高等数学PPT课件：分部积分法

例8 a2 x2dx x a2 x2 x d a2 x2
u
x a2 x2
x2 dx a2 x2
x
a2 x2
a2 x2 a2 dx
a2 x2
x a2 x2 a2 x2dx a2 arcsin x a
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a2 x2dx x a2 x2 a2 arcsin x C.
分部积分法
分部积分法
一、分部积分公式
xe xdx x ln xdx arcsin xdx
特点 被积函数是两个不同函数的乘积 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数u u( x)及v v( x) 具有连续导数.
(uv) uv uv uv (uv) uv 两边积分
uvdx uv uvdx udv uv vdu
u,dv 选择不当, 积分更难进行.
法二 u x, dv cos xdx
du dx, v sin x
xcos xdx x dsinx xsin x sin x dx
x sin x cos x C
2
分部积分法
例2 求 x2e xdx.
udv uv vdu
解 x2e xdx x2 d(e x ) x2e x e xd( x2 )
2
2
a
8
分部积分法
1
x
2
x
2
arctan
xdx
1
1
x2 x2
1arctan
xdx
arctan
xdx
1
1 x2
arctan
xdx
或取u
arctan
x,
dv
1
x
2
x
2
dx
d( x arctan x)
试比较一下哪种做法简单.
9
分部积分法
思考题
分部积分
已知f ( x)的一个原函数为ex2 , 求 xf ( x)dx
解 x f ( x)dx xdf ( x) x f ( x) f ( x)dx
f ( x)dx ex2 C
两边同时对x求导， f ( x) 2xex2
xf ( x)dx xf ( x) f ( x)dx
2x2ex2 e x2 C
10
e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xde x
u
u dv
e x sin x (e x cos x e xdcos x)
e x (sin x cos x) e x sin xdx 注意循环形式
e x sin xdx e x (sin x cos x) C
x2e x 2 xe xdx
（再次使用分部积分法）
x2e x 2 x d(e x )
x2e x 2( xe x e xdx) C
x2e x 2 xe x 2e x C
3
分部积分法
udv uv vdu
例3 x arctan xdx.
arctan
x
d
x2 2
u x, dv arctan xdx
2 6
分部积分法
例7 x tan2 xdx
x(sec2 x 1)dx
x sec2 xdx xdx
u dv
xdtan x xdx x tan x tan xdx xdx
x2 x tan x ln cos x C
2
7
分部积分法
曾用换元积分做过, 现可用分部积分做!
分部积分公式
1
分部积分法
二、例 题
udv uv vdu
恰当选取u和dv使
例1 解
求 x cos xdx .
法一 u cos x,
dv
vdu比
xdx, v
udv 易求.
x2 ,
du sin xdx,
2
xcos xdx
cos
x
d(
x2 2
)
x 2 cos x 2
x2 sin xdx 2
1 x4 ln 4
x
1 4
x4d(ln
x)
1 x4 ln x 4
1 4
x
3dx
1 x4 ln x 1 x4 C
4
16
udv uv vdu
5
分部积分法
例5 求 e x sin xdx.
解
e
x
sin
xdx u
sin u
xde x dv
e x sin x e xd(sin x)
du dx, v
x2 2
arctan
x
x2 2
darctanx
x2 2
arctan
x
x2 2
1
1 x2
dx
x2 arctan x 2
1 2
(1
1
1 x
2
)dx
x2 arctan x 1 x 1 arctan x C
2
22
4
分部积分法
例4 x3 ln xdx.
1 4
ln
x
dx4