力学6-质点系

m1 a1 f 12 F1 , m2 a2 f 12 F2 .
现在我们引入两个新的“等效质点” 。第一个等效质点 mc 的质量和坐标分别是
mc m1 m2 ,
xc
m1 x1 m2 x2 , m1 m2
所以它的质量就是 m1 和 m2 的和，坐标就是 m1 和 m2 的质心，这个等效质点不妨称为质心质点。 第二个等效质点 mr 的质量和坐标分别是
mv0 , Mm 它也就是滑块和小车的最后的共同速度。 滑块和小车的相对运动就是滑块的有摩擦滑动， 而相对 vc
运动的等效质点的约化质量是 mr 初始动能是 Tr
Mm （这一点最容易被忘记！ ） ，它的初速仍然是 v0 ，所以 Mm
1 Mm 2 v0 。设滑块在小车上滑过的距离是 l ，那么根据能量守恒有 mgl Tr 2 Mm （滑块的重力仍然是 mg ，因而摩擦力仍然是 mg ） ，所以
这就是说，质心的运动就相当于合外力作用在合质量上的运动。 把 m1 的运动方程乘以 m2 减去
m2 的运动方程乘以 m1 再通除以 m1 m2 ，得
mr ar f 12 m2 F1 m1F2 , m1 m2
这就是约化质点的运动方程。在两种情况下这些方程特别简单。 （1）系统没有外力作用（孤立系
mr
m1m2 , m1 m2
xr x1 x2 ,
所以它的坐标 xr 就是质点 1 相对于质点 2 的位移， 称为相对坐标，mr 称为 m1 和 m2 的约化质量， 这个等效质点不妨称为约化质点。如果我们能设法解出 xc (t ) 和 xr (t ) ，那么通过下面的关系就可 以重新得到 x1 (t ) 和 x2 (t ) ：
和前一个例题非常相似了，即约化质点在弹力作用下做简谐振动（区别是初速度向上了，所以 X 轴也取为向上） 。当 m2 刚开始脱离地面时，约化质点的坐标是 l1 [(m1 m2 )g / F ] l ，减去 l0 得 约化质点简谐振动的初始位移 B (m2 g / F ) l ，约化质点的初始速度就是 m1 的瞬时速度 v1 ，它 可根据能量守恒
k /m1 , k 是弹簧的劲度系数。参数 k 在题里没有
给，但可以通过 k F / l 得到，顺便还知道弹簧的原长是 l0 l1 (m1 g / k ) l1 (m1 g / F )l 。 显然，此后 m1 开始时是向上弹起，达到最大高度 l1 l 以后再回落到原来的高度上，所以 m1 和 若比较一下弹簧的原长 l0 l1 (m1 g / F )l 和 m1 上升的最大高 m2 之间的最小距离还是 l1 l 。 度 l1 l ，我们发现：如果 F m1 g 的话，当 m1 上升到最大高度的时候弹簧的长度已经超过了
l
2 1 M v0 . 2 M m g
这些结果和分别求解滑块和小车的运动的结果是一样的。 题目 2：重物 m1 和 m2 被劲度系数为 k 、原长为 l0 的轻质弹簧连接在一起， 实验者用一个夹子把 m2 夹住并提到高处， 让 m1 自由下垂， 并使系统处于静止状 态。然后他用锤子敲击 m2 使它突然离开夹子，同时还获得了一个向下的初速度
题目 2 的解
从等效质点的观点来看，m1 和 m2 之间的距离变化是相对运动， 应该求解约化质点的运动方 程 mr ar f 12
m2 F1 m1F2 。 这个问题与滑块与小车问题的不同之处在于 F1 , F2 0（它们就是 m1 m2
，所以质心不是做惯性运动（事实上很容易知道质心是自由落体运动） 。幸运的 m1 和 m2 的重力） 是 F1 , F2 满足关系 m2 F1 m1F2 m2 m1 g m1m2 g 0 ，所以方程仍然简化为 mr ar f 12 。 现在
B x(0) x0 , C v(0) / ,
所以从初始条件马上就可以写出运动的时间函数。 进一步， 由 B 和 C 确定第一种表达式中的参数 也并不困难：
2
A B2 C 2 , 0 arctan(C / B),
但是对于 B 和 C 的某些组合可能要写 0 arctan(C / B) 。
2 2 m1 g
k2

2 m1m2 v0 . k(m1 m2 )
如果 v0 0 （也就是突然把夹子松开）的话，则 m1 和 m2 之间的最大距离就是 l0 (m1 g / k ) 。 这个问题也可以从非惯性参考系的角度来分析，结论是一样的。 题目 3：重物 m1 和 m2 由一个轻质弹簧连接，竖直地放置在地面上， m1 在 上 m2 在下，平衡时弹簧的长度为 l1 。然后用一个力缓慢地向下压 m1 ，使弹簧 的长度减小了 l ，这时该力的大小是 F ，见图。若把力 F 突然撤去，问此后 m1 和 m2 之间的最小距离是多大？讨论不同的参数区间的不同结果。
3
原长，所以它对 m1 的作用已经变成了往下拉，对 m2 的作用也变成了往上提。如果 F 增加到了
m1 g m2 g ，这个提升力就平衡了 m2 的重力，开始转为第二种情形了。由此可知，发生第二种
情形的条件是
F (m1 m2 )g ,
这时 m1 在
(m1 m2 ) g l F 的高度上就使 m2 受到的提升力等于重力， 此后 m2 会脱离地面向上运动。 在这以后发生的事情就 x1 l1
1 1 1 2 m1 v1 k(l0 l1 l )2 k(x1 l0 )2 m1 g(x1 l1 l ) 2 2 2
算出，为 v1 [F 2 (m1 m2 )2 g 2 ]l / m1F ，也 C ，其中 F(m1 m2 ) / m1m2 l 。所 以约化质点偏离平衡位置（弹簧原长）的最远距离是 S B2 C 2 因而 m1 和 m2 之间的最小距离是
知识点 1：二体系统的等效质点
两个质点构成的系统通常称为二体系统。 考虑一维运动的情形。 假设这两个质点的质量分别 是 m1 , m2 ，加速度分别是 a1 , a2 ，质点 1 对质点 2 的作用力是 f 12 （它常被称为内力，一般和两 个质点的位置 x1 , x2 有关，而不是预先给定的常数） ，根据牛顿第三定律，质点 2 对质点 1 的作 用力是 f 12 ，此外质点 1 还受到外力 F1 ，质点 2 还受到外力 F2 ，那么它们的运动方程就是
m m2 g 2 m2 1 2 l ， m1 m2 F
l0 S l1
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m1 g m m2 g 2 m2 l 1 2 l. F m1 m2 F
4
mc ac F1 F2 ,
mr ar f 12 .
