Z变换的定义

串联各环节之间无采样器的情况
X c * ( s) W1 ( s)W2 ( s) X t * ( s) X c ( z ) Z W1 (s)W2 (s)xr ( z )
W ( z)
X c ( z) Z W1 ( s)W2 ( s) X r ( z)
结论：
中间具有采样器的环节， 总的脉冲传函等于各脉冲环节 传函之积，而串联环节中间没 有采样器时，其总的传函等于 各环节相乘积后再取Z变换。
a s(s a)
的Z变换 。
解：因为 F s 而
A B 1 1 s sa s sa L1F s 1(t ) e at
z z z (1 e aT ) 所以 F ( z ) aT z 1 z e ( z 1)( z e aT )
设 Z{f(t)}=F(z)，则
Z[e
at
f (t )] F ( ze )
aT
初值定理
设 Z{f(t)}=F(z)，如果Z→∞时F（z）的极限 存在，则函数的初值为
lim f (t ) f (0) lim F ( z )
z
终值定理
设 Z{f(t)}=F(z)，则函数的终值为

f (t ) 的Z变换。 此式称为采样函数
二.
Z变换的方法

级数求和法

部分分式法
级数求和法
例8-1 求1*（t）的Z变换 。
解：F ( z ) Z [1 (t )] 1( kT )z k
k 0 2
1 z z z z 1 1 z z 1
Z[ xc (k 1)] zX c ( z) zX c (0)
代入原式得
z 2 X c ( z) z 2 X c (0) zX c (1) 3zX c ( z) 3zX c (0) 2 X c ( z) 0
整理后得
z z z z X c ( z) 2 z 3z 2 ( z 1)(z 2) z 1 z 2
零阶保持器的传递函数为：
1 e Wh 0 ( s) s
TS
零阶保持器的幅频与相频特
性如下图所示：
第三节

Z 变 换
Z变换的定义 Z变换的方法 Z变换的性质 Z反变换
一. Z变换的定义
采样函数 f (t ) f (t ) (t kT )
k 0
对其进行拉氏变换：
第八章 线性离散系统的理论基础
本章主要与学习重点 第一节 基本概念
第二节
信号的采样采样定理
Z变换 线性常系数差分方程 脉冲传递函数 采样控制系统的时域分析 采样控制系统的频域分析
第三节
第四节 第五节 第六节 第七节 小结
本章主要内容 本章在阐述了离散控制系统相 关基本概念后，学习了采样过程及采样定理、保 持器的作用和数学模型、z变换的定义和求法、 基本性质和z反变换的求法、线性差分方程的建 立及其解法、脉冲传递函概念及求取方法等。
X c ( z) Wk ( z ) X r ( z) 1 Wk ( z )
K Wk ( z ) Z s( s 1) 1 z z 令K 1，则 Wk ( z ) Z s ( s 1) z 1 z e T z ( z e T ) z ( z 1) z (1 e T ) T ( z 1)( z e ) ( z 1)( z e T )
闭环系统脉冲传递函数
应注意在闭环的各个通道以及 环节之间是否有采样开关，因 为有、无采样开关所得的闭环 脉冲传递函数是不相同的。
例8-7
WB ( z )
W1 z X c ( z) X r ( z ) 1 W1H ( z )
例8-8
WB ( z )
X C ( z) D( z )W ( z ) X r ( z ) 1 D( z )WH ( z )
令T 1s，则eT 0.368， 0.632 z 1 而 X c ( z) 1 1.736 z 1 1.104 z 2 0.368 z 3
利用长除法，将X c z 展开得 X c ( z ) 0.632 z 1 1.097 z 2 1.205 z 3
例8-4
求 F ( z ) Z[sint ]
s s 1 1 2j 2 2 2j 2j 2j s2 2 s j s j
解： L[sin t ] 因为 所以
2 2 s
1 j ( t ) L1 e s j 1 1 1 1 F ( z) z 2 2 jT 1 z 2 j 1 e jT z 1 s 2 j 1 e z 1 sin T z 1 sin T jT 1 jT 1 2 1 e z e z z 1 2 z 1 cos T z 2
所以 xc (kT ) (1)k r (2)k , k 0,1, 2
第五节
脉冲传递函数
脉冲传递函数的定义 脉冲传递函数的推导 开环系统脉冲传递函数 闭环系统脉冲传递函数
脉冲传递函数的定义
X c ( z ) 输出脉冲序列xc (k )的Z 变换 W ( z) X r ( z ) 输入脉冲序列xr (k )的Z 变换
0 1
e at 的F(Z)。 例8-2 求
解：F z e akT z k e0 z 0 e aT z 1 e 2 aT z 2
k 0


