导数公式的证明(最全版)

导数的定义：f'(x)=lim Δy/Δx

Δx→0（下面就不再标明Δx→0了）用定义求导数公式

（1）f(x)=x^n

证法一：（n为自然数）

f'(x)

=lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx

=lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δ

x)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx

=lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]

=x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1) =nx^(n-1)

证法二：（n为任意实数）

f(x)=x^n

lnf(x)=nlnx

(lnf(x))'=(nlnx)'

f'(x)/f(x)=n/x

f'(x)=n/x*f(x)

f'(x)=n/x*x^n

f'(x)=nx^(n-1)

（2）f(x)=sinx

f'(x)

=lim (sin(x+Δx)-sinx)/Δx

=lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx

=lim cosxsinΔx/Δx

=cosx

（3）f(x)=cosx

f'(x)

=lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx

=lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx =lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx

=lim -sinxsinΔx/Δx

=-sinx

（4）f(x)=a^x

证法一：

f'(x)

=lim (a^(x+Δx)-a^x)/Δx

=lim a^x*(a^Δx-1)/Δx

（设a^Δx-1=m，则Δx=loga^(m+1)）

=lim a^x*m/loga^(m+1)

=lim a^x*m/[ln(m+1)/lna]

=lim a^x*lna*m/ln(m+1)

=lim a^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)] =lim a^x*lna/ln[(m+1)^(1/m)] =lim a^x*lna/lne

=a^x*lna

证法二：

f(x)=a^x

lnf(x)=xlna

[lnf(x)] '=[xlna] '

f' (x)/f(x)=lna

f' (x)=f(x)lna

f' (x)=a^xlna

若a=e，原函数f(x)=e^x

则f'(x)=e^x*lne=e^x

（5）f(x)=loga^x

f'(x)

=lim (loga^(x+Δx)-loga^x)/Δx

=lim loga^[(x+Δx)/x]/Δx

=lim loga^(1+Δx/x)/Δx

=lim ln(1+Δx/x)/(lna*Δx)

=lim x*ln(1+Δx/x)/(x*lna*Δx)

=lim (x/Δx)*ln(1+Δx/x)/(x*lna) =lim ln[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/(x*lna) =lim lne/(x*lna)

=1/(x*lna)

若a=e，原函数f(x)=loge^x=lnx

则f'(x)=1/(x*lne)=1/x

（6）f(x)=tanx

f'(x)

=lim (tan(x+Δx)-tanx)/Δx

=lim (sin(x+Δx)/cos(x+Δx)-sinx/cosx)/Δx

=lim (sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)/(Δxcosxcos(x+Δx)) =lim (sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx-sinxcosxcosΔ

x+sinxsinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))

=lim sinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))

=1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2

（7）f(x)=cotx

f'(x)

=lim (cot(x+Δx)-cotx)/Δx

=lim (cos(x+Δx)/sin(x+Δx)-cosx/sinx)/Δx

=lim (cos(x+Δx)sinx-cosxsin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx)) =lim (cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx-cosxsinxcosΔx-cosxsin Δxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))

=lim -sinΔx/(Δxsinxsin(x+Δx))

=-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2

（8）f(x)=secx

f'(x)

=lim(sec(x+Δx)-secx)/Δx

=lim (1/cos(x+Δx)-1/cosx)/Δx

=lim (cosx-cos(x+Δx)/(ΔxcosxcosΔx)

=lim (cosx-cosxcosΔx+sinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))

=lim sinxsinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))

=sinx/(cosx)^2=tanx*secx