第七章_弹性力学平面问题的极坐标系解答

y
符合轴对称问题（平面应力问题） 。
2.1 轴对称问题的特点
1. 2.
截面的几何形状为圆环、圆盘。 受力和约束对称于中心轴,因此，可知体积力分量
fθ=0 ； 在边
4
界上
3.
r=r0
： Fθ = 0 , uθ = 0 （沿环向的受力和约束为零） 。
导致物体应力、应变和位移分布也是轴对称的：
在V内
uθ=0，γrθ=0，τrθ=0, ur=ur(r)，σr=σr(r), σθ=σθ (r), εr=εr (r), εθ=εθ (r).
1 A − (1 + ν ) + 2Cr (1 − ν ) E r
，
τ rθ = 0
uθ = 0
A、C 由两个力的边界条件确定。
对于无体力圆盘（或圆柱）的轴对称问题， 则根据圆盘（或圆柱）中心应力和 位移有限值,得 q
A=0
9
图示圆盘受力情况，得应力为
2.3
σr=σθ=2C= -q
θ
r P y
x
σ σθ ,τrθ=τθ r 应变：εr, εθ ,γrθ=γθ r
应力： r, 位移：u r
, uθ
直角坐标与极坐标之间关系:
y=rsinθ ∂ ∂ ∂r ∂ ∂θ ∂ sin θ ∂ = + = cos − ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂r r ∂θ
x=rcosθ,
∂ ∂ ∂r ∂ ∂θ ∂ cosθ ∂ = + = sin θ − r ∂θ ∂y ∂r ∂y ∂θ ∂y ∂r
1 (σ r − νσ θ ) ， E
或
σr =
E (ε r + νεθ ) ， 1 −ν 2
1 (σ θ − νσ r ) E E σθ = (ε θ + νε r ) 1 −ν 2
εθ =
平面应变问题时弹性系数替换。
5. 按位移法求解
将
σr、σθ
用 ur 表示，并代入平衡微分方程，
对于平面应力问题
，
τ rθ = 0
，
自然满足平衡微分方程，则应力函数φ 相容方程，即
(r)应满足的基本方程为
1 dφ d 2φ ∇ (σ r + σ θ ) = ∇ ( + 2 ) = ∇ 2 ∇ 2φ = 0 r dr dr
2 2
或
∇ 4φ = 0 ——四阶变系数的微分方程（尤拉方程）
7
而
d 2φ 1 dφ 1 d 2φ dφ 1 d dφ ∇φ= 2 + = (r 2 + ) = (r ) dr r dr r dr dr r dr dr
1.1 平衡微分方程
∂σ r 1 ∂τ θr 1 + + (σ r − σ θ ) + f r = 0 ∂r r ∂θ r
∂τ rθ 1 ∂σ θ 2τ rθ + + + fθ = 0 ∂r r ∂θ r
1
1.2
几何方程
εr =
∂u r ∂r
，
εθ =
u r 1 ∂uθ + r r ∂θ
，
γ rθ =
其中
∂2 1 ∂ 1 ∂2 ∇＝ 2 + + r ∂r r 2 ∂θ 2 ∂r
2
力的边界条件如前所列。
1.8
应力函数解法
当体力为零 fr=fθ=0 时, 应力法基本方程中的应力分量可以转为一个待求的
未知函数
φ( r, θ)
表示,而应力函数
φ( r, θ)
所满足方程为
∇ 4φ( r, θ) =0
或
∂2 1 ∂ 1 ∂2 2 + ( 2 + ) φ =0 r ∂r r 2 ∂θ ∂r
相应边界条件：轴对称问题边界 r=r0（常数）
位移边界条件： 力的边界条件：
ur = ur
σ r = ± Fr
在 在
su sσ
上 上
平面应力问题的力边界条件用位移表示：
u 1 − ν 2 du r ( + ν r ) = ± Fr E dr r
在
sσ
上
当 ur 由基本方程和相应边界条件求出后，则相应应变、应力均
各待求函数为 r 的函数（单变量的） 。
2.2
轴对称平面问题的基本公式
1.
dσ r σ r − σ θ + + fr = 0 平面微分方程（仅一个） ： r r
r 几何方程（二个） ε r = ： dr
du
2.
