平面向量复习课PPT课件
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因为 a 与 b 不共线, 所以 k λ = 0, 且 kλ 1 = 0. 解得 k = 1, 或 k = 1．
如图，已知 P、Q 是 △ABC 的边 BC 上两点， 且 BP=QC.
→ → → → 求证：AB + AC = AP + AQ．
A
B
P
Q
C
五、归 纳 小 结
通过复习，我们进一步熟悉了向量的性 质和运算律，熟悉平面几何性质在解题中的 应用，能掌握利用“向量的坐标化”的思路 解 决问题，掌握构造向量并利用向量的性质来 解决问题的方法。
→ →
｛
x’ = x + h， y’ = y + k．
(6)正弦定理、余弦定理: (略)
例1. 已知a = (1, 2), b = ( 3, 2), 当 k 为何值时, (1) ka + b与 a 3 b垂直; (2) ka + b与 a 3 b平行, 平行时它们是同向还是反向? 分析: ka + b = ( k 3, 2k + 2 ), a 3 b = (10, 4 )． (1) 当(ka + b )•(a 3 b ) = 0时, 两向量互相垂直; (2) 存在唯一的实数λ, 使 ( ka + b ) = λ( a 3 b )
3. 重要定理、公式
(1)平面向量基本定理: (见课本P108). (2)向量平行的充要条件: a // b a =λ b x1 y2 - x2 y1 = 0. (3)向量垂直的充要条件: a b a •b = 0 x1 x2 +y1y 2 = 0. (4)线段的定比分点公式和中点公式: (见课本116) (5)平移公式: 设点 P(x, y) 按向量a = (h, k) 平移得点P’(x’, y’) , 则 OP’ = OP + a, 即
时, 两向量互相平行．
若λ>0, 则两向量同向． 解答: (详见课本P147)．
例2. 已知向量a, b 不共线．
→= a b, BC → → 3(a + b), 求证A、B、D共线; (1)若AB =2 a 8 b, CD=
(2)若 ka b 与 a kb 共线, 求实数 k 的值。
知 识 网 络
平 面 向 量
向量的概念
零向量、单位向量、 共线向量、相等向量 向量平行的充要条件 平面向量基本定理
加法、减法 数乘向量
定比分点坐标公式 平移（公式）
解决 图形 的平 行和 比例 问题 解决 图形 的垂 直和 角度, 长度 问题
坐标表示
两向量的夹角公式 向量垂直的充要条件
两向量数量积
两点的距离公式 正弦定理、余弦定理 解斜三角形
向 量 的 初 步 应 用
零向量平行于任何向量 (1)向量的基本要素: 大小和方向. → (2)向量的表示方法: 几何表示: AB, a ； 坐标表示: a = xi+yj =(x, y)． (3)向量的长度(模): 即向量的大小,记作|a| ； (4)特殊向量: a = 0 |a| = 0； e为单位向量 |e| = 1； (5)相等的向量: 长度相等，且方向相同. 即 x1i + y1 j = x2i + y2 j x1= x2 , 且y1= y2 . (6)平行向量(共线向量): 方向相同或相反的向量，称
二、基 本 知 识
1. 向量的概念
为平行向量，记作 a // b. 因为向量可以进行任意平移，平行向量总可以平移到 同一直线上，故又称共线向量.
2. 向量的运算
(1)向量的加法: 平行四边形法则；三角形法则(首尾相接). 坐标表示: a + b = (x1+ x2，y1+ y2)． 运算律：交换律；结合律。 → → → 重要结论: AB + BC = AC． (2)向量的减法: 三角形法则(指向被减数)． 坐标表示: a - b = (x1- x2， y1- y2)． → → → → → 重要结论: a – b = a +(– b)， AB =– BA，PB – PC = CB． (3)实数与向量的积: λ a． 规定: 1) |λ a| =|λ ||a| ; 2) λ ＞0时与a同向; λ ＜0时与a反向; λ =0时, λ a = 0． 坐标表示: λ a = (λ x，λ y)． 运算律：λ (μ a ) = (λ μ )a ; (λ +μ )a = λ a +μ a ; λ (a + b ) = λ a +λ b. (4)两个向量的数量积: a • b = |a | | b| cosθ= x1 x2 + y1 y2． 重要性质及运算律：见课本 P119.
六、课 后 巩 固
[Ⅰ] 课外阅读: 课本 144 页至 148 页
[Ⅱ]课外练习: 课本 P149 “复习参考题五”A组第 1 至 26题.
[Ⅱ]课外作业: 暂不布置。
→ → → 5(a b)=5→ →与BD → 证明: (1) BD=BC+CD= Baidu NhomakorabeaB, 所以AB 共线.
又 直线 AB 与 BD 共点B, 所以三点 A、B、D 共线. (2) 根据题意, 存在唯一的实数λ, 使 (ka b ) = λ( a kb) ,
即
(k λ) a + (kλ 1) b = 0.
