2020秋高中数学1.1变化率与导数1.1.2导数的概念达标练习含解析新人教A版选修2_2

第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数

1.1.2 导数的概念

A 级 基础巩固

一、选择题

1．已知f (x )在x ＝x 0处可导，则lim Δx →0

f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx 的值( ) A ．与x 0，Δx 有关

B ．仅与x 0有关，而与Δx 无关

C ．仅与Δx 有关，而与x 0无关

D ．与x 0，Δx 均无关

解析：f (x )在x ＝x 0处的导数与x 0有关，与Δx 无关．

答案：B

2．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是：m ，t 的单位是：s ，那么物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为( )

A ．7 m/s

B ．6 m/s

C ．5 m/s

D ．8 m/s

解析：因为Δs Δt ＝1－（3＋Δt ）＋（3＋Δt ）2－（1－3＋32）Δt

＝5＋Δt ， 所以

Δs Δt ＝ (5＋Δt )＝5(m/s)． 答案：C

3．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2，(a ，b 为常数)，则( )

A ．f ′(x )＝a

B ．f ′(x )＝b

C ．f ′(x 0)＝a

D ．f ′(x 0)＝b 解析：因为f ′(x 0)＝ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx

＝ a Δx ＋b （Δx ）2

Δx

＝ (a ＋b Δx )＝a ，所以f ′(x 0)＝a . 答案：C

4．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝( )

A ．2

B ．－2

C ．3

D ．不确定

解析：因为f ′(1)＝

f （1＋Δx ）－f （1）Δx ＝ a Δx Δx ＝a ＝2，所以a ＝2，故选A.

答案：A

5.物体的运动方程是S ＝－4t 2＋16t ，在某一时刻的速度为零，则相应时刻为( )

A ．t ＝1

B ．t ＝2

C ．t ＝3

D ．t ＝4 解析：

S （t ＋Δt ）－S （t ）Δt ＝－8t ＋16，令－8t ＋16＝0，得t ＝2. 答案：B

二、填空题

6．函数f (x )＝x 2＋1在x ＝1处可导，在求f ′(1)的过程中，设自变量的增量为Δx ，则函数的增量Δy ＝________．

解析：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝[(1＋Δx )2＋1]－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2.

答案：2Δx ＋(Δx )2

7．一做直线运动的物体，其位移s (m)与时间t (s)的关系是s ＝3t －t 2，则该物体的初速度是________．

解析：V 初＝

3（0＋Δt ）－（0＋Δt ）2－3×0＋02Δt ＝ (3－Δt )＝3 m/s ，故物体的初速度为3 m/s.

答案：3 m/s

8．设函数f (x )满足 f （1）－f （1－x ）x

＝－1，则f ′(1)＝________． 解析：

f （1）－f （1－x ）x ＝ f （1－x ）－f （1）－x

＝f ′(1)＝－1. 答案：－1 三、解答题

9．若一物体运动的位移s 与时间t 的关系如下(位移单位：m ，时间单位：s)：

s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2

＋2，t ≥3，29＋3（t －3）2，0≤t <3. 求：(1)物体在t ∈[3，5]上的平均速度；

(2)物体的初速度v 0；

(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．

解：(1)因为物体在t ∈[3，5]上的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3，5]上的位移变化量为

Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32

)＝48，

所以物体在t ∈[3，5]上的平均速度为Δs Δt ＝482

＝24(m/s)， 所以物体在t ∈[3，5]上的平均速度为24 m/s.

(2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度．

因为物体在t ＝0附近的平均变化率为

Δs Δt ＝29＋3[（0＋Δt ）－3]2－29－3（0－3）2Δt

＝3Δt －18， 所以物体在t ＝0处的瞬时变化率为

Δs Δt ＝ (3Δt －18)＝－18. 即物体的初速度v 0为－18 m/s.

(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率．

因为物体在t ＝1附近的平均变化率为

Δs Δt ＝29＋3[（1＋Δt ）－3]2－29－3（1－3）2

Δt

＝3Δt －12. 所以物体在t ＝1处的瞬时变化率为

Δs Δt ＝ (3Δt －12)＝－12， 即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.

10．求函数y ＝f (x )＝2x 2

＋4x 在x ＝3处的导数．

解：Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3)

＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ，

所以Δy Δx ＝2（Δx ）2＋16Δx Δx

＝2Δx ＋16. 所以y ′|x ＝3＝ Δy Δx ＝ (2Δx ＋16)＝16.

B 级 能力提升

1．某物体运动规律是s ＝t 2－4t ＋5，若此物体的瞬时速度为0，则t ＝( )

A ．3

B ．2.5

C ．2

D ．1

解析：Δs ＝(t ＋Δt )2－4(t ＋Δt )＋5－(t 2－4t ＋5)＝2t Δt ＋(Δt )2－4Δt ，因为v ＝ Δs Δt ＝2t －4＝0，所以t ＝2.