，
εθ =
ur r
3. 变形协调方程（一个） ：
1 ∂ 2ε r r 2 ∂θ 2
1 ∂2 1 ∂2 1 ∂ε r + ( rε θ ) − 2 ( r γ rθ ) − =0 r ∂r 2 ∂r∂θ r ∂r r
r r n // r : σ r = ± K r , τ rθ = ± Kθ 环向边界
径向边界 1.6 按位移法求解 基本未知函数为位移 u r
在
sσ
上
（r=r0） （θ=θ0）
r rr r n // s(n⊥r ) :τθr= ±Kr ,σθ = ±Kθ
, uθ
，应变、应力均由位移导出。
2
平面应力问题时的应力由位移表示
2
则
d 2 1 d 1 d dφ 1 d d 1 d dφ ∇ φ =( 2 + ) (r ) = (r ) = 0 r r dr r dr dr r dr dr r dr dr dr
4
逐次积分（四次）可将轴对称问题的φ
(r)基本形式得到：
将应力分量表达代入几何方程的第二式，得
ur = r 1 A (σ θ − νσ r ) = − (1 + ν ) + Br[3 − ν + 2(1 − ν ) ln r ] + 2Cr (1 − ν ) E E r
——（a）
应力分量表达代入几何方程的第一式并积分，得
ur =
ur =
1 (σ r − νσ θ )dr + F E∫
轴对称问题举例
例题 1 等厚圆盘在匀速
ω 转动中计算（按位移法解） ω（常数） 、圆
a r
θ
已知：等厚圆盘绕盘心匀速转动（单位厚）角速度为 盘密度为
ρ，
ω
圆盘匀速转动时受体力（离心力）作用：
x P
fr=Kr=ρω2r
在r
，
fθ=Kθ=0
= Fθ = 0 ）
= a 边界上
K r = Kθ = 0 （或 Fr
σr =
u E du r ( +ν r ) r 1 − ν 2 dr
σθ =
位移法的基本方程为：
du E ur ( +ν r ) dr 1 −ν 2 r
d 2 u r 1 du r u r (1 − ν 2 ) + − + fr = 0 r dr r 2 E dr 2
2 d 1 d (1 − ν ) ⇒ (ru r ) + fr = 0 dr r dr E
第七章
弹性力学平面问题的极坐标系解答
在平面问题中，有些物体的截面几何形状（边界）为圆形、扇形，对 于这类形状的物体采用极坐标 (r,θ) 来解，因为此时边界条件用极坐标易 描述、简便。本章将讨论采用极坐标求解平面问题一些基本方程和解法以 及算例。
第1节
平面பைடு நூலகம்坐标下的基本公式
采用极坐标系则平面内任一点的物理量为 r,θ 函数。 体力：fr=Kr , fθ=Kθ 面力： K r = Fr , Kθ = Fθ o
1 ∂u r ∂uθ uθ + − ∂r r ∂θ r
1.3 变形协调方程
1 ∂ 2ε r 1 ∂ 2 1 ∂2 1 ∂ε r + (rε θ ) − 2 (rγ rθ ) − =0 r ∂r r 2 ∂θ 2 r ∂r 2 r ∂r∂θ
1.4 物理方程 平面应力问题：
εr =
1 1 2(1 + ν ) (σ r − νσ θ ) ， ε θ = (σ θ − νσ r ) ， γ rθ = τ rθ E E E E ν E→ 平面应变问题将上式中 ，ν → 即得。 1 −ν 1 −ν 2
对于圆环或圆筒，力边界条件仅两个，不能确定三个系数。 但圆环或圆筒为复连域， 除了力的边界条件满足外还要考虑位移 单值条件。 下面将 ur 表达式导出（平面应力问题为例） x 将物理方程代入几何方程：
εr =
dur 1 = (σ r − νσ θ ) dr E
y
8
εθ =
ur 1 = (σ θ − νσ r ) r E
σr =
E E (ε r + νε θ ) = 1 −ν 2 1 −ν 2
1 ∂uθ u r ∂u r +ν ( + ) ∂r r ∂θ r
σθ =
∂u E E 1 ∂uθ u r (ε θ + νε r ) = ( + +ν r ) r ∂r 1 −ν 2 1 − ν 2 r ∂θ