如图，已知 P、Q 是 △ABC 的边 BC 上两点， 且 BP=QC.
→ → → → 求证：AB + AC = AP + AQ．
A
B
P
Q
C
五、归 纳 小 结
通过复习，我们进一步熟悉了向量的性 质和运算律，熟悉平面几何性质在解题中的 应用，能掌握利用“向量的坐标化”的思路 解 决问题，掌握构造向量并利用向量的性质来 解决问题的方法。
→ →
｛
x’ = x + h， y’ = y + k．
(6)正弦定理、余弦定理: (略)
例1. 已知a = (1, 2), b = ( 3, 2), 当 k 为何值时, (1) ka + b与 a 3 b垂直; (2) ka + b与 a 3 b平行, 平行时它们是同向还是反向? 分析: ka + b = ( k 3, 2k + 2 ), a 3 b = (10, 4 )． (1) 当(ka + b )•(a 3 b ) = 0时, 两向量互相垂直; (2) 存在唯一的实数λ, 使 ( ka + b ) = λ( a 3 b )
3. 重要定理、公式
(1)平面向量基本定理: (见课本P108). (2)向量平行的充要条件: a // b a =λ b x1 y2 - x2 y1 = 0. (3)向量垂直的充要条件: a b a •b = 0 x1 x2 +y1y 2 = 0. (4)线段的定比分点公式和中点公式: (见课本116) (5)平移公式: 设点 P(x, y) 按向量a = (h, k) 平移得点P’(x’, y’) , 则 OP’ = OP + a, 即
时, 两向量互相平行．
若λ>0, 则两向量同向． 解答: (详见课本P147)．
例2. 已知向量a, b 不共线．
→= a b, BC → → 3(a + b), 求证A、B、D共线; (1)若AB =2 a 8 b, CD=
(2)若 ka b 与 a kb 共线, 求实数 k 的值。
知 识 网 络
平 面 向 量
向量的概念
零向量、单位向量、 共线向量、相等向量 向量平行的充要条件 平面向量基本定理
加法、减法 数乘向量
定比分点坐标公式 平移（公式）
解决 图形 的平 行和 比例 问题 解决 图形 的垂 直和 角度, 长度 问题
坐标表示
两向量的夹角公式 向量垂直的充要条件
两向量数量积
两点的距离公式 正弦定理、余弦定理 解斜三角形
向 量 的 初 步 应 用
零向量平行于任何向量 (1)向量的基本要素: 大小和方向. → (2)向量的表示方法: 几何表示: AB, a ； 坐标表示: a = xi+yj =(x, y)． (3)向量的长度(模): 即向量的大小,记作|a| ； (4)特殊向量: a = 0 |a| = 0； e为单位向量 |e| = 1； (5)相等的向量: 长度相等，且方向相同. 即 x1i + y1 j = x2i + y2 j x1= x2 , 且y1= y2 . (6)平行向量(共线向量): 方向相同或相反的向量，称
二、基 本 知 识
1. 向量的概念
为平行向量，记作 a // b. 因为向量可以进行任意平移，平行向量总可以平移到 同一直线上，故又称共线向量.
2. 向量的运算
(1)向量的加法: 平行四边形法则；三角形法则(首尾相接). 坐标表示: a + b = (x1+ x2，y1+ y2)． 运算律：交换律；结合律。 → → → 重要结论: AB + BC = AC． (2)向量的减法: 三角形法则(指向被减数)． 坐标表示: a - b = (x1- x2， y1- y2)． → → → → → 重要结论: a – b = a +(– b)， AB =– BA，PB – PC = CB． (3)实数与向量的积: λ a． 规定: 1) |λ a| =|λ ||a| ; 2) λ ＞0时与a同向; λ ＜0时与a反向; λ =0时, λ a = 0． 坐标表示: λ a = (λ x，λ y)． 运算律：λ (μ a ) = (λ μ )a ; (λ +μ )a = λ a +μ a ; λ (a + b ) = λ a +λ b. (4)两个向量的数量积: a • b = |a | | b| cosθ= x1 x2 + y1 y2． 重要性质及运算律：见课本 P119.
六、课 后 巩 固
[Ⅰ] 课外阅读: 课本 144 页至 148 页
[Ⅱ]课外练习: 课本 P149 “复习参考题五”A组第 1 至 26题.
[Ⅱ]课外作业: 暂不布置。
→ → → 5(a b)=5→ →与BD → 证明: (1) BD=BC+CD= Baidu NhomakorabeaB, 所以AB 共线.
又 直线 AB 与 BD 共点B, 所以三点 A、B、D 共线. (2) 根据题意, 存在唯一的实数λ, 使 (ka b ) = λ( a kb) ,
即
(k λ) a + (kλ 1) b = 0.