连续型随机变量的分布与例题讲解

v1.0 可编辑可修改

连续型随机变量的分布

（一）连续型随机变量及其概率密度函数

1.定义：对于随机变量X 的分布函数F(X)，若存在非负函数f(x),使对于任意的实数x ，有()()x

F x f t dt -∞

=

⎰

，则称X 为连续性随机变量，f(x)称

为X 的概率密度函数，简称概率密度。

注：F (x )表示曲线下x 左边的面积，曲线下的整个面积为1。 2 .密度函数f(x)的性质：注：f (x )不是概率。

1) f(x )≥0 2) ()1f x dx

3) 21

x 1

221x {x x }

f (x)x

(x )(x )P X

d F F

特别地，连续型随机变量在某一点的概率为零，即{}

0.

P X

x （但{X =x }并不一定是不可能事件）

因此 P(a ≤X ≤b)= P(a

4）若f (x )在点x 处连续，则()().F x f x '= 分布函数性质

i) 0≤F(x )≤1； ii)F(-∞)=0,F(+∞)=1；

ⅲ) 当x 1≤x 2时，F(x 1)≤F(x 2)；（单调性） iv) F(x )是连续函数

注：iv)与离散型随机变量不同，

离散型随机变量的分布函数有有限个或无限可列个间断点。 例1 设随机变量X 的分布函数为F(x )=A+B arctanx, 求 （1）系数A ，B （2）P(-1

分析：主要是应用分布函数的性质。 解 （1）由F(-∞)=0,F(+∞)=1得

故得P （-1

=F(1)-F(-1)

11

11

arctan1(

arctan(1))2

2

11

1(

)

4

4

2

(3) f(x)

2

1

()

(

)(1)

F x x

x

例2 设随机变量X 的概率密度为3x

k , x 0, f (x)0, x

0,

e 试确定常数

k ，并求其分布函数F(x)和P{X>}.

解：由

f (x)x

1d 得

0f (x)x ()()d f x dx

f x dx

3x

k x k /31,e

d

3.k

3x

3, x 0, f (x)

0, x

0.

e

当0x 时，()00x F x dt -∞

==⎰

当0x

时，0

330

()

031x t x

F x dt e dt e

于是， 3x

1, x 0,

F(x)

0, x

0.e

0.3

{0.1}1{1}1(1)1(1)P X P X F e

0.3

0.7408.e

（二）正态分布

（1）设随机变量X 的概率密度函数为

22

(x )21

f(x),x ,2e μσπσ

--

=

-∞<<+∞

,(0)μσσ>其中为常数，则称X 为服从参数为,μσ的正态分布，记作2~(,).X N μσ其图象为（右图）。其中：μ称为位置参数，(x)f 的图形

关于x μ=对称，σ影响(x)f 的最大值及曲线的形状。分布函数为

基 本 内 容

备 注 22

(t )x

21

(x)t 2F e d μσπσ

--

-∞

=⎰

。

性质：

1.曲线关于x μ=对称，这表明对于任意h 0>有

-h } }.P{X P{X h μμμμ<≤=<≤+ 2.当x μ=时，1

() f() .2f x μπσ

=取到最大值：

（2）标准正态分布

特别地，当0,1μσ==时，称X 服从标准正态分布， 记为~(0,1).X N 相应的概率密度函数和分布函数分别记为

2

2x t x

2

2

11(x) (x)t.22π

e e d ϕΦπ-

-

-∞

=

=⎰

，

易知(x)1(x)ΦΦ-=-。

(x)Φ即标准正态分布函数，其值已制成表格，以备查用。

例3 设随机变量X~N(0,1)，查表计算：

(1) P(X ≤；(2) P(X>；(3) P(|X|<. 解 (1) P(X ≤ =Φ =

(2) P(X> =1- P(X ≤ =1- Φ = (3) P(|X|< =P

=2× =

引理 若2

X~N(,),μσ则~(0,1).X Z N μ

σ

-=

证 -X Z μ

σ

=

的分布函数为

v1.0 可编辑可修改

其中，0μσ''>，为常数，则称X 服从参数为μ'和σ'的对数正态分布，记作

2~(,).X LN μσ''

对数正态分布的分布函数为

22

(ln )20

1() 02t x

F x e

dt x t

μσπσ'--

'=>'⎰

若2

~(,),X LN μσ''则

2112ln ln {}(

)()x x P x X x μμσσ

''

--≤≤=Φ-Φ'' （四）Weibull 分布

定义：若随机变量X 的概率密度函数为

()1

() () 0 m

x m m

x e x f x x αβααβα

---⎧⎪-≥=⎨⎪

<⎩

其中，,,0m αβ>为常数，则称X 服从参数为,,m αβ的Weibull 分布，记作

~(,,).X W m αβ

Weibull 分布的分布函数为

()1()()m

t x

m m

F x t e

dt αβ

α

αβ

--

-=-⎰

()1 ()m

x e

x αβ

α--

=-≥

m ——形状参数

α——位置参数

β——尺度参数

Weibull 分布概括了许多典型的分布。

本次课小结：

介绍了连续型随机变量的概念, 连续型随机变量概率密度函数的概念及其性质.介绍了几种常见的连续型随机变量的分布，其中最主要的是正态分布。