第九章二次型掌握二次型及其矩阵的定义.ppt

j2
j2
n
nn
a11( a111a1 j x j )2
aij xi x j
j2
i2 j2
配方 法
n
n
nn
a11[ x1 ( a111a1 j x j )]2 a111( a1 j x j )2
aij xi x j
j2
j2
i2 j2
n
nn
a11[ x1 ( a111a1 j x j )]2
nn
i1 a x x j1谢谢i阅j 读i j
4
2）分析： 令
a11
A
a21 L
an1
a12 ... a1n a22 ... a2n L L L an2 ... ann
x1
,
令X
x2 M
,
xn
其中矩阵A称为二次型 f ( x1, x2 ,L , xn )的矩阵.
a11 a12 ... a1n x1
bij yi y j .
i2 j2
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nn
由归纳假设，对
bij yi y j 有非退化线性替换
i2 j2
z2 c22 y2 c23 y3 L c2n yn
z3 c32 y2 c33 y3 L c3n LLLLLLLLLL
zn cn2 y2 cn3 y3 L cnn
计算
X AX
(
x1
,
x2
,
...,
xn
)
a21 L
a22 L
... L
a2n L
xM2
an1 an2 ... ann xn
n
a1 j x j
( x1, x2 ,..., xn )
j1 n
a2 j x j
j1
M
n
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anj x j
j1
5
n
a1 j x j
1 1
2 2
x1 x2
f x1, x2, x3 x12 2x22 2x1x2 2x1x3
2）求下列矩阵的二次型
1 3 0
A
3 0
0 2
2 1
4、定义: 二次型f ( x1, x2,..., xn ) X AX的秩是指：A的秩
1）例，求下列二次型的秩
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f ( x1, x2 , x3 ) 2谢x谢12阅读 3x1 x2 x1 x3
x2 M
xn
p21 L pn1
p22 ... LL pn2 ...
p2n L pnn
y2 M yn
x1
令X
x2 M
xn
p11
,
P
p21 L
pn1
p12 ... p22 ... LL pn2 ...
p1n p2n L pnn
y1
,Y
y2 yMn
g( y1, y2 ,..., yn ) (PY ) A(PY ) Y (PAP)Y
令— —B— —— —P— —AP Y BY 又 B (PAP) PAP PAP B
即，B为对称矩阵. g( y1, y2 ,..., yn ) Y BY 也是二次型.
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5、总结： f ( x1, x2 ,..., xn ) X AX 非奇异X PY
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一、二次型及其矩阵
1、定义：设F是一个数域，F上n元二次齐次多项式 f (x1, x2 ,L , xn ) a11x12 a22x22 L ann xn2 2a12 x1x2 2a13x1x3 L 2an1,n xn1xn 叫做F上的n 元二次型，简称二次型
注：（1）二次型的特点 ( i ) aij F （ii）每项都为二次项
1、二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型
d1 x12 d2 x22 L dn xn2
它的矩阵是对角阵
d1 0 L 0
diag(d1,d2 ,L
,dn)
0 L
d2 L LL
0 L
0 0 0 dn
2、问：任意二次型能否经过适当非退化线性替换化成
平方和的形式？若能，如何作非退化线性替换？
其中A
a21 L an1
a22 L an2
... L ...
a2n L ann
x1
,
X
x2 M
,
xn
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4）说明: 在二次型f ( x1, x2 ,..., xn ) X AX中
i）二次型的矩阵A是对称矩阵,即 A A.
（因 aij a ji ）
ii）二次型与它的矩阵相互唯一确定
yn yn
使它变成平方和 d2z22 d3z32 L dnzn2 于是，非退化线性替换
z1 y1
z2 c22 y2 c23 y3 L c2n LLLLLLLLLL
zn cn2 y2 cn3 y3 L cnn
yn yn
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就使 f ( x1, x2 ,L , xn ) 变成 f ( x1, x2 ,L , xn ) a11z12 d2z22 L dnzn2
y1－
n
a111a1 j y j
令
j2
y2 x2 M
或
j2
x2 y2 M
yn xn
xn yn
即,
x1 x2 xMn
1
0 M 0
a12
a11 1 M 0
L
L L 0
a1n
a11 0 M 1
y1 y2 yMn
,
它是非退化的，
nn
且使 f ( x1, x2 ,L , xn ) a11 y12
g( y1, y2 ,..., yn ) Y (PAP)Y
（1）问： f ( x1, x2 ,..., xn ) X AX 实施变量的 非奇异线性变换 X PY , 得到的二次型的矩阵为 PAP
（2）问： 经过变量的非奇异线性变换，二次型的秩
保持不变
（3）例： f ( x1, x2 ) 2x1x2,
的非奇异线性变换将其中一个变成另一个.
6、分析 ： 二次型 f X AX与二次型 g YBY等价
f X AX实施非奇异X PY可化为 g YBY
B PAP
A与B合同
7、结论： 两个二次型等价 它们的矩阵合同
8、问： 若两个二次型等价，则它们的秩 相等
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四、二次型的标准形
( x1,
x2 ,...,
xn )
j1 n
a2 j x j
j1
M
n
anj x j
j1
n
n
n
x1 a1 j x j x2 a2 j x j L xn anj x j
j 1
j 1
j 1
nn
aij xi x j
i1 j1
于是有 f ( x 1 , x 2 ,..., xn ) X AX .
