高等代数复习

第一章基本概念

1.1集合

Z表示全体整数的集合

Q表示全体有理数的集合

R表示全体实数的集合

C表示全体复数的集合

。德.摩根（De Morgan）律

对于任意集合ABC来说

第一：集合C减去集合A与集合B的交集等于集合C减去集合A与集合C减去集合B的并集用数学符号表示为C-(A∩B)=(C-A) ∪（C-B）

第二：集合C减去集合A与集合B的并集等于集合C减去集合A与集合C减去集合B的交集用数学符号表示为C-(A∪B)=（C-A）∩（C-B）

元素属于集合用”∈”\符号，集合属于集合用 符号

1.2映射

映射：设AB是两个非空集合，A到B的一个映射指的是一个对应法则，通过这个法则，对于集合A中每一个元素x，有集合B中唯一确定的元素y与之对应。（映射可以多对一，但是不允许一对多）

满射：设f是A到B的一个映射，如果f(A)=B，那么就称f是A到B的一个满射。

单射：设f：A到B是一个映射，如果对于A中任意两个元素x1,x2只要有x1≠x2，就有f(x1)≠f(x2)，那么就称f是A到B的一个单射。

映射之间是可以合成的，具体不做解释。

双射：如果一个映射既是满射，又是单射，那么我们将这个映射称为双射。

本单元的题型大多为证明双射，所以这里要注意。

证明双射的步骤：

第一步首先证明满射，将x用y来表示，然后将用y表示的x代入原方程中。如果得到的结果等于y，那么即可证明该映射为满射。

第二步证明单射，将x1和x2代入方程中，并将含x1和x2的两个方程联立，如果解得x1等于x2，那么即可证明该映射为单射。

第三步，既是满射又是单射的映射即为双射，命题得证。

1.3 数学归纳法

数学归纳法的原理是最小数原理

最小数原理：正整数集N*的任意一个非空子集S必含有一个最小数，也就是这样一个数a ∈S，对于任意c∈S都有a≤c。

需要注意的是最小数原理并不是对于所有集合成立的。例如全体整数集Z就没有最小数。分数组成的集合也没有最小数。

然后就是本节的重点数学归纳法。

数学归纳法：

设有一个与正整数n有关的命题，如果

（1）当n=1时，命题成立；

（2）假设n=k时命题成立，则n=k+1时命题也成立；那么这个命题对于一切正整数n都成立。

还有一个所谓的第二数学归纳法原理：

设存在一个与n 有关的命题。如果

（1） 当n=1时命题成立；

（2） 假设命题对于一切小于k 的正整数来说成立，则命题对于k 也成立；那么命题对于

一切正整数来说都成立。

1.4 整数的一些整除性质

整除的概念：设ab 为两个整数，如果存在一个整数d ，使得b=ad ，那么就说a 整除b ，（较小的那个数在前面，比如说3整除6）用数学符号表示为a1b ，如果a 不整除b ，则加一斜杠即可。

整数的基本性质

A 整除B,

B 整除

C ，那么A 整除C 。

A 整除

B ，A 整除

C ，那么A 整除（B+C ）

A 整除

B ，若

C ∈Z ，那么A 整除BC

每一个整数都可以被1和-1整除

每一个整数都可以被他自己和他的相反数整除

带余除法：

设a,b 是整数且a ≠0，那么存在一对整数q 和r ，使得

b=aq+r ，0≤r ＜1a1

满足以上条件的整数q 和r 是唯一确定的。

一个素数如果整除两个整数a 与b 的乘积，那么它至少整除a 与b 中的一个。

带余除法的余数一定是正整数

1.5 数环与数域

数环：设S 是复数集C 上的一个非空子集，如果对于S 中任意两个数a,b 来说，存在a+b,a-b,ab 都在S 内，那么我们称S 是一个数环。

数域：设S 是一个数环，如果

（1） F 中有一个不等于零的数；

（2） 如果a,b ∈F ，且b ≠0，则b

a ∈F 那么就称F 是一个数域（数域是建立在数环的基础上的，所以要先证数环再证数域） 任何数域都包含有理数域Q

这一节比较简单，套概念即可

第二章 多项式

2.1 一元多项式的定义和运算

（1）数环R 上一个文字x 的多项式或者一元多项式是指：a0+a1x+a2x ²+…+anxn Anxn 叫做多项式的最高次项，而n 就是该多项式的次数。

（2）多项式的运算规则

加法交换律：

F(x)+G(x)=G(x)+F(x)

加法结合律：

(F(x)+g(x))+h(x)=f(x)+（g(x)+h(x)）

乘法交换律：

F(x)g(x)=g(x)f(x)

乘法结合律：

(F(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x))

乘法对加法的分配律同理也符合

多项式的基本性质

第一点：两不等于零的多项式之和的次数小于等于这两个多项式中次数比较高的那个次数。第二点：两不等于零的多项式之积的次数等于两多项式的次数之和。

2.2 多项式的整除性

多项式的整除性质：多项式环F(x)上的两个多项式f(x)和g(x)，如果存在F(x)上的多项式z （x），使得g(x)=f(x)z(x)，则称f(x)1g(x)

多项式整除的性质和整数整除性质类似

整除的方法是要重点复习的方法（带余除法）

首先把两个多项式中次数较低的那一个同时乘以相差的那个次数，然后用次数较高的减去次数较低的，得到一个新的多项式。

然后依然是把那个次数最低的多项式乘以与新多项式相差的次数，然后用新多项式减去这个结果。

按照上一步进行循环一直到结果的次数低于一开始那个次数较低的多项式。就可以得到余式。

最后把较高次数的多项式减去余式，然后除以较低次数的多项式即可得到商。

2.3 多项式的最大公因式

f(x)和g(x)是F(x)上的两个多项式。如果存在F(x)上的一个多项式h(x)同时整除f(x)和g(x)，那么h(x)叫做f(x)与g(x)的一个公因式。

若h(x)能被f(x)和g(x)的任何一个公因式整除，那么h(x)是g(x)和g(x)的最大公因式。

最大公因式的性质：

F(x)的任意两个多项式f(x)与g(x)一定有最大公因式，除了一个零因式外，最大公因式是唯一确定的。

(Bezout等式)若h(x)是F(x)上的多项式f(x)和g(x)的公因式，那么在F(x)中可以求得多项式u(x)和v(x)，使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=h(x)

那么下面具体总结一下求多项式最大公因式的方法。

首先先通过一系列变化将两多项式的首项变成一样的。然后用本来次数较高的那个多项式减去次数较低的。得到一个新多项式。

把这个多项式乘以一个常数，使得这个多项式的首项系数的绝对值与次数较低的那一个多项式的首项系数相同。

两式相减的到第二个新多项式。

然后用这个多项式除原本那个次数较小的多项式。以此类推，直到次数为1或0，检验最后的结果是否能整除第一个新多项式。如果能整除，那这个结果就是两多项式的最大公因式。

2.4 多项式的分解

可约与不可约：f(x)是F(x)上次数大于零的多项式在数域F只有平凡因子，称f(x)在数域F 上不可约；若除了平凡因子外还有其他的因子，称f(x)在数域F上可约。