φ( r)= Alnr+Br2lnr+Cr2+D
其中 A 将
、B、C、D 为任意常数，D 可去掉。
φ(r)
代入应力分量与应力函数的关系式，可得平面应力、
平面应变问题应力表达式：
1 dφ A = 2 + B(1 + 2 ln r ) + 2C σr = r dr r d 2φ A σ θ = 2 = − 2 + B (3 + 2 ln r ) + 2C dr r τ rθ = τ θr = 0
其中
∂2 ∂2 ∇＝ 2 + 2 ∂x ∂y
2
3
在极坐标按应力求解的基本方程为（平面应力问题）
∂σ r 1 ∂τ rθ σ r − σ θ + + + fr = 0 r ∂θ r ∂r ∂τ rθ 1 ∂σ θ 2τ rθ + + + fθ = 0 r ∂θ r ∂r ∇ 2 (σ + σ ) = −(1 + ν )( ∂f r + 1 ∂fθ + f r ) r θ r ∂r r ∂θ
而极坐标系下的应力分量σr,
σθ,τrθ 由 φ( r, θ)的微分求得,即：
，
1 ∂ 2φ 1 ∂φ + σr = 2 r ∂θ 2 r ∂r
∂ 2φ σθ = 2 ∂r
，
τ rθ = τ θr
∂ 1 ∂φ 1 ∂φ 1 ∂ 2φ =− ( )= 2 − ∂r r ∂θ r ∂θ r ∂r∂θ
第 2 节 轴对称问题
∂τ rθ 1 ∂σ θ 2τ + + rθ + K θ = 0 ∂r r ∂θ r
力的边界条件也同样可以用位移表示。 1. 7 按应力法求解 在直角坐标系中按应力求解的基本方程为（平面应力问题）
∂σ x ∂τ xy + + fx = 0 ∂x ∂y ∂τ xy ∂σ y + + fy = 0 ∂x ∂y ∂f y ∂f 2 ∇ (σ x + σ y ) = −(1 + ν )( x + ) ∂x ∂y
7. 按应力函数求解
σ r = ± Fr
在
sσ
上
dσ r σ r − σ θ =0 dr + r 当无体力时应力法基本方程为： ∇ 2 (σ r + σ θ ) = 0
选取应力函数φ = 应力分量与φ
φ (r)——单变量的函数
(r)的关系： 1 dφ d 2φ σr = σ = r dr ， θ dr 2
τ rθ =
E E 1 ∂u r ∂uθ uθ ( + − ) γ rθ = 2(1 + ν ) 2(1 + ν ) r ∂θ ∂r r
上式代入平衡微分方程可得到用位移表示的平衡微分方程,即位移法的 基本方程。
∂σ r 1 ∂τ rθ (σ r − σ θ ) + + + Kr = 0 , ∂r r ∂θ r
6
可求出。
6. 按应力法解
应力法基本方程
dσ r σ r − σ θ + + fr = 0 dr r 2 df f ∇ (σ r + σ θ ) = −(1 + ν )( r + r ) − − − 平面应力问题 dr r
其中
d2 1 d ∇＝ 2+ r dr dr
2
边界条件为力的边界条件：
位移边界条件： u r 力的边界条件：
1.5 边界条件 1. 2.
= u r ， uθ = uθ
在
su
上
rr rr σr cos( , r ) +τθr cos( , s ) = Kr = Fr n n rr rr τθr cos( , r ) +σr cos( , s) = Kθ = F n n θ
1 A − (1 + ν ) + Br [− 1 − ν + 2(1 − ν ) ln r ] + 2Cr (1 − ν ) + F E r
——(b)
考虑位移单值性比较（a）和（b）式：
4Br-F=0
⇒
B=F=0
轴对称问题的应力和位移解为：
σr =
ur =
A A + 2C ， σ θ = − 2 + 2C ， r2 r
1 d2 1 dε r ⇒ (rε θ ) − =0 2 r dr r dr
⇒
d (rε θ ) = ε r ——变形协调方程 dr
由几何方程： rε θ
= ur
⇒
du d (rε θ ) = r = ε r dr dr
或
4. 物理方程(两个)
dε θ ε r − ε θ = dr r
5
平面应力问题 ε r =