高考数学 考前三个月复习冲刺 专题7 第31练 双曲线的渐近线和离心率问题 理

答案 A
题型二 双曲线的离心率问题
例2 (1)(2015·湖北)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a 和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心 率为e2的双曲线C2，则( ) A.对任意的a，b，e1>e2 B.当a>b时，e1>e2；当a<b时，e1<e2 C.对任意的a，b，e1<e2 D.当a>b时，e1<e2；当a<b时，e1>e2
即所求定值为||MNFF||＝
23＝2
3
3 .
点评 (1)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法.由 y＝±bax⇔ax±by＝0⇔ax22－by22＝0，所以可以把标准方程ax22－by22＝
1(a>0，b>0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程. (2)已知双曲线渐近线方程：y＝bax，可设双曲线方程为ax22－by22 ＝λ (λ≠0)，求出 λ 即得双曲线方程.
∴e1·e2＝ca1·ca2＝ca1c22＝
3 2.
又∵a2＝b2＋c21，c22＝a2＋b2， ∴c＝a2－b2，
∴ca21c422＝a4－a4 b4＝1－(ba)4， 即 1－(ba)4＝34，
解得ab＝± 22，∴ab＝
2 2.
令ax22－by22＝0，解得 bx±ay＝0，
∴x± 2y＝0.
变式训练 1 (2014·山东)已知 a>b>0，椭圆 C1 的方程为ax22＋by22 ＝1，双曲线 C2 的方程为ax22－by22＝1，C1 与 C2 的离心率之积为
23，则 C2 的渐近线方程为(
)
A.x± 2y＝0
B. 2x±y＝0
C.x±2y＝0
D.2x±y＝0
解析 由题意知 e1＝ca1，e2＝ca2，
解析 由题意 e1＝
a2＋b2 a2 ＝
1＋ab2；
双曲线C2的实半轴长为a＋m，虚半轴长为b＋m，
离心率 e2＝
a＋m2＋b＋m2
a＋m2
＝
1＋ba＋ ＋mm2.
因为ab＋＋mm－ba＝maaa＋－mb，且 a>0，b>0，m>0，a≠b，
ma－b 所以当 a>b 时，aa＋m>0， 即ab＋＋mm>ab. 又ab＋＋mm>0，ba>0， 所以由不等式的性质依次可得ba＋＋mm2>ba2,1＋ba＋＋mm2>1＋ba2，
专题7 解析几何
第31练 双曲线的渐近线和离心率问题
题型分析·高考展望
双曲线作为三种圆锥曲线之一，也是高考热点，其性质 是考查的重点，尤其是离心率与渐近线.考查形式除常考 的解答题外，也会在选择题、填空题中考查，一般为中 等难度.熟练掌握两种性质的求法、用法是此类问题的解 题之本.
常考题型精析 高考题型精练
2x0－32 则||MNFF||22＝14＋332yx300y－2032 2＝94y20＋2x940－x03－222＝43·3y20＋2x30－x03－222.
Fra Baidu bibliotek
因为 P(x0，y0)是 C 上一点，则x320－y20＝1，
代入上式得||MNFF||22＝43·x02－32＋x0－3x30－2 22 ＝43·4x202－x01－2x30＋2 9＝43，
动时，||MNFF||
2 恒为定值，并求此定值.
解 由①知 a＝ 3，则直线 l 的方程为x30x－y0y＝1(y0≠0)，
即 y＝x03x－ y0 3. 因为直线AF的方程为x＝2，
所以直线 l 与 AF 的交点为 M(2，2x30y－0 3)； 直线 l 与直线 x＝32的交点为 N(32，32x30y－0 3).
则 A(c，ac)，kAB＝ac－c－－2c2ca＝3a. 又因为 AB⊥OB，所以3a·(－1a)＝－1，解得 a2＝3， 故双曲线 C 的方程为x32－y2＝1.
②相过交C于上点一M点，P与(x直0，线y0x)＝(y03≠相0)交的于直线点lN：.证xa02x明－：y0当y＝点1P与在直C线上A移F
1 A.±2
2 B.± 2
C.±1
D.± 2
解析 双曲线ax22－by22＝1 的右焦点 F(c,0)，
左，右顶点分别为A1(－a，0)，A2(a,0)，易求
Bc，ba2，Cc，－ba2，则
b2
b2
kA2C＝a－a c，kA1B＝a＋a c，又 A1B 与 A2C 垂直，
b2 b2 则有 kA1BkA2C ＝－1，即a＋a c·a－a c＝－1，
所以
1＋ba＋ ＋mm2> 1＋ba2，
即 e2>e1； ma－b
同理，当 a<b 时，aa＋m<0，可推得 e2<e1.
综上，当a>b时，e1<e2；当a<b时，e1>e2.
答案 D
(2)已知 O 为坐标原点，双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的右焦点 为 F，以 OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点
b4 ∴c2－a2a2＝1，∴a2＝b2，即 a＝b，
∴渐近线斜率 k＝±ba＝±1. 答案 C
①求双曲线C的方程；
解 设 F(c,0)，因为 b＝1，所以 c＝ a2＋1，
直线 OB 的方程为 y＝－1ax， 直线 BF 的方程为 y＝1a(x－c)， 解得 B(2c，－2ca). 又直线 OA 的方程为 y＝1ax，
A、B，若(A→O＋A→F)·O→F＝0，则双曲线的离心率 e 为( )
A.2
B.3
C. 2
D. 3
解析 如图，设 OF 的中点为 T，由
(A→O＋A→F)·O→F＝0 可知 AT⊥OF，
又A在以OF为直径的圆上，
∴A2c，2c， 又 A 在直线 y＝abx 上，
∴a＝b，∴e＝ 2.
答案 C
变式训练 2 (2014·湖南)如图，O 为坐 标原点，椭圆 C1：ax22＋by22＝1(a>b>0)的 左、右焦点分别为 F1、F2，离心率为 e1； 双曲线 C2：ax22－by22＝1 的左、右焦点分别为 F3、F4，离心率 为 e2.已知 e1e2＝ 23，且|F2F4|＝ 3－1.
常考题型精析
题型一 双曲线的渐近线问题 题型二 双曲线的离心率问题 题型三 双曲线的渐近线与离心率综合问题
题型一 双曲线的渐近线问题
例1 (1)(2015·重庆)设双曲线 ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的右 焦点是F，左，右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线 与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的 渐近线的斜率为( )