积分变换 课件

付氏级数，在fT(t)的连续点处，级数的三角形成为
2 其中 称为频率，频率ω对应的周期T与 T
a0 fT (t ) (an cos nt bn sin nt ) 2 n1 (1.1.1)
fT(t)的周期相同，因而称为基波频率，nω称为fT(t)
的n次谐波频率。
2 T a0 2T fT (e)dt T 2

可见d-函数和任何连续函数的乘积在实轴上的 积分都有明确意义。
(三)δ函数及其付氏变换
1.δ 函数的定义 (1)(狄拉克)满足一列两个条件的函数称为 δ 函数。 1 d (t ) 0, t 0
2 d (t )dt 1

(1.2.3)
(2)普通函数序列极限形式的定义
F (w) f (t )e
jwt
dt
1 f (t ) 2



F ( w)e jwt dw
并称F(ω)为f (t)的象函数 或付里叶变换，记为 F[f(t)]；称f (t)为F(ω)的象 原函数或付里叶逆变换， 记为F-1[F(ω)]
1, t 1 例 1 求矩形脉冲函数 f (t ) 的付氏变换及其积分 0, t 1
由上面两个函数的变换可得



e e
j t
d t 2d ( ) d t 2d ( 0 )
j( 0 ) t

(四)付氏变换的物理意义——频谱
1.非正弦的周期函数的频谱
a0 f (t ) (an cos nwt bn sin nwt) 2 n1
例2 证明e
j0t
和2d ( 0 )构成一个傅氏变换对。
1 j t 证：f (t ) F ( )e d 2 1 j0t j t j t 2d ( 0 )e d e 0 e . 2 j0t 即e 和2d ( 0 )构成了一个傅氏变换对。
j t
jt
0
1
3.δ函数在积分变换中的作用 (1)有了δ 函数，对于点源和脉冲量的研究就 能够象处理连续分布的量那样，以统一的方式来 对待。 (2)尽管δ 函数本身没有普通意义下的函数值， 但它与任何一个无穷次可做的函数的乘积在(∞,+∞)上的积分都有确定的值。 (3)δ 函数的付氏变换是广义付氏变换，许多 重要的函数，如常函数、符号函数、单位阶跃函 数、正弦函数、余弦函数等是不满足付氏积分定 理中的绝对可积条件的(即 f (t ) dt 不存在)，这些 函数的广义付氏变换都可以利用δ 函数而得到。
An 2 Cn
这种频谱图称为离散频谱，也称为线状频谱
例4 求正弦函数f (t)=sin0t的傅氏变换。
F ( ) F [ f (t )] e jt sin 0t d t



e
j0t

e 2j
j0t
e
jt
1 j( 0 ) t j( 0t d t (e e )d t 2 j
F [d (t )] F ( ) d (t )e jt d t e jt
t 0
1
于是d (t)与常数1构成了一傅氏变换对. 1 it 1 d (t ) F [1] e d eit d 2d (t ) 2
称实系数R上的实值函数 f（t） 在闭区间[a,b]
上满足狄利克莱（DirichL et）条件，如果它满足条 件： ⑴ 在[a,b]上或者连续，或者只有有限个第一
类间断点； ⑵ f（t）在[a,b]上只有有限个极值点。
T T 从T为周期的周期函数fT(t)，如果在 2 , 2 上 T T 满足狄利克雷条件，那么在 , 上fT(t)可以展成 2 2
表达式。
F ( )


f (t )e
it
dt e
1
1
it
e dt i
it 1
1
1 i i 2sin e e i
1 1 it f (t ) F ( )e d 0 F ( )cos td 2 1 2sin 2 sin cos t cos td d

0


0

| t | 1 2 sin cos t d 4 | t | 1 0 0 | t | 1 因此可知当 t 0 时, 有
sin x 0 x d x 0 sinc( x) d x 2 sin 另外，由 F =2 可作出频谱图:
函数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电
流强度, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记
成d-函数: d t 0 t 0
t 0
有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技 术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的 量那样, 以统一的方式加以解决.
积分变换
第一章 付里叶变换
§1.1 付氏积分 §1.2 付氏变换 §1.3 付氏变换的公式和性质
§1.4 卷积与相关函数
第二章 拉普拉斯变换
§2.1 拉普拉斯变换的概念
§2.2 拉氏变换的基本公式和性质 §2.3 拉氏逆变换 §2.4 拉氏变换的应用
第一章
(一)付氏级数
付里叶变换
§1.1 付氏积分
(二)付氏级数的复指数形式
fT (t )
n
Cne jwnt