所以，虽然质心不是惯性运动但不难求解，而相对运动仍然由约化质点受相互作用的力来决定。 总之这两个方程“退耦合”了，变成了两个单体问题，可以分别求解。
题目 1 的解
滑块和小车所受的外力（的合力）都 0 ，所以系统的质心做匀速运动。初始时 M 静止，m 有一个速度 v0 ，所以质心的速度是
v0 。问：在系统下落的过程中， m1 和 m2 之间的最大距离是多少？
知识点 2：简谐振动的运动参数的确定
一维简谐振动的运动函数可以写成两种不同的形式：
x(t ) x0 A cos(t 0 ) x0 B cos t C sin t ,
其中 x0 是质点在平衡位置（例如弹簧处于原长）时的坐标，质点的速度随时间的变化是
力学（六） ：质点系力学
这里所说的质点系是彼此有相互作用但又不是刚性连接的质点群。 关于这类系统的动力学问 题，很自然地想到的解法是：分别写出每个质点的运动方程然后求解。但是在质点间存在相互作 用的情况下，它们不可能分别地解，而要联立起来才能解。但是也有其它做法，它们在某些情况 下更加清楚和简便。 题目 1：滑块在小车上摩擦地滑动，见图。设小车质量是 M ， 滑块质量是 m ，滑块与小车的动摩擦系数是 ，小车与地面无摩 擦。初始时小车静止，滑块有一个初速度 v0 。问：站在地面上看， 当最后滑块相对于小车静止时，二者的共同速度是多大？从小车 的角度看，滑块在小车表面滑过多远的距离才停下来？
v(t ) A sin(t 0 ) B sin t C cos t.
通常来说，题目给的初始条件是质点在初始时刻的坐标 x(0) 和速度 v(0) ，很容易发现这时利用 第二种表达式比较方便，因为它马上给出 x(0) x0 B, v(0) C ，或者说有
m1 和 m2 之间的相互作用力是弹力，所以它们的相对运动 xr (t ) x1 (t ) x2 (t ) 是简谐振动。它的
频率是 k(m1 m2 ) / m1m2 （注意要取约化质量） ，取 X 轴竖直向下，则振动的平衡位置在
xr l0 。在初始时， xr 偏离平衡位置的位移是 m1 g / k ，速度是 v0 。代入简谐振动的表达式
xr (t ) l0 B cos t C sin t ，得 B m1 g / k , C v0 / 。由于 f (t ) B cos t C sin t 的振
幅是 A B2 C 2 ，所以 m1 和 m2 之间的最大距离是
( x1 x2 )max l0
x1 xc
m2 xr , m1 m2
x2 xc
m1 xr . m1 m2
下面要把 m1 和 m2 的运动方程改写为 mc 和 mr 的运动方程。 把 m1 和 m2 的运动方程相加，得
m1 a1 m2 a2 F1 F2 ，而它可以改写为
mc ac F1 F2 ,
1
统）即 F1 F2 0 ，那么方程组就是
ac 0,
mr ar f 12 .
所以质心是做匀速直线运动，它的速度由初始条件决定，而相对运动即 x1 x2 随时间的变化， 由约化质点受内力的作用来决定。 由于这时质心做惯性运动， 所以相对于质心静止的那个参考系 是惯性系，简称质心系。在质心系中，运动方程只剩下了 mr ar f 12 ，所以二体问题变成了单 体问题。 （2） F1 , F2 0 但满足 m2 F1 m1F2 ，那么方程组就变为
题目 3 的解
选择 X 轴竖直向上，O 点在地面，m1 和 m2 的坐标分别是 x1 和 x2 。力 F 撤 除后 m1 向上弹起的运动有两种情形。第一种是 m1 因弹簧被压缩而储存的弹性 势能不够多，因而弹起以后所能达到的最大高度不够高，不足以把 m2 向上提起 来。这样的话， m2 就始终不动而 m1 在弹力的作用下做简谐振动，这实际上是一个单体问题。第 二种是弹簧被压得很深， 因而 m1 弹起到一定高度时， 弹簧对 m2 的作用变为拉力而且能克服重力 把 m2 提得离开了地面。 我们先要判断一下后一种情形在什么情况下会发生。 如果 m2 始终不动的 话， m1 就以 x1 l1 为平衡位置、 l 为振幅进行简谐振动（其实 l1 并不是弹簧的原长，但这对振 动没有影响） ，所以 x1 (t ) l1 l cos t ,