 空间相位均与变量 z 有关，但振幅不会改变。
Ex
左图表示 t = 0 时刻，电场及磁场随 z 空间的变化情况。
Hy
电场强度与磁场强度之比称为电磁波的波阻抗，以 Z 表示，即
时间相位变化 2 所经历的时间称为电磁波的周期，以 T 表示，而
一秒内相位变化 2 的次数称为频率，以 f 表示。那么由 T2π的关系
式，得
T 2π 1
f
空间相位 kz 变化 2 所经过的距离称为波长，以 表示。那么由关 系式 k2π，得
2π k
由上可见，电磁波的频率是描述相位随时间的变化特性，而波长描述相 位随空间的变化特性。
Ez Hz 0 z z
考虑到
2Ez 2 x E 2z 2 y E 2z 2zE 2z 2zE 2z 0 2H z 2x H 2z 2y H 2z 2z H 2z 2z H 2z0
代入标量亥姆霍兹方程，即知 z 坐标分量 Ez H。z 0
2. 理想介质中的平面波 已知正弦电磁场在无外源的理想介质中应满足下列齐次矢量亥
因
E xex E x xey E y xez E zxez E zx
得
Hey
j
Ex
z
eyHy
Hy
j
Ex z
已知电场强度分量 Ex 满足齐次标量亥姆霍兹方程，考虑到
Ex x
Ex y
0
得
d2Ex dz2
k2Ex
0
这是一个二阶常微分方程，其通解为
ExEx0ejk zEx 0ejk z 上式第一项代表向正 z 轴方向传播的波，第二项反之。
上式称为非齐次波动方程。
式中
J (r ,t) J (r ,t)E (r ,t),
其中J(r,是t)外源。电荷体密度 (r, t)与传导电流 (E ) 的关系为 (E)
t
若所讨论的区域中没有外源，即 J ' = 0 ，且媒质为理想介质，
即 = 0，此时传导电流为零，自然也不存在体分布的时变电荷，即 = 0，则上述波动方程变为
第八章 平面电磁波
主要内容 理想介质中的平面波，平面波极化特性，平面边界 上的正投射，任意方向传播的平面波的表示，平面边界 上的斜投射，各向异性媒质中的平面波。
1. 波动方程 在无限大的各向同性的均匀线性媒质中，时变电磁场Hale Waihona Puke Baidu方程为
2E(r,t)2E t(2r,t)J(rt,t)1(r,t) 2H(r,t)2H t(2r,t)J(r,t)
vp f
(m )f(M)H 3z00
平面波的频率是由波源决定的，但是平面波的相速与媒质特性有关。 因此，平面波的波长与媒质特性有关。
由上述关系还可求得
式中
vp
1
0
f f 00 rr rr
0 f
1
0 0
0 是频率为 f 的平面波在真空中传播时的波长。
由上式可见， 0 ，即平面波在媒质的波长小于真空中波长。这 种现象称为波长缩短效应，或简称为缩波效应。
姆霍兹方程
2E(r)k2E(r)0 2H(r)k2H(r)0
若电场强度E 仅与坐标变量 z 有关，与 x , y 无关，则电场强度不可 能存在 z 分量。
令电场强度方向为 x方向，即 EexEx，则磁场强度 H 为
Hj Ej (exEx)
j[ (E x) ex E x ex]j( E x) ex
可见，电磁波向正 z 方向传播。
上式中 t 称为时间相位。kz 称
为空间相位。空间相位相等的点组成 的曲面称为波面。
由上式可见， z = 常数的平面为 波面。因此，这种电磁波称为平面波。
因 Ex(z) 与 x, y 无关，在 z = 常 数的波面上，各点场强振幅相等。因 此，这种平面波又称为均匀平面波。
Z Ex Hy
可见，平面波在理想介质中传播时，其波阻抗为实数。