5.8同态与同构

同态核
1.定义5-8.4:设f是由群<G,*>到群<G’,*>的同态,e’是
G’ 的 幺 元 , 称 ker(f)={x|xGf(x)=e} 为 f 的同态核。
例:f:<I,+><N5,+5>,xN,f(x)=x mod 5，
则x,yI,f(x+y)=(x+y)mod 5 =x mod 5+5y mod 5=f(x)+5f(y)， f是从<I,+>到<N5,+5>的同态， ker(f)={x|xIf(x)=0}={…-10,-5,0,5,10,}。
同态像的性质
定理5-8.2设f是代数系统<A,*>到代数系统<B,*’>的同态,则
1)若<A,*>是半群,则<f(A),*’>也是半群。 证:a,b,cf(A),x,y,zA,有a=f(x),b=f(y),c=f(z)， 则a*’b=f(x)*’f(y)=f(x*y)f(A)， 又a*’(b*’c)=f(x)*’(f(y)*’f(z)) =f(x)*’f(y*z)
由<A,*>是阿贝尔群可知：
x*y= y*x 故 a*’b=f(x)*’f(y)=f(x*y)=f(y*x)=f(y)*’f(x)=b*’a
即<f(A),*’>也是阿贝尔群。
注:1)同态像将继承原代数系统的所有性质。 2)若h是<A,*> 到 <B,*’> 的同态映射。<B,*’>不一定满足
<A,*>中的所有性质。
同态与同余关系
*推论:设H=ker(f),x1,x2,y1,y2G 若x1H=y1H,x2H=y2H,则（x1*x2)H=（y1*y2)H。 证明： 因为 x1H=y1H , x2H=y2H， h1,h2H , x1h1=y1h2，
f(x1)=f(y1),f(x2)=f(y2)。
由3知:<x1,y1>,<x2,y2>R， R是同余关系。 <x1*x2,y1*y2>R。 f(x1*x2)=f(y1*y2) f(x1*x2)*’f((y1*y2)-1)=e’ (x1*x2)*(y1*y2)-1H （x1*x2)H=（y1*y2)H 。
=f(源自文库*(y*z))
=f((x*y)*z)=f(x*y)*’f(z) =(f(x)*’f(y))*’f(z)=(a*’b)*’c 。
<f(A),*’>是半群。
同态像的性质
2)若<A,*>是独异点,则<f(A),*’>也是独异点. 证:af(A),则x,有a=f(x),eA,f(e)f(A)， a*’f(e)=f(x)*’f(e)=f(x*e)=f(x)=a， f(e)*’a=f(e)*’f(x)=f(e*x)=f(x)=a。 f(e)是<f(A),*’>的幺元, <f(A),*’>是独异点。 3)若<A,*>是一个群,则<f(A),*’>也是一个群.
同态与同构
2.同构关系是一个等价关系 定理5-8.1设G是代数系统的集合，则G中代数系统之间的同构关系是等价关系。 证明：1）（自反性）设〈A，﹡〉为任何代数系统。 作恒等映射f:A→A，则f是双射。并且a,b∈A有： f(a﹡b)=a﹡b=f(a)﹡f(b)。所以〈A，﹡〉≌〈A，﹡〉。 2）（对称性）设〈A，﹡〉≌〈B，☆〉。 则存在双射f:A→B，并且a,b∈A有： f(a﹡b)=f(a) ☆f(b) 。 所以f-1:B→A也是双射。 y1,y2∈B, 存在x1,x2∈A,使得f(x1)=y1,f(x2)=y2。 故有：f-1(y1☆y2)=f-1(f(x1)☆f(x2)) =f-1(f(x1﹡x2)) =x1﹡x2 =f-1(y1) ﹡f-1(y2) 。 因此〈B，☆〉 ≌ 〈A，﹡〉。 3）（传递性）设〈A，﹡〉≌〈B，☆〉，〈B，☆〉≌〈C，△〉。 则存在双射f:A→B和g:B→C,故g○f也为双射。 a,b∈A有： g○f(a﹡b)=g(f(a) ☆f(b)) =g(f(a))△g(f(b)) = g○f(a)△ g○f(b) 所以， 〈A，﹡〉≌〈C，△〉。 ＃
