双曲线的渐近线

双曲线的渐近线

环节一：探索发现特殊双曲线221x y -=的渐近线，给出渐近线的概念

师：同学们好！上节课我们研究了双曲线简单的一些几何性质：范围、对称性、顶点等。请大家思考：方程221x y -=是什么？

生：双曲线的方程。

师：请大家在练习本上画出相应的双曲线的草图。

(学生根据自己对双曲线的理解，在练习本上画图。教师巡视，发现问题。找几名学生板书。)

(学生可能出现的情况：开口过大或过小，形状类抛物线或圆弧)

师：画完之后看看和黑板上的图一样不一样，再和周围同学的对比一下，有没有区别。（用展示吗？）

(学生发现差异)

师：虽然是草图，也应该尽量画的准确，抓住双曲线的特点。板书的几名同学谈谈画图的依据。

生：找到顶点(1,0)±，再找到（2，1）点，根据范围和对称性，以及对双曲线的形状的印象画出来。

师：这么画合理不合理呢？请大家用手中的图形计算器画出双曲线，观察形状，和我们自己画的有什么差异。

(学生用图形计算器画出图形，对比，分析产生差异的原因)

师：可以我们画出的图形和标准图形差距比较大，差异在哪里？

生：随着x 的变化，图形的变化趋势不同。

师：产生差异的原因是什么？我们忽略了什么？

生：没有充分利用方程去画。

师：利用方程我们应该可以找到更合理的画图依据。请同学们观察、研究方程，看看它还能体现出曲线的什么几何性质。

(学生经过独立思考、讨论，可能有如下发现：由221x y -=，得到

22()()0x y x y x y ≥⇒-+≥，

分析出点(,)x y 所在的区域；将方程改写为y =发现双曲线与直线y x =±无限贴近)

师：什么是双曲线与直线“无限贴近”？

生：随着x 的增大，双曲线无限接近于直线，但是不相交。

师：真的是这样吗？你能否运用图形计算器，或者运用所学过的知识，从“数”的角度进行说明？

(给大家几分钟时间进行思考、讨论，教师巡视、指导)

（学生板书、用图形计算器或者实物投影展示，可能的情况有：由y =极限的思想说明随着x 增大，y 和x 越来越接近；图形计算器将双曲线上点到直线的距离变化列表展示；将点到直线的距离用函数表示，利用单调性来说明；个人认为在此可以把以上每种想法都展示出来，因为属于不同学生的不同研究思

路，每一种说明都要落实如何用代数式体现“无限接近”“不相交”） 师：双曲线221x y -=的各支向外延伸时，与直线y x =±无限接近，但永不相交，我们把直线叫做双曲线的渐近线。（板书）

师：以前我们似乎也遇到过这样的情况，你能举例说明吗？

生：指数函数、反比例函数、对勾函数等等。

师：（引导学生思考每种函数的渐近线是什么，从“数”上如何体现“无限接近，永不相交） 环节二：探索一般的双曲线22

221(0)x y a b a b

-=>>的渐近线方程。 师：是不是所有的双曲线都有渐近线？如果有，双曲线22

221(0)x y a b a b

-=>>的渐近线方程是什么？

（学生可以运用图形计算器，从特殊方程入手，从而发现一般双曲线的渐近线方程，也可以类比得到221x y -=的渐近线方程的过程：

2

22

2(1)x y b y a =-⇒=b y x a =±。） 师：（演示精确说明的过程即课本62页“探究与发现”）（有无必要？）

师：这样，我们得到了一般双曲线22

221(0)x y a b a b

-=>>的渐近线方程：b y x a =±。从“形”的角度看，双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。从“数”的角度看，双曲线方程与它的渐近线方程之间有什么关系呢？ 生：斜率的绝对值是虚半轴长与实半轴长之比；将22

221x y a b

-=的“1”改写为“0”即得到渐近线方程。

师：大家都说的非常好！这样我们通过方程研究了双曲线的一个很有特点的几何性质：渐近线。研究的过程体现了由“数”到“形”的解析几何基本思想。现在你能不能相对精确地画出双曲线的草图呢？

生：确定双曲线的定点及渐近线，使双曲线经过顶点并且与渐近线无限靠近，但不相交。

师：（PPT 演示这个过程）

环节三：探索双曲线22

221(0)x y a b a b

-=>>的渐近线的性质及结论。 师：你还可以得到哪些和渐近线有关的结论？

（学生可能的结论有：焦点在y 轴上的双曲线方程；渐近线斜率越大，双曲线开

口越大；

22

22

(0)

x y

a b

λλ

-=≠表示有相同渐近线的双曲线方程等等）

师：关于渐近线，还有一些有趣的结论，课下我们可以继续挖掘。下课！