9
二、变量的线性变换
1、定义：x1, x2 ,L , xn; y1, y2,L , yn 是两组变量, pij F
x1 p11 y1 p12 y2 L p1n yn
关系式
x2
xn
p21 y1 LLLL pn1 y1
p22 y2 L p2n yn LLLLLL pn2 y2 L pnn yn
2）aii 0,(i 1, 2,L , n), 但至少有一个 a1 j 0( j 1)
不妨设 a12 0, 作非退化线性替换：
x1 y1 y2
x2 x3
y1 y3
y2
LLLL
xn yn
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则 f ( x1, x2,L , xn ) 2
aij xi x j
（这表明二次型 f ( x1, x2 ,..., xn ) X AX 完全由对称矩阵A决定.)
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正因为如此，讨论二次型时矩 阵是一个有力的工具.
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3、例题: 1）求下列二次型的矩阵
f ( x1, x2 , x3 ) 2x12 3x1x2 x1x3
f ( x1, x2 ) ( x1, x2 )
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3）总结：
f (x1, x2 ,L , xn ) a11x12 a22x22 L ann xn2
2a12 x1x2 2a13x1x3 L 2an1,n xn1xn
nn
aij xi x j
i1 j1
（令 aij a ji ）
X AX
a11 a12 ... a1n
第九章 二次型
研究对象： 二次齐次多项式 (1)也叫二次型 (2)在数学和物理的许多分支都有重要应用
(3)展现矩阵的无穷魅力
9.1 二次型和对称矩阵
9.2 复数域和实数域上的二次型
9.3 正定二次型
9.4 主轴问题
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9.1 二次型和对称矩阵
学习目标： 1.掌握二次型及其矩阵的定义， 2.理解变量的线性变换 3.掌握矩阵合同的概念 4.掌握二次型的标准形
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3、定理：数域F上任一二次型都可经
过非退化线性替换化成平方和的形式.
证明： 对二次型变量个数n作归纳法.
n=1时，f ( x1) a11x12, 结论成立.
假定对n－1元二次型结论成立. 下面考虑n元
二次型 f ( x1, x2 ,L , xn ). 分三种情形来讨论：
L L ann xn2
n
nn
a11x12 2 a1 j x1x j
aij xi x j
j 1
i2 j2
n
nn
a11x12 2x1 a1 j x j
aij xi x j
j2
i2 j2
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n
n
a11[ x12 2 x1 a111a1 j x j ( a111a1 j x j )2 ]
3、性质: 若A与B合同, 则秩A = 秩B
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4、比较：合同，相似
A与B合同 存在可逆矩阵P可使PAP B 秩A=秩B
A与B相似 存在可逆矩阵P可使P1AP B 秩A=秩B AB fA(x) fB (x) 特征值相同
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5、定义： F上两个二次型等价，是指：可以通过变量
2、二次型的表示
1）分析： 约定aij=aji， f ( x1, x2 ,L , xn ) a11 x12 a12 x1x2 L L a1n x1xn
a21 x2 x1 a22 x22 L a2n x2 xn
L L L L Biblioteka Baidu L L L
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an1 xn x1 an2 xn x2 L ann xn2
1) aii ( i =1 , 2 , … , n ) 中至少有一个不为零，
不妨设
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a11
0
,
这时
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f ( x1, x2 ,L , xn ) a11x12 2a12 x1x2 L 2a1n x1xn
a22 x22 L L 2a2n x2 xn a33 x32 L 2a3n x3 xn
bij xi x j
j2
i2 j2
nn
n
nn
这里，
bij xi x j a111( a1 j x j )2
aij xi x j
i2 j2
j2
i2 j2
是一个. x2 , x3 ,L , xn 的n－1元二次型.
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y1 x1
n
a111a1 j x j
x1
称为 变量的线性变换
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2、分析：
x1 p11 y1 p12 y2 L p1n yn
变量的线性变换
x2 xn
p21 y1 LLL pn1 y1
L
p22 y2 L p2n yn LLLLLL pn2 y2 L pnn yn
x1 p11 p12 ... p1n y1
(2)例：下列是否二次型
(i) x12 2x1x2 x2 3 答:不是
(ii)
2x13
3x2 1
x2
x1x2 x3
答:不是
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(iii) 2x12 3x1谢x谢3 阅读
答:是
3
f (x1, x2 ,L , xn ) a11x12 a22x22 L ann xn2 2a12 x1x2 2a13x1x3 L 2an1,n xn1xn
x1 x2
1 1
1 1
y1 y2
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三、矩阵的合同
1、定义：设A，B为n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P，可使
PAP B, 则称B与A合同。
2、基本性质 ① 自反性： 任意矩阵A都与自身合同
② 对称性： 如果B与A合同，那么A也与B合同
③ 传递性： 如果 A 与 B 合同，B 与 C合同， 那么A 与 C合同。
X PY
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3、定义： 若矩阵P非奇异（可逆，非退化），
则称变量的线性变换X PY是非奇异的 （可逆的，非退化的）
注： X PY 是非奇异的 矩阵P可逆
P 0
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4、分析： f ( x1, x2,..., xn ) X AX
非奇异X PY