国家综合国力分析数学建模论文

组员：陈翔朱玲颖杨鹏

国家综合实力分析

1.问题重述

一些高层研究人员要对美、俄、中、英、法、日、德等大国的国家综合实力进行分析判断，我们从国民收入、军事力量、科技水平、社会稳定、对外贸易这5个方面对7个主要大国的综合实力进行评估判断，确定合适的准则及进行实事求是的对比。

对一个国家来说，一个国家的综合实力取决于很多方面，但是每个方面对其的影响是不一样的，政治水平、经济水平、文化水平对综合实力的影响各不相同。

为了客观公正的评判一个国家的综合实力，我们从几个方面建立了数学模型，利用互联网搜索相关的数据，定量的评估每个国家的综合实力。

2.问题的提出与分析

综合国力（National Power）是衡量一个国家基本国情和基本资源最重要的指标，也是衡量一个国家的经济、政治、军事、技术实力的综合性指标。

如何界定和衡量一个国家综合国力或战略资源，国际上尚无统一的定义和计算方法。阿什利•泰利斯（Ashley Tellis et al，2000）将国家实力定义为两个分量相互作用的产物，即一个国家在给定时间上具有掌握经济创新周期的能力，并利用这种控制能力形成有效的军事能力，反过来创造一个稳定的政治环境，加强现存的经济优势，也为保持国家的战略优势以及从国际体系中获益提供基本条件。概言之，综合国力可以简单地定义为一个国家通过有目的的行动追求其战略目标的综合能力。我们将国家战略资源（National Strategic Resources）定义为一个国家实现本国战略目标所可以利用的现实的和潜在的关键性资源，它们反映了一个国家在全球范围内利用各种资源的能力，也反映了该国的综合国力。国际关系学者肯尼思•华尔兹（Kenneth Waltz，1979）把实力定义为各种能力的分布。实际上，综合国力就是国家战略资源的分布组合，被动员和利用来实现一个国家的战略目标。我们所称的综合国力，一般指的是各类国家战略资源之总和；而国家战略资源一般指的是某一类战略资源。本文利用了层次分析法对所查询的数据进行整理分析。

层次分析法（Analytic Hierarchy Process简称AHP）是将决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于本世纪70年代初，在为美国国防部研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。

3. 模型建立

3.1 模型假设

假设一：从《2009年世界贸易数据排名》、《2010年世界各国军事实力排名》的数据和网络上公开发表的学术论文及期刊资料都真实可信。

假设二：从联合国官方预测数据基本可靠。

假设三：设定国民收入、军事力量、科技水平、社会稳定、对外贸易这5个方面能较好的反映一个国家的综合实力水平。

3.2符号说明

3.3 数据范围

当下是2011年，有关国民收入、军事力量、科技水平、社会稳定、对外贸易的数据来自2009年和2010年的相关报告、论文。

3.4 指标体系设定

3.5 指标计算及标准化

3.5.1层次分析方法

美国运筹学家T. L. Saaty 教授于70 年代初期提出了一种能有效地处理这样一类问题的实用方法称为层次分析方法（AnalyticHierarchy Process 简称AHP）,它是一种定性和定量相结合的系统化层次化的分析方法.本文采用层次分析法从工

资福利,专业和个人兴趣、工作环境、社会需求、工作的稳定性、单位发展前景等几个方面的因素对影响师范生就业的因素模型做出评价,同时确定毕业生的就业岗位取向,这对每位毕业学生成功就业是有很大帮助的;学校有关部门如能掌握毕业生的就业岗位取向,就能及时的调整工作重点并更好地指导和帮助学生就业. 3.5.2层次分析法的基本原理:

层次分析法主要把要决策的问题分解为几个层次(目标层,准则层,方案层),通过相互比较确定各准则对于目标的权重及各方案对于每一准则的权重,再将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合,最终确定方案层对目标层的权重.

3.5.3层次分析法的基本步骤: 1、建立层次结构模型：

建立目标层、准则层和方案层这三层的模型. 2、构造正互反矩阵 （1）正互反矩阵的定义：

定义1[]1：在矩阵A 中，0>ij a ，ij

ji a a 1

=，且1=ii a ，通常满足这些性质的判断矩阵A 被称为正互反矩阵． （2）构造两两比较正互反矩阵

构造正互反矩阵是将每一层元素针对上一层因素所涉及的相互之间的重要性做出比较，将比较的数值直接用矩阵形式表示出来。正互反矩阵可以清楚地表示上一层因素支配的下层有关因素之间的相对重要性。在进行两两比较时, 假设专家组能够比较在递阶结构同一层次的任意两个元素i B 、j B 并提供它们重要性比率的数值

ij b (这一层有n 个元素)。如果元素i B 优于j B 则ij b > 1。相应地，反过来的性质也

成立，ij b = 1/ii b , 并且ii b > 0，ii b = 1, i, j = 1, 2, ⋯, n.通常ij b 按1～9比较尺度对重要程度赋值, 见表1。

图表 1 正互反矩阵中元素比较尺度及其含义

3.5.4、计算权向量并做一致性检验： （1）各目标的权向量计算

根据所得到的正互反矩阵，计算对于上一层因素而言的本层次各因素间相关重要性的权重方法有特征值法、方根法、和法等，本文采用和法计算。

a.将A 的每一列向量归一化得:∑-=n

i ij

ij

ij a

a w 1

~.

b.对w ~按行求和得:∑-=n

i ij i

w w 1

~~. c.将i w ~归一化:

∑-*

=n

i i

i

i w

w w 1

~~~ ,T n w w w W ),,,(21 =,即为近似特征向量.

d.计算 ∑-=n

i i

i

n

w Aw 11max )(λ ,作为最大特征根的近似值. （2）一致性检验

定义2[]1：对于正互反矩阵n n ij a A ⨯=)(，若满足ik jk ij a a a =⨯，则称A 为一致性矩阵．我们知道，正互反矩阵不一定是一致性的，也就是所建的矩阵不一定是一致矩阵.当正互反矩阵不是一致矩阵时，近似特征向量W 能否表示权向量，要视不一致性的程度而定的．衡量不一致程度的指标叫做一致性指标，定义[]1为：

.

1

m ax --=

n n CI λ (当正互反矩阵具有完全一致性时，CI =0 )

如果有CI 偏差，那偏差是否在满意的一致性范围，还需要引进平均随机一致性指标RI ，RI 值见表2。

图表 2 平均随机一致性指标RI 数值