高等数学：11-4对面积曲面积分

的方法, 可得
n
M
k 1
o
y
其中, 表示 n 小块曲面的直径的 x
最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
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定义: 设 为光滑曲面, f (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数, 若对 做任意分割和局部区域任意取点, “乘积和式极限”
记作 f (x, y, z)d S
• 积分的存在性.
在光滑曲面 上连续,
则对面积的曲面积分存在.
• 对积分域的可加性. 若 是分片光滑的, 例如分成两
片光滑曲面 1, 2, 则有
f (x, y, z) d S 1 f (x, y, z) d S
• 线性性质.
k1 f (x, y, z) k2g(x, y, z)d S k1 f (x, y, z) dS k2 g(x, y, z) dS
2 d
1 2
2a
a r2
r dr
0
0
a2 r2
1 a4 (8 5 2)
6
z 1 x o Dx y y
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例4. 计算
其中 是介于平面
之间的圆柱面 分析: 若将曲面分为前后(或左右) 两片, 则计算较繁. 解: 取曲面面积元素
则
I
H 2 R dz
0 R2 z2
2 arctan H
可有类似的公式. 2) 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS
的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的 二重积分.
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例1. 计算曲面积分
其中是球面
被平面
截出的顶部.
解:
Dxy : x2 y2 a2 h2
1
z x2
z
2 y
z
h
o
Dxy
ay
x
d S z
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二、曲面的面积
设光滑曲面
z
n
则面积 A 可看成曲面上各点 M (x, y, z) S M
处小切平面的面积 d A 无限积累而成.
o
设它在 D 上的投影为 d , 则
x
d cos d A
d y
cos
1
1 fx2 (x, y) f y2 (x, y)
d A 1 fx2 (x, y) f y2 (x, y) d
a dxdy
2
Dxy a2 x2 y2 a 0 d
a2 h2 rd r
0
a2 r2
2
a
1 ln(a2 2
r2)
a2 h2
0
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例2. 计算
其中 是由平面
与
坐标面所围成的四面体的表面.
z
解: 设 1, 2, 3, 4分别表示 在平面 1
上的部分, 则 o
原式 = 1 2 3 4 xyz dS
(称为面积元素)
nz
dA
M d
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故有曲面面积公式
A D 1 fx2 (x, y) f y2 (x, y) d
即
A D
1 (z)2 (z)2 d xd y x y
若光滑曲面方程为 x g( y, z) , ( y, z) Dy z ,则有
Dy z
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若光滑曲面方程为 y h (z, x) , (z, x) Dz x ,则有
A
1 (y )2 (y )2 d zd x
Dz x
z
x
若光滑曲面方程为隐式
且
则
z Fx , z Fy , x Fz y Fz
(x, y) Dx y
A
Fx2 Fy2 Fz 2 dx d y
R
(习题第4题（4）小题)
z H
z dz
o
y
x
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小结
1. 定义:
n
lim 0
f (i ,i , i ) Si
i 1
2. 计算: 设 : z z(x, y), (x, y) Dxy , 则
1 x
Leabharlann Baidu1y
4 xyz d S
4 : z 1 x y,
(x,
y)
Dxy
:
0
0
y
x
1 1
x
1
1 x
3 x dx y(1 x y) dy
0
0
3 120
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例3. 设 : x2 y2 z2 a2
z 1
计算 I f (x, y, z) d S .
解: 锥面 z x2 y2 与上半球面 z
第4节 对面积的曲面积分
一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、曲面面积 三、对面积的曲面积分的计算法
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一、对面积的曲面积分的概念与性质
引例: 设曲面形构件具有连续面密度 量 M.
类似求平面薄板质量的思想, 采用 z
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
求质
(k ,k , k )
Dx y
Fz
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三、对面积的曲面积分的计算法
定理: 设有光滑曲面
z
f (x, y, z) 在 上连续, 则曲面积分
o
y
f (x, y, z) dS 存在, 且有
x Dxy
( k )x y (k ,k , k )
f (x, y, Dx y
证明: 由定义知
)
n
lim
0 k 1
都存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积 的曲面积分 或第一类曲面积分. 其中 f (x, y, z) 叫做被积 函数, 叫做积分曲面.
据此定义, 曲面形构件的质量为 M (x, y, z) d S 曲面面积为
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对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.
f (k ,k , z(k ,k ))
(光滑)
1 zx2 (k , k ) z y2 (k , k ) ( k )xy
f (x, y, Dx y
) 1 zx2 (x, y) z y2 (x, y)dxdy
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说明: 1) 如果曲面方程为
x x( y, z), ( y, z) Dyz 或 y y(x, z), (x, z) Dxz
交线为
x o Dx y y
a2 x2 y2 的
设 1为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的
投影域为 Dxy (x, y)
x2
y2
1 2
a2
,
则
I (x2 y2 ) d S 1
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I (x2 y2 ) d S 1
(x2 y2)
Dx y
a
dxd y
a2 x2 y2
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而
( k )xy 1 zx2 (x, y) z y2 (x, y) dxd y
1 zx2 (k , k ) z y2 (k , k ) ( k )xy
f (x, y, z) dS
f (k ,k , z(k ,k ))
1 zx2 (k , k ) z y2 (k , k ) ( k )xy