几种参数方程确定的函数的导数

(t
)
(t) (t 3(t)
)
(t
)
.
例
求摆线
x y
a(t a(1
sin t) cos t)
在t
2
处的切线方程。
dy
解：dy dx
y f ( x) 形式称为显函数.
F(x, y) 0
y f (x)
隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例求1 由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
y的导数 dy , dy dx dx
. x0 e y , y为中间变量，
x sin x (cos x ln x sin x ) x
也可直接根据复合函数求导法求导：
y ( xsin x ) (esin x ln x ) e sin x ln x (sin x ln x)
xsin x [cos x ln x sin x 1 ] x
一般地
f ( x) u( x)v( x) (u( x) 0)
解 方程两边对x求导得
4x3 y xy 4 y3 y 0
(1)
代入 x 0, y 1得
y
x0 y1
1; 4
将方程(1)两边再对x求导得
12x2 2 y xy 12 y2( y)2 4 y3 y 0
代入 x 0,
y 1,
y
x0 y1
1 4
得
y
x0 y1
1. 16
求例椭3 圆 x2 y2 1在点(2, 3
y
( x 1)3 x ( x 4)2 e x
1[
x
1
1
Fra Baidu bibliotek
1 3( x
1)
x
2
4
1]
例设5 y xsinx ( x 0), 求y.
解
等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 y cos x ln x sin x 1
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
16 9
2
解 (法一) y 3 1 x2
16
3)处的切线方程 .
（法二）将方程 两边对x求导得
x 2 yy 0 89
y(2) 3 4
方程为 y 3 3 3 (x 2).
2
4
例4：设曲线C的方程为x3 y3 3xy，求过C上点
(3 , 3)的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 22
ln f ( x) v( x) ln u( x)
又 d ln f ( x) 1 d f ( x)
dx
f ( x) dx
f ( x) u( x)v( x)[v( x) ln u( x) v( x)u( x)] u( x)
适用范围:
多个函数相乘和幂指函数u( x)v( x)的情形.
练设 习 y xx (x 0), 求y.
dt
dt
若函数
x y
(t (t
)二阶可导, )
t 1( x)是中间变量.
d 2 y d dy
dx 2
() dx dx
d
dy dx
dt
dt dx
d ((t)) dt dt (t) dx
d
(
(t ))
dt
(t)
dx
dt
(t)(t) (t)(t) 1
2(t)
(t )
即
d2y dx 2
设函数x (t)具有单调连续的反函数 t (1 x),
y [ 1( x)]
t 1( x)是中间变量.
再设函数 x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
即
dy dx
dt dx
解 方程两边对x求导,
y y( x), (e y ) e y y
y x dy e x e y dy 0
dx
dx
解得dy dx
ex y xey
,
由原方程知 x 0, y 0,
dy dx
x0
ex y xey
x0 y0
1.
例设2 x4 xy y4 1, 求y在点(0,1)处的值 .
三、参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
x y
(t (t
)确定 )
y与x间的函数关系
,
称此为由参数方程所确定的函数.
例如
x y
2t t2
, ,
t x 2
消去参数 t
y t2 ( x)2 x2 24
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
在方程
x y
(t )中, (t)
第二章 第四节 几类特殊形式函数的导数
本节主要内容
一、隐函数的求导法； 二、对数求导法；
三、参数方程所确定的
函数的导数；
四、相关变化率。
一、 隐函数的求导法
x 2 y 1 0 y x 2 1;e xy x y 2 0 y ?
定义: 由方程F ( x, y) 0所确定的函数 y y( x)称为隐函数.
sin
y)。
二、对数求导法
观察函数
y
(
x 1)3 x ( x 4)2 e x
1
,
方法:
y x sin x .
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数.
适用范围:
--------对数求导法
多个函数相乘和幂指函数u( x)v( x)的情形.
例：ln x 1 .
当x
x
0时 ，ln
x
1
,
x
当x 0时，ln x
1
(1) 1 ,
总有 ln x 1 . x
x
x
例设4
y
( x 1)3 x 1 ( x 4)2 e x
,
求y.
解
等式两边取对数得
ln y ln x 1 1 ln x 1 2ln x 4 x 3
上式两边对 x求导得
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
故曲线通过原点。
例5：
5 y2
sin
y
x
2，求
dy， dx
d2y dx 2
。
解： 两边对x求导数得
10 y y cos y y 2x
y 2x 10 y cos y
对y的表达式两边求导数得
y
2(10
y
cos y) 2x(10 y (10 y cos y)2
sin
yy)
2(10
y
cos y)2 4x2 (10 (10 y cos y)3
线通过原点。
解：方程两边对x求导, 3x2 3 y2 y 3 y 3xy
y
y x2， y2 x
y (3,3)
22
y x2 y2 x
( 3,3 ) 22
1。
所求切线方程为 y 3 ( x 3) 即 x y 3 0。
2
2
法线方程为 y 3 x 3 22
即 y x。
当x 0时，y 0，