(三)付氏积分
任何一个非周期函数f (t)都可以看成由某个周 期函数fT(t)当T→+∞时转化而来的。
即 Tlim fT (t )
f (t )
1 f (t ) 2
f (t )e jwt dt e jwt dw
e jnt cosnt j sin nt (1.3.9) 1 jnt cos nt (e e jnt ) (1.3.10) 2 1 sin nt (e jnt e jnt ) (1.3.11) 2j
2.2 单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲 函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在 电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势 作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统 受冲击力作用后的运动情况等. 研究此类问题就 会产生我们要介绍的单位脉冲函数.
an cosnwt bn sin nwt an bn sin(nwt n )
2 2
An an bn
2
2
n 1,2,;
f (t )
Cn
n
C e
n

jwn t
an jbn , 2
2
C n
2
an jbn 2
Cn Cn
an bn 2
其中
d (t ) lim d (t )
0
0, t 0; d (t ) 1 ,0 t 0, t
(3)广义函数形式的定义 若f (t)为无穷次可积函数，则

f (t )d (t t0 )dt f (t0 )
d-函数的傅氏变换为:
例1 证明：1和2d ()构成傅氏变换对.
F 证法1： 1 1 e
jt
dt s t e js ds 2d .


证法2：若F()=2d (), 由傅氏逆变换可得
1 f (t ) 2



2d ( )e d e
0 ( j ) t
e e
t j t
1 j dt 2 j 2
Hale Waihona Puke Baidu
t
1 1 jt f (t ) F ( )e d 2 2 1 cos t sin t d 2 2 0
F
k sin 0
2

2
3

0, t 0 例2 求指数衰减函数f (t ) t 的傅氏变换及其 e , t 0 积分表达式, 其中 0. f (t)
F ( )
0

f (t )e jt d t dt e



j jt e d 2 2
0 cos t sin t 因此 d / 2 2 2 0 e t
t0 t 0 t 0
(二)尤拉公式及尤拉公式推出的几个公式
e jnt cosnt j sin nt (1.3.8)
0 t0 d(t) 1 给函数序列 d (t ) 0t ， 1/ 0 t O 0 t 0 定义 d (t ) lim d (t ) 。 0 t 0




d (t )d t lim d (t )d t lim

这个公式称为函数f (t)的付里叶积分公式
付氏积分定理 若f (t)在(-∞，+∞)上满足下列 条件： 1°在任一有限区间满足狄利克雷条件； 2° f (t ) dt

则积发 F (w) f (t )e jwt dt 存在,并且在f (t)的连续点处
1 f (t ) F ( w)e jwt dt 而在f (t)的间断点t0处，应以 2 1 f (t0 0) f (t0 0) 代替该式左端的f (t)。 2
2 T d n 2T fT (e)dt (n 1,2,3,) T 2
2 T bn 2T fT (t ) sin ntdt (n 1,2,3,) T 2
在fT(t)的间断点t0处，式(1.1.1)的左端代之为
1 f (t0 0) f (t0 0) 2

注 非周期函数满足付氏积分定理的条件1°， 才能保证函数在任意有限区间上能展为付氏级数。 满足付氏积分定理的第2°条,才能保证 存 lim fT (t ) T 在。
§1.2 付氏变换
(一)定义1.1.1 设f (t)和F(ω)分别是定义在 R上的实值和复值函数，称它们是一组付里叶变 换对，如果成立
在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0) 进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流 i(t). 以q(t)表示上述电路中的电荷函数, 则
0, t 0; q(t ) 1, t 0.
d q(t ) q(t t ) q(t ) i (t ) lim t 0 dt t
0


1
0 0

dt 1
（在极限与积分可交换意义下） 工程上将d-函数称为单位脉冲函数。
可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个线段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数 的强度.
d (t)
1 O

d-函数有性质：
t



（f t 为连续函数）
d (t ) f (t )d t f (0) 及 d (t t0 ) f (t )d t f (t0 ) .
当t0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从而在
普通导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的.
如果我们形式地计算这个导数, 则得
q(0 t ) q(0) 1 i (0) lim lim t 0 t 0 t t
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个