1 1 e aT z 1
z z e aT
部分分式法
例8-3
求解
F ( s)
第二节
信号的采样采样定理
离散时间函数的数学表达式
先看一下原理示意图：
采样过程
采样函数的频谱分析
香农（Shannon）采样定理
为了使信号得到很好的复现，采样频率应大于等 于原始信号最大频率的二倍，即
s 2max
信号的复现
把采样信号恢复为原来的连续 信号称为信号的复现。实用的办法 是加入保持器。常用的为零阶保持 器。
脉冲传递函数的推导
由单位脉冲响应推出
由拉氏变换求出
由差分方程求出
开环系统脉冲传递函数
串联各环节之间有采样器的情况
X c ( z) W1 ( z) X c1 ( z) W1 ( z)W2 ( z) X r ( z)
X c ( z) W ( z) W1 ( z )W2 ( z ) X r ( z)
例8-9
X c ( z)
NW2 ( z ) 1 W2W1 ( z )
第六节
采样控制系统的时域分析
用Z变换法求系统的单位阶跃响应 采样系统的稳定性分析 采样控制系统的稳态误差
用Z变换法求系统的单位阶跃响应
例8-10
已知系统的动态结构图如下图 所示，求系统的单位阶跃响应。
解：
因为 xc (1) 2 1 0 所以 xc (1) 1
令k=2，有
xc (2) xc (1) xr (2) 2xr (0)
因为 xc (2) (1) 2 0 所以 xc (2) 3
同理，求出
xc (3) 2, xc (4) 6
输入输出关系如下图所示。

Z变换法

例 8-6：求解
xc (k 2) 3xc (k 1) 2xc (k ) 0
初始条件：xc(0T)=0, xc(1)=1

解：由超前定理，令 Z[ xc (k )] X c ( z)
2 2 于是 Z[ xc (k 2)] z X c ( z) z X c (0) zX c (1)
延迟定理
设t<0，f(t)=0，令Z[f(t)]=F(z)，则延迟定理为
Z f (t iT ) z F ( z)
i
超前定理
令 Z[f(t)]=F(z)，则
Z [ f (t iT )] z i F ( z ) z i f (kT ) z k
k 0
i 1
复位移定理
输出值 xc(k) 不仅与这一时刻的输入值 xr(k)有关，而且 与过去时刻的输入值xr(k-1)， xr(k-2)…有关，还与过去 的输出值xc(k-1)， xc(k-2)…有关。可以把这种关系描述 如下： xc(k)+a1xc(k-1)+a2xc(k-2)+… =b0xr(k)+b1xr(k-1)+b2xr(k-2)+…… 或表示为 xc(k)=T[xr(k)] 当系数均为常数时，上式为线性定常差分方程。

采 样信号

自动控制系统按信号形式划分可分 为以下三种类型
Βιβλιοθήκη Baidu
连续控制系统，见图（a）


采样控制系统，见图（b）
数字控制系统，见图（c）
采样系统的特点
•
•
•
•
在连续系统中的一处或几处设置采样 开关，对被控对象进行断续控制； 通常采样周期远小于被控对象的时间 常数； 采样开关合上的时间远小于断开的时 间； 采样周期通常是相同的。
三. Z 变 换 的 性 质
线性性质 延迟定理 超前定理 复位移定理 初值定理 终值定理 卷积和定理
线性性质
若：Z [ f1* (t )] F1 ( z ), Z [ f 2* (t )] F2 ( z )， 则 Z [1 f1* (t ) 2 f 2 (t )] 1F1 ( z ) 2 F2 ( z )

差分方程的解法

迭代法 Z变换法


迭代法

例 8-5：已知采样系统的差分方程是
xc (k ) xc (k 1) xr (k ) 2xr (k 2)
初始条件：
k x r (k ) 0
k 0 k 0,
xc (0) 2

解：令k=1，有
xc (1) xc (0) xr (1) 2xr (1)
lim f (t ) f () lim( z 1) F ( z ) lim(1 z 1 ) F ( z )
t z 1 z 1
卷积和定理
若
xc (kT ) g (k i)Txr (iT )
i 0
k
，
其中，k=0，1，2，…且当k=-1，-2，-3，…时， xc(kT)=g(kT)=xr(kT)=0， 则
Wk ( z ) z (1 e T ) WB ( z ) 1 Wk ( z) ( z 1)(z e T ) z(1 e T )
z z 2 (1 eT ) 所以 X c ( z ) WB ( z ) 3 z 1 z (1 2eT ) z 2 (eT 2eT ) z eT
本章重点
学习本章，需要掌握离散系 统的相关基本概念，特别是采样过程和采样 定理、z变换和z反变换及其性质、差分方程 和脉冲传递函数等概念。在此基础上了解利 用脉冲传递函数求解离散系统的暂态响应， 离散系统稳定性和稳态性能计算等内容。
第一节 基本概念

采样控制系统 数字控制系统 离散控制系统的特点
kTs L[ f (t )] F ( s) L f (kT ) (t kT ) f (kT )e k 0 k 0
令z e ，则上式变为 Z [ f (t )] F ( z ) f (kT ) z k
Ts k 0
X c ( z) W ( z) X r ( z)
式中， W ( z) Z[ g (kT )], X r ( z) Z[ xr (kT )]
Z反变换
幂级数展开法
部分分式法
反演积分法（留数法）
第四节
线性常系数差分方程
差分方程的定义
差分方程的解法
差分方程的定义
对于单输入单输出线性定常系统，在某一采样时刻的