3.3.1 二元一次不等式与平面区域练习题及答案解析

1．不在3x ＋2y ＜6表示的平面区域内的点是( ) A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,2) D ．(2,0) 答案：D

2．不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x －y ＋5≥0x ＋y ≥0

2≤x ≤3表示的平面区域是一个( )

A ．三角形

B ．直角梯形

C ．梯形

D ．矩形

解析：选C.画出不等式组所表示的平面区域即可．

3．原点O (0,0)与点集A ＝{(x ，y )|x ＋2y －1≥0，y ≤x ＋2,2x ＋y －5≤0}的关系是________，点M (1,1)与集合A 的关系是________．

解析：将点(0,0)代入集合A 中的三个不等式，不满足x ＋2y －1≥0，故O ?A ，同样将M 点代入，得M ∈A .

答案：O ?A M ∈A

4．画出下列不等式组表示的平面区域： (1)⎩

⎪⎨⎪⎧

4x －2y －2＞0，x －2y －5≤0； (2)⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＋3y ≥0，x ＋3y －3＜0. 解：

一、选择题

1．图中表示的区域满足不等式()

A．2x＋2y－1＞0 B．2x＋2y－1≥0

C ．2x ＋2y －1≤0

D ．2x ＋2y －1＜0 答案：B

2．不等式组⎩

⎪⎨⎪⎧

x ≥2

x －y ＋3≤0表示的平面区域是下列图中的( )

答案：D

3．如图阴影部分用二元一次不等式组表示为( )

解析：选－y ＋4≤0在直线2x －y ＋4＝0上及左上方，故D 错，A 、C 均缺y ≥0，A 还缺x ≤0.

4．设点P (x ，y )，其中x ，y ∈N ，则满足x ＋y ≤3的点P 的个数为( ) A ．10 B ．9 C ．3 D ．无数

解析：选A.当x ＝0时，y 可取0,1,2,3有4个点；

当x ＝1时，y 可取0,1,2有3个点； 当x ＝2时，y 可取0,1有2个点；

当x ＝3时，y 可取0，有1个点，故共有10个点，选A.

5．已知点(－3,1)和(0，－2)在直线x －y －a ＝0的一侧，则a 的取值范围是( ) A ．(－2,4) B ．(－4,2) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞) 解析：选D.(－3－1－a )(0＋2－a )＞0， 即(a ＋4)(a －2)＞0，∴a ＞2或a ＜－4.

6．在平面直角坐标系中， 若不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y －1≥0x －1≤0

ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的

面积等于2，则a 的值为( )

A ．－5

B ．1

C ．2

D ．3

解析：选D.如图，

由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝ax ＋1，x ＝1，

得A (1，a ＋1)，

由⎩

⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y －1＝0，得B (1,0)，

由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝ax ＋1，x ＋y －1＝0，

得C (0,1)． ∵△ABC 的面积为2，

∴S △ABC ＝1

2(a ＋1)＝2，

∴a ＝3.

二、填空题

7．下面四个点中，位于⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＋y －1＜0

x －y ＋1＞0表示的平面区域内的点是______．

(1)(0,2) (2)(－2,0)

(3)(0，－2) (4)(2,0) 答案：(3)

8．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y －2≤0x －y ＋2≥0

y ≥0

表示的平面区域的面积是________．

解析：不等式组表示的平面区域是三角形，如图所示，则该三角形的面积是1

2×4×2＝

4.

答案：4

9．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是__________．

解析：画出直线2x －3y ＋6＝0如图，再作直线x ＝－2，与直线2x －3y ＋6＝0交于点A (－2，23)．因为点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t ＞2

3

.

答案：t ＞2

3

三、解答题

10．在△ABC 中，各顶点坐标分别为A (3，－1)、B (－1,1)、C (1,3)，写出△ABC 区域所表示的二元一次不等式组．

解：如图所示．

可求得直线AB 、BC 、CA 的方程分别为x ＋2y －1＝0，x －y ＋2＝0,2x ＋y －5＝0. 由于△ABC 区域在直线AB 右上方， ∴x ＋2y －1≥0；在直线BC 右下方， ∴x －y ＋2≥0；在直线AC 左下方，

∴2x ＋y －5≤0.∴△ABC 区域可表示为⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋2y －1≥0，x －y ＋2≥0，

2x ＋y －5≤0.

11．画出不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋2y －1≥02x ＋y －5≤0

y ≤x ＋2

所表示的平面区域并求其面积．

解：如图所示，其中的阴影部分便是欲表示的平面区域．

由⎩

⎪⎨⎪⎧

x －y ＋2＝0，2x ＋y －5＝0，得A (1,3)．

同理得B (－1,1)，C (3，－1)． ∴|AC |＝

22＋42＝25，

而点B 到直线2x ＋y －5＝0距离为

d ＝|－2＋1－5|5＝65，

∴S △ABC ＝12|AC |·d ＝12×25×6

5

＝6.

12．

该厂有工人200150 t ，请在直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许的产量的范围．

解：设每天分别生产甲、乙两种产品x t 和y t ，生产x t 甲产品和y t 乙产品的用电量是(2x ＋8y ) kw·h ，根据条件，有2x ＋8y ≤160；用煤量为(3x ＋5y ) t ，根据条件有3x ＋5y ≤150；用工人数为(5x ＋2y )≤200；另外，还有x ≥0，y ≥0.综上所述，

x 、y 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧

2x ＋8y ≤160，

3x ＋5y ≤150，

5x ＋2y ≤200，

x ≥0，y ≥0.