ak1=k2a aK Ka。同理Ka aK。 故左陪集等于右陪集。
注意:左陪集等于右陪集的子群称为不变子群（不作要求）。
同态核
*例1.证明恰好存在k个从<Nk,+k,0>到它自己的同态 证:1)证明每个自同态必有f(x)=xf(1)mod k形式 证:∵f是同态运算， ∴f(1)=1f(1)mod k f(2)=f(1+1)=f(1)+kf(1)=2f(1)mod k f (3)=f(1+2)=f(1)+kf(2)=3f(1)mod k f(0)=f(1+k-1)= f(1)+kf(k-1)= 0f(1)mod k ∴f(x)具有f(x)=xf(1)(mod k)形式。 2)∵f(1)可取0,1,,k-1之任一数， ∴有仅有k个从<Nk,+k,0>到它自己的不同的同态。
同态与同余关系
1.同余关系
定义5-8.5:
<A,>是一个代数系统,R是A上的等价关系,
若<a,b>R,<c,d>R<ac , bd>R，
称R是A上的同余关系，此同余关系将A划分
的等价类称为同余类。
同态与同余关系
例1：<I,+>，在I上定义R:<x,y>R|x|=|y|, 问R是<I,+>的同余关系否? 解:1)自反性：xI,|x|=|x|<x,x>R。 2)对称性：x,yI，若<x,y>R则|x|=|y|<y,x>R。 3)传递性：x,y,zI，若 <x,y>R,<y,z>R|x|=|y|=|z|<x,z>R。 R是一等价关系。 x1,y1,x2,y2I，若<x1,y1>R,<x2,y2>R， 但<x1+x2,y1+y2>R不一定成立。 只需举一个反例：如<1,-1>R,<2,2>R但<1+2,-1+2>R， R不是同余关系。 例：I上的模n同余关系。
同态与同构
3.同态定义
定义5-8.1 设A=<S,*>和A’=<S’,*’>，若
(1)h:SS’是一函数。
(2)a,bS，有h(a*b)=h(a)*’h(b)
则称h是从A到A’的一个同态函数,若h是单射,满
射,双射,则分别称h是单一同态,满同态,同构。
特别地，若A=A’,且h是同构,称h是自同构。
同态与同构
例1.a)fk: II,fk(x)=kx，其中I为整数集合。 ∵fk (x1+x2)=k(x1+x2)=kx1+kx2=fk (x1)+fk (x2) fk是从<I,+>到<I,+>的自同态,若k0,则fk是单一同态,若 k=1,则fk是<I,+>到<I,+>的自同构。 b)证明： 存在<N,+>到<Nk,+k>的满同态， 证：f :NNk(k>0) ， f(x)=x mod k，则f为漫射。 设x1=lk+ h1,x2= mk + h2 (h1,h2<k)， 则∵f(x1+x2)=(x1+x2)mod k =(h1+h2)mod k =h1+kh2 = f(x1)+kf(x2)。 f(x1+x2)=f(x1)+kf(x2) 。 又∵f是满射 f是<N,+>到<Nk,+k>的满同态。
5.8
1.同构定义 1)存在从S到S’的双射函数h,
同态与同构
定义5-8.2代数系统A=<S,*>和A’=<S’,*’>，若 2)a,bS有h(a*b)=h(a)*’h(b)，则称代数系统A与代 数系统A’是同构的,记为<A,*>≌<A’,*’>。 A=<S,*>到自身的同构叫做A=<S,*>的自同构。 注:1)A与A’同构,则调换符号能从A得到A’,可以认为它们是相同 的代数系统。 2)若e是A的幺元,则h(e)是A’的幺元 。 ∵ yS’,xS,使得 y=h(x)。y*’ h( e)=h(x) *’ h(e)=h(x*e)=h(x)=y。
同态与同余关系
