张量分析总结

一、知识总结

1张量概念

1.1指标记法

哑标和自由指标的定义及性质

自由指标：在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同。

性质：在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内重复出现

两次。

哑标：一个单项式内，在上标(向量指标)和下标(余向量指标)中各出现

且仅出现一次的指标

性质：哑标可以把多项式缩写成一项；自由指标可以把多个方程缩写成一个方程。

例:

A11x1A12X2A13X3B1

A21A22 X2A23X3B(1.1)

A31 X1A32X2A33X3B3

式(1.1)可简单的表示为下式：

A j X j

B (1.2)

其中：i为自由指标，j为哑标。特别区分，自由指标在同一项中最多出现一次，表示许多方程写成一个方程；而哑标j则在同项中可出现两次，表示遍历求

和。在表达式或者方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项中出现两次。

1.2 Kron ecker 符号

定义ij为：

ij 1, i j

0, i j

(1.3)

的矩阵形式为:

1 0 0

j

0 1 0 (1.4)

0 0 1

可知j j ii »

3。S 符号的两指标中有一个与同项中其它因子的指标

相同时，可把该因子的重指标换成

S 的另一个指标，而S 符号消失。如：

ij jk ik ij jk kl il

的作用：更换指标、选择求和

1.3 Ricci 符号

为了运算的方便，定义Ricci 符号或称置换符号:

1, i, j,k 为偶排列 l jk 1, i,j,k 为奇排

列

0,

其余情况

图1.1 i,j,k 排列图

l jk 的值中，有3个为1，3个为-1，其余为0。Ricci 符号(置换符号)是 与任何坐标系都

无关的一个符号，它不是张量。

1.4坐标转换

图1.2坐标转换

(1.5)

(1.6)

如上图所示，设旧坐标系的基矢为e，新坐标系的基矢为e。有ee j e'e j j e在e下进仃分解：e i'i e,「2曳i 3氏i' j e j

, Illi

e j在e 下进行分解：e j i'j e ?jQ 3，j e3 ^e

其中，i'j cos(e,q) e e j e j e为新旧坐标轴间的夹角余弦，称为坐标

转换系数。空间点P在新老坐标系矢径：

r X i e

r X j e j (1.7)

r r r o

其中r°为上图中坐标原点的位移矢量。

将r向新坐标轴上投影的矢量的分量：

I I I I I I I

re XkQ e X k ki X i

即(r o r) e' (X k)oS e i X j e j e (xQ o ki X j ij(x；)。X j i j

由此得新坐标用老坐标表示的公式：

X i (X i)o X j ij (1 8)类似地，将i向老坐标上投影，可以推导出老坐标用新坐标表示的公式：

X j (x j)o X i' ij (1.9)特别的，当新旧坐标原点重合时，也即坐标轴仅发生旋转，此时(X i')0 0，

上两式的矩阵形式为:

X X

X T ' 1 '

X X 由上可知，T 1 ，是正交矩阵，则

e i' e'j i'l e j'k e k i'l j'k Ik i'k j'k

1 1

e i e j i'j'

同理，可推出：k

'i k'j

ij

将老坐标到新坐标的坐标转换称为正转换,

(1.10) 1。综合以上可知：

(1.11)

X i' X i'(X j)；将新坐标到老坐标的坐标转换称为正转换，X j X j(X i)

dx i X X

于冷，其中为常数，称J为雅克比行列式。若J处处不为

0，贝顷明存在相应的逆变化，即:

X X j j X

j

X i

1.5张量的分量坐标转换规律

1.5.1 一阶张量

一阶张量在新老坐标系中的分解为:

a a j e a)e j 其中：

e j ij e i 则：

a a i e i a j ij e i

得到：

a i a j ij

同理：

e ij e j (1.12) (1.13) (1.14) (1.15) (1.16)

得：

a j ij a i

矢量是与一阶基矢相关联的不变量，可表示为一阶基矢的线性组合，

(1.17) 此组合

与坐标系的选择无关，故为一阶张量，标量为零阶张量。

1.5.2 二阶张量

定义e i e j 为二阶基矢，写在一起，不作任何运算。由下式：

e i i j e j

e j i j e i

可得坐标变换时二阶基矢的转换规律为：

e i e j i m j n e m e n

e m e n i m j n e i e j

又：

ab a i e i b j e j a i e i b j e j

记：

B ij a i b j ，B ij a i b j

则：

ab B ij e i e j B ij e i e j

该式表示a 与b 并乘为一个坐标不变量，称为二阶张量。记为：

B B ij e i e j B ij e i e j

将式(1.13) 代入上式可得：

B ij im jn B mn

B

mn im j n B ij

(1.18)

(1.19)

(1.20)

(1.21)

(1.22)

(1.23)

(1.24)

此分量转换可进一步推广到高阶张量。

张量与坐标轴选择无关，故可独立于坐标系来表述