2.同余关系可以诱导出一个同态映射 定理5-8.4:设<A,*>,R是A上的同余关系,B={[a]|aA}是由R诱导的划分,则必存 在同态映射f , 使<B,*’>是<A,*>的同态像。 证:1)构造在B上运算*’ 定义：[a],[b]B, 有 [a] R *’[b] R =[a*b] R 先证明此定义是合理的,即它确实是一个运算。 若[a1] R =[a2] R ,[b1] R =[b2] R 则<a1,a2>R,<b1,b2>R。 因为R是同余关系<a1*b1,a2*b2> R 即[a1*b1] R =[a2*b2] R 。 *’确实是一个运算。 2)构造映射f: AB ，aA,f(a)=[a] R ，再证f是一个同态映射， x,yA,f(x*y)=[x*y] R=[x] R*’[y] R=f(x)* ’ f(y)， f是从AB的同态， 又[a] RB,aA有f(a)=[a] R。 f是满同态 ， 证毕 。 注：<B,*’>是<A,*>的同态像,同态映射也称为规范映射。
<R+,>同构于<R,+>。
同态与同构
例2.证明<R-｛0｝,×>和<R,+>不同构。
证:（反证法）设h是<R,+>到<R-｛0｝,×>的一个同构映射, b∈R-｛0｝,必存在a∈R,使得h(a)=b,
则:b=h(a)=h(0+a)=h(0)×h(a)=h(0)×b
b=h(a)=h(a+0)=h(a)×h(0)=b×h(0),所以h(0)=1。 对于-1∈R-｛0｝,必存在c∈R,使得h(c)=-1, 且h(c+c)=h(c)×h(c)=-1×-1=1,故有c+c=0,即c=0, h(0)=-1, 这与h(0)=1是矛盾,所以h不是双射。 <R-｛0｝,×>和<R,+> 不同构。
同态核
2.定理5-8.3: f是群<G,*>到<G’,*’>的同态,则< ker(f) ,*>是群 <G,*>的子群;若令K= ker(f),则a K=K a。
证: 1)x,yker(f),则f(x)=e’,f(y)=e’， f(x*y)=f(x)*’f(y)=e’*e’=e’， x*yker(f)。 2)xker(f),则因f(x-1)=f(x )-1 =(e’)-1=e’， x-1ker(f) < ker(f) ,*>是群<G,*>的子群。 3)令k=ker(f),aG,设f(a)=a’, k1K 则f(ak1a-1)=f(a)*’f(k1)*’f(a-1)=f(a)*’f(a-1)=f(e)=e’ 即: k2K,有ak1a-1=k2
同态与同构
思考： <N,+>与<N-｛0｝, ×>不同构。 （思路：设f:N→ N-｛0｝ 为同构映射，证明f不是双射。） 例3.证明<N,+>同构于无限阶循环群<G,*>。 证: G={g0,g1,g2,g3,} ，f:NG,f(n)=gn， 则 f为双射函数。
又因为 f(n1+n2)=gn1+n2 =gn1*gn2 =f(n1)*f(n2)。
证:f(x)f(A)，
f(x)*’f(x-1)=f(x*x-1)=f(e) ， f(x-1)*’f(x)=f(x-1*x)=f(e)， f(x)-1=f(x-1)，即<f(A),*’>也是一个群。
同态像的性质
4)若<A,*>是阿贝尔群,则<f(A),*’>也是阿贝尔群.
证: a,bf(A) x,yA,使得：a=f(x),b=f(y)
类似可证：若o是A的零元,则h(o)是A’的零元。
同态与同构
例1.证<R+ , >同构于<R,+>。
证:i)令h:R+R,h(x)=lgx 则因为对数函数单调增，
h是单射。
yR,x=10y，使y=lg10y =h(x) ， h是满射。 h是从R+到R的双射。 ii)h(ab)=lg（ab）=lga+lgb=h(a)+h(b)
同态与同余关系
3.任一同态映射可诱导一个同余关系 定理5-8.5: 设f是代数系统<A,*>到<B,*’>的同态, 定义A上的关系R:<a,b>Rf(a)=f(b), 那幺，R是A上的一个同余关系。 证:1)易证R是一个等价关系。 2)<a,b>R,<c,d>R， f(a)=f(b),f(c)=f(d)， 则f(a*c)=f(a)*’f(c)=f(b)*’f(d)=f(b*d)， <a*c,b*d>R。 R是A